Относительная скорость

редактировать

Скорость объекта или наблюдателя B в кадре покоя другого объекта или наблюдателя A

Относительная скорость $v → B ∣ A {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid A}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ середина A}}$ (также $v → BA {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {BA}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {BA}}$ или $v → B rel ⁡ A {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ operatorname {rel} A}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ operatorname {rel} A}}$ ) - скорость объекта или наблюдателя B в кадре покоя другого объекта или наблюдателя A.

Содержание

1 Классическая механика
- 1.1 В одном измерении (нерелятивистское)
- 1.2 В двух измерениях (нерелятивистское)
- 1.3 Преобразование Галилея ( нерелятивистский)
2 Специальная теория относительности
- 2.1 Параллельные скорости
- 2.2 Перпендикулярные скорости
- 2.3 Общий случай
3 См. Также
4 Примечания относительно относительной скорости
5 Ссылки
6 Дополнительная литература
7 Внешние ссылки

Классическая механика

В одном измерении (нерелятивистский)

Относительное движение человека в поезде

Начнем с относительного движения в классическом, (или не релятивистском, или ньютоновском приближении ), что все скорости намного меньше скорости света. Этот предел связан с преобразованием Галилея. На рисунке изображен мужчина на крыше поезда, у заднего края. В 13:00 он начинает идти вперед со скоростью 10 км / ч (километров в час). Поезд движется со скоростью 40 км / ч. На рисунке изображены мужчина и поезд в два разных времени: сначала в начале пути, а также на час позже, в 14:00. На рисунке показано, что мужчина находится в 50 км от отправной точки после одного часа пути (пешком и на поезде). Это, по определению, составляет 50 км / ч, что предполагает, что рецепт для расчета относительной скорости таким образом состоит в сложении двух скоростей.

На рисунке показаны часы и линейки, чтобы напомнить читателю, что, хотя логика этого расчета кажется безупречной, она делает ложные предположения о том, как ведут себя часы и линейки. (См. мысленный эксперимент с платформой.) Чтобы признать, что эта классическая модель относительного движения нарушает специальную теорию относительности, мы обобщаем этот пример в уравнение :

v → M ∣ E ⏟ 50 км / ч = v → M ∣ T ⏟ 10 км / ч + v → T ∣ E ⏟ 40 км / ч, {\ displaystyle \ underbrace {{\ vec {v}} _ {M \ mid E}} _ {\ text {50 км / ч}} = \ underbrace {{\ vec {v}} _ {M \ mid T}} _ {\ text {10 км / ч}} + \ underbrace {{\ vec {v}} _ {T \ mid E}} _ {\ text {40 км / ч}},}

{\ displaystyle \ underbrace {{\ vec {v}} _ {M \ mid E}} _ {\ text {50 км / ч}} = \ underbrace {{\ vec {v}} _ {M \ mid T}} _ {\ text {10 км / ч}} + \ underbrace {{\ vec {v}} _ {T \ mid E}} _ {\ text {40 км / ч}},}

где:

v → M ∣ E {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M \ mid E}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M \ mid E}}

- это скорость M относительно E arth,

v → M ∣ T {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {M \ mid T}}

{\ displaystyle {\ vec {v }} _ {M \ mid T}}

- это скорость M an относительно T дождя,

v → T ∣ E {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {T \ mid E}}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {T \ mid E}}

- скорость дождя T относительно E arth.

Полностью законные выражения для «скорости A относительно B» включают «скорость A относительно B» и «скорость A в кулуарах. rdinate система, в которой B всегда находится в состоянии покоя ". Нарушение специальной теории относительности происходит из-за того, что это уравнение для относительной скорости ошибочно предсказывает, что разные наблюдатели будут измерять разные скорости при наблюдении за движением света.

В двух измерениях (нерелятивистские)

Относительные скорости между двумя частицами в классической механике

На рисунке показаны два объекта A и B, движущиеся с постоянной скоростью. Уравнения движения:

r → A = r → A i + v → A t, {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {A} = {\ vec {r}} _ {Ai} + {\ vec {v}} _ {A} t,}

{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {A} = {\ vec {r}} _ {Ai} + {\ vec {v}} _ {A} t,}

r → B = r → B i + v → B t, {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {B} = {\ vec { r}} _ {Bi} + {\ vec {v}} _ {B} t,}

{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {B} = {\ vec {r}} _ {Bi} + {\ vec {v}} _ {B} t,}

где нижний индекс i обозначает начальное смещение (в момент времени t, равный нулю). Разница между двумя векторами смещения, $r → B - r → A {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {B} - {\ vec {r}} _ {A}}$ ${\ vec r} _ {B} - {\ vec r} _ {A}$ , представляет местоположение B, как видно из A.

