Относительный утилитаризм

редактировать

Пусть $X {\ displaystyle X}$ $X$ быть набором возможных "состояний мира" или "альтернатив"; общество желает выбрать какое-то состояние из $X {\ displaystyle X}$ $X$ . Пусть $I {\ displaystyle I}$ $I$ будет конечным множеством, представляющим совокупность людей. Для каждого $i ∈ I {\ displaystyle i \ in I}$ $i \ in I$ пусть $ui: X ⟶ R {\ displaystyle u_ {i}: X \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u_ {i}: X \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ быть служебной функцией. правило социального выбора (или система голосования ) - это механизм, который использует данные $(ui) i ∈ I {\ displaystyle (u_ {i}) _ {i \ в I}}$ ${\ displaystyle (u_ {i}) _ {i \ in I}}$ для выбора некоторых элементов из $X {\ displaystyle X}$ $X$ , которые являются «лучшими» для общества. (Основная проблема теории социального выбора состоит в устранении неоднозначности слова «лучший».)

Классическое утилитарное правило социального выбора выбирает элемент $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ , который максимизирует утилитарную сумму

U (x): = ∑ i ∈ I ui (x). {\ displaystyle U (x): = \ sum _ {i \ in I} u_ {i} (x).}

{\ displaystyle U (x): = \ sum _ {я \ in I} u_ {i} (x).}

Однако, чтобы эта формула имела смысл, мы должны предположить, что функции полезности $( ui) i ∈ I {\ displaystyle (u_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle (u_ {i}) _ {i \ in I}}$ оба кардинал и межличностно сопоставимы в кардинальном уровень.

Представление о том, что индивиды обладают кардинальными функциями полезности, не так уж проблематично. Кардинальная полезность неявно предполагалась в теории принятия решений с тех пор, как Даниэль Бернулли проанализировал парадокс Санкт-Петербурга. Строгие математические теории кардинальной полезности (применительно к принятию рискованных решений) были разработаны Фрэнком П. Рэмси, Бруно де Финетти, фон Нейманом и Моргенштерном и Леонард Сэвидж. Однако в этих теориях функция полезности человека четко определена только до «аффинного масштабирования». Таким образом, если функция полезности $ui: X ⟶ R {\ displaystyle u_ {i}: X \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle u_ {i}: X \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ является действительным описанием ее предпочтений, а если $ri, si ∈ R {\ displaystyle r_ {i}, s_ {i} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle r_ {i}, s_ {i} \ in \ mathbb {R}}$ - две константы с $si>0 {\ displaystyle s_ {i}>0}$ $s_{i}>0$ , тогда функция полезности "измененного масштаба" $vi (x): = siui (x) + ri {\ displaystyle v_ {i} (x): = s_ {i} \, u_ {i} (x) + r_ { i}}$ ${\ displaystyle v_ {i} (x): = s_ { i} \, u_ {i} (x) + r_ {i}}$ - одинаково правильное описание ее предпочтений. Если мы определим новый пакет функций полезности $(vi) i ∈ I {\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle (v_ {i}) _ {i \ in I}}$ используя, возможно, разные $ri ∈ R {\ displaystyle r_ {i} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle r_ {i} \ in \ mathbb {R}}$ и $si>0 {\ displaystyle s_ {i}>0}$ $s_{i}>0$ для всех $i ∈ I {\ displaystyle i \ in I}$ $i \ in I$ , а затем мы рассматриваем утилитарную сумму

V (x): = ∑ i ∈ I vi (x), {\ displaystyle V (x): = \ sum _ {i \ in I} v_ {i} (x),}

{\ displaystyle V (x): = \ sum _ {i \ in I} v_ { i} (x),}

, то в целом максимизатор $V {\ displaystyle V}$ $V$ не будет таким же, как максимизатор для $U {\ displaystyle U}$ $U$ . Таким образом, в некотором смысле классический утилитарный социальный выбор не имеет четкого определения в рамках стандартной модели кардинальной полезности, используемой в теории принятия решений, если мы не укажем некий механизм для «калибровки» функций полезности различных индивидов.