r → B - r → A = r → B i - r → A i ⏟ начальное разделение + (v → B - v → A) t ⏟ относительная скорость. {\ displaystyle {\ vec {r}} _ {B} - {\ vec {r}} _ {A} = \ underbrace {{\ vec {r}} _ {Bi} - {\ vec {r}} _ {Ai}} _ {\ text {начальное разделение}} + \ underbrace {({\ vec {v}} _ {B} - {\ vec {v}} _ {A}) t} _ {\ text {относительный скорость}}.}

{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {B} - {\ vec {r}} _ {A} = \ underbrace {{ \ vec {r}} _ {Bi} - {\ vec {r}} _ {Ai}} _ {\ text {начальное разделение}} + \ underbrace {({\ vec {v}} _ {B} - {\ vec {v}} _ {A}) t} _ {\ text {относительная скорость}}.}

Следовательно:

v → B ∣ A = v → B - v → A. {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid A} = {\ vec {v}} _ {B} - {\ vec {v}} _ {A}.}

{ \ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid A} = {\ vec {v}} _ {B} - {\ vec {v}} _ {A}.}

После выполнения замен $v → A | C = v → A {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {A | C} = {\ vec {v}} _ {A}}$ ${\ vec v} _ {{A | C}} = {\ vec v} _ {A}$ и $v → B | C = v → B {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B | C} = {\ vec {v}} _ {B}}$ ${\ vec v} _ {{B | C}} = {\ vec v} _ { B}$ , имеем:

v → B ∣ A = v → B ∣ C - v → A ∣ C ⇒ {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid A} = {\ vec {v}} _ {B \ mid C} - {\ vec {v}} _ {A \ mid C} \ Rightarrow}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid A} = {\ vec {v}} _ {B \ mid C} - {\ vec {v}} _ {A \ mid C} \ Rightarrow}

v → B ∣ C = v → B ∣ A + v → A ∣ C. {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid C} = {\ vec {v}} _ {B \ mid A} + {\ vec {v}} _ {A \ mid C}.}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {B \ mid C} = {\ vec {v}} _ {B \ mid A} + {\ vec {v}} _ {A \ mid C}.}

Преобразование Галилея (нерелятивистское)

Чтобы построить теорию относительного движения, совместимую с теорией специальной теории относительности, мы должны принять другое соглашение. Продолжая работать в (нерелятивистском) ньютоновском пределе, мы начинаем с преобразования Галилея в одном измерении:

x ′ = x - vt {\ displaystyle x '= x -vt}

x'=x-vt

t ′ = t {\ displaystyle t '= t}

t'=t

где x' - позиция, которую видит опорный кадр, который движется со скоростью v, в «unprimed» (x) ссылке Рамка. Взяв дифференциал первого из двух приведенных выше уравнений, мы имеем, $dx ′ = dx - vdt {\ displaystyle dx '= dx-v \, dt}$ $dx'=dx-v\,dt$ , и что может показаться очевидное утверждение, что $dt ′ = dt {\ displaystyle dt '= dt}$ $dt'=dt$ , мы имеем:

dx ′ dt ′ = dxdt - v {\ displaystyle {\ frac {dx'} { dt '}} = {\ frac {dx} {dt}} - v}

{\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v

Чтобы восстановить предыдущие выражения для относительной скорости, мы предполагаем, что частица A следует по пути, определенному dx / dt в нештрихованной ссылке (и следовательно, dx ′ / dt ′ в рамке со штрихом). Таким образом, $dx / dt = v A ∣ O {\ displaystyle dx / dt = v_ {A \ mid O}}$ ${\ displaystyle dx / dt = v_ {A \ mid O}}$ и $dx ′ / dt = v A ∣ O ′ {\ displaystyle dx '/ dt = v_ {A \ mid O'}}$ $dx'/dt=v_{A\mid O'}$ , где $O {\ displaystyle O}$ $O$ и $O ′ {\ displaystyle O '}$ $O'$ относятся к движению A, наблюдаемому наблюдателем в кадрах без штриховки и со штрихом, соответственно. Напомним, что v - это движение неподвижного объекта в кадре со штрихом, если смотреть из кадра без штриховки. Таким образом, мы имеем $v = v O ′ ∣ O {\ displaystyle v = v_ {O '\ mid O}}$ $v=v_{O'\mid O}$ , и:

v A ∣ O ′ = v A ∣ O - v O ′ ∣ O ⇒ v A ∣ O = v A ∣ O ′ + v O ′ ∣ O, {\ displaystyle v_ {A \ mid O '} = v_ {A \ mid O} -v_ {O' \ mid O } \ Rightarrow v_ {A \ mid O} = v_ {A \ mid O '} + v_ {O' \ mid O},}

v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},

где последняя форма имеет желаемую (легко усваиваемую) симметрию.