Относительный утилитаризм предлагает естественный механизм калибровки. Для каждого $i ∈ I {\ displaystyle i \ in I}$ $i \ in I$ предположим, что значения

mi: = min x ∈ X ui (x) и M i: = max x ∈ X ui (x) {\ displaystyle m_ {i} \: = \ \ min _ {x \ in X} \, u_ {i} (x) \ quad {\ t_dv {and}} \ quad M_ {i} \: = \ \ max _ {x \ in X} \, u_ {i} (x)}

{ \ displaystyle m_ {i} \: = \ \ min _ {x \ in X} \, u_ {i} (x) \ quad {\ t_dv {and}} \ quad M_ {i} \: = \ \ max _ {x \ in X} \, u_ {i} (x)}

четко определены. (Например, это всегда будет верно, если $X {\ displaystyle X}$ $X$ конечно или если $X {\ displaystyle X}$ $X$ - компактное пространство и $ui {\ displaystyle u_ {i}}$ $u_ {i}$ - непрерывная функция.) Затем определите

wi (x): = ui (x) - mi M i - mi {\ displaystyle w_ { i} (x) \: = \ {\ frac {u_ {i} (x) -m_ {i}} {M_ {i} -m_ {i}}}}

{\ displaystyle w_ {i} (x) \: = \ {\ frac {u_ { i} (x) -m_ {i}} {M_ {i} -m_ {i}}}}

для всех $x ∈ X {\ displaystyle x \ in X}$ $x \ in X$ . Таким образом, $wi: X ⟶ R {\ displaystyle w_ {i}: X \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle w_ {i}: X \ longrightarrow \ mathbb {R}}$ - это служебная функция с "измененным масштабом", минимальное значение которой равно 0, а максимальное - значение 1. Правило относительного утилитарного общественного выбора выбирает элемент в $X {\ displaystyle X}$ $X$ , который максимизирует утилитарную сумму

W (x): = ∑ i ∈ I wi (x). {\ displaystyle W (x): = \ sum _ {i \ in I} w_ {i} (x).}

{\ displaystyle W (x): = \ sum _ {i \ in I} w_ {i} (x).}

Как абстрактная функция социального выбора, относительный утилитаризм был проанализирован Цао (1982), Диллон ( 1998), Карни (1998), Диллон и Мертенс (1999), Сегал (2000), Собел (2001) и Пивато (2008). (Cao (1982) называет его «модифицированным решением Томсона».) При интерпретации как «правило голосования» оно эквивалентно голосованию по диапазону.

См. Также

голосование по диапазону

Ссылки

Цао, Сирэнь (1982), «Функции предпочтений и переговорные решения», Протоколы 21-й конференции IEEE по принятию решений и контролю, 1 : 164–171
Диллон, Амрита (1998) », Расширенные правила Парето и относительный утилитаризм ", Social Choice and Welfare, 15 (4): 521–542, doi : 10.1007 / s003550050121, S2CID 54899024
Диллон, Амрита; Мертенс, Жан-Франсуа (1999), «Относительный утилитаризм», Econometrica, 67 (3): 471–498, doi : 10.1111 / 1468-0262.00033
Карни, Эди (1998), «Беспристрастность: определение и представление», Econometrica, 66 (6): 1405–1415, doi : 10.2307 / 2999622, JSTOR 2999622
Пивато, Маркус (2008), «Двойная оптимальность решения относительно утилитарного торга», Социальный выбор и благосостояние, 32 (1): 79– 92, CiteSeerX 10.1.1.537.5572, doi : 10.1007 / s00355-008-0313-0, S2CID 15475740
Сигал, Узи (2000), «Давайте согласимся, что все диктатуры одинаково плохи», Журнал политической экономии, 108 (3): 569 –589, doi : 10.1086 / 262129, S2CID 154610036
Собел, Джоэл (2001), «Манипуляция предпочтениями и относительный утилитаризм», Игры и экономическое поведение, 37 : 196–215, CiteSeerX 10.1.1.395.509, doi : 10.1006 / игра.2000.0839

Относительный утилитаризм

См. Также

Ссылки

Ext исходные ссылки