Специальная теория относительности

Как и в классической механике, в специальной теории относительности относительная скорость $v → B | A {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}}}$ ${\ vec {v}} _ {{\ mathrm {B | A}}}$ - скорость объекта или наблюдателя B в остальном кадре другого объекта. или наблюдатель A . Однако, в отличие от классической механики, в специальной теории относительности обычно не так, что

v → B | A = - v → A | B {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}} = - {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A | B}}}

{\ vec {v}} _ {{\ mathrm {B | A}}} = - {\ vec {v}} _ {{\ mathrm {A | B}}}

Это своеобразное отсутствие симметрии связано с прецессией Томаса и тем фактом, что два последовательных преобразования Лоренца вращают систему координат. Это вращение не влияет на величину вектора, и, следовательно, относительная скорость симметрична.

‖ v → B | A ‖ = ‖ v → A | B ‖ = v B | A = v A | В {\ Displaystyle \ | {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}} \ | = \ | {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A | B}} \ | = v_ { \ mathrm {B | A}} = v _ {\ mathrm {A | B}}}

\ | {\ vec {v}} _ {{\ mathrm {B | A}}} \ | = \ | {\ vec {v}} _ {{\ mathrm {A | B}}} \ | = v _ {{\ mathrm {B | A}}} = v _ {{\ mathrm {A | B}}}

Параллельные скорости

В случае, когда два объекта движутся в параллельных направлениях, релятивистская формула для относительной скорости имеет вид по форме похожа на формулу сложения релятивистских скоростей.

v → B | A = v → B - v → A 1 - v → A v → B c 2 {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}} = {\ frac {{\ vec {v} } _ {\ mathrm {B}} - {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}}} {1 - {\ frac {{\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}} {c ^ {2}}}}}}

{\ vec {v}} _ {{\ mathrm {B | A}}} = {\ frac {{\ vec {v}} _ {{\ mathrm {B}}} - {\ vec {v}} _ {{ \ mathrm {A}}}} {1 - {\ frac {{\ vec {v}} _ {{\ mathrm {A}}} {\ vec {v}} _ {{\ mathrm {B}}}} {c ^ {2}}}}

Относительная скорость определяется формулой:

v B | A = | v B - v A | 1 - v A v B c 2 {\ displaystyle v _ {\ mathrm {B | A}} = {\ frac {\ left | v _ {\ mathrm {B}} -v _ {\ mathrm {A}} \ right |} {1 - {\ frac {v _ {\ mathrm {A}} v _ {\ mathrm {B}}} {c ^ {2}}}}}}

v _ {{\ mathrm {B | A}}} = {\ frac {\ left | v _ {{\ mathrm {B}}} - v _ {{ \ mathrm {A}}} \ right |} {1 - {\ frac {v _ {{\ mathrm {A}}} v _ {{\ mathrm {B}}}} {c ^ {2}}}}}

Перпендикулярные скорости

В случае, когда два объекта движутся в перпендикулярных направлениях, релятивистская относительная скорость $v → B | A {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}}}$ ${\ vec {v}} _ {{\ mathrm {B | A}}}$ дается формулой:

v → B | A = v → B γ A - v → A {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}} = {\ frac {{\ vec {v}} _ {\ mathrm {B} }} {\ gamma _ {\ mathrm {A}}}} - {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}}}

{\ vec {v}} _ {{\ mathrm {B | A}}} = {{\ frac {{\ vec {v}} _ {{\ mathrm {B}}}} {\ gamma _ {{\ mathrm {A}}}}}} - {\ vec {v}} _ {{\ mathrm {A}}}

где

γ A = 1 1 - (v A c) 2 {\ displaystyle \ gamma _ {\ mathrm {A}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - ({\ frac {v _ {\ mathrm {A}}} {c}}) ^ {2} }}}}

\ gamma _ {{\ mathrm {A}}} = {\ frac {1} {{\ sqrt {1 - ({\ frac {v _ {{\ mathrm {A}}}} {c}}) ^ {2}}}}}

Относительная скорость определяется по формуле

v B | A = c 4 - (c 2 - v A 2) (c 2 - v B 2) c {\ displaystyle v _ {\ mathrm {B | A}} = {\ frac {\ sqrt {c ^ {4} - ( c ^ {2} -v _ {\ mathrm {A}} ^ {2}) (c ^ {2} -v _ {\ mathrm {B}} ^ {2})}} {c}}}

v _ {{\ mathrm {B | A}}} = {\ frac {{\ sqrt {c ^ {4} - (c ^ {2} -v _ {{\ mathrm {A}}} ^ {2}) (c ^ {2} -v _ {{\ mathrm {B}}} ^ {2})}}} {c}}

Общие case

Общая формула относительной скорости $v → B | A {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}}}$ ${\ vec {v}} _ {{\ mathrm {B | A}}}$ объекта или наблюдателя B в остальном кадре другого объекта или наблюдателя A определяется формулой:

v → B | A = 1 γ A (1 - v → A v → B c 2) [v → B - v → A + v → A (γ A - 1) (v → A ⋅ v → B v A 2 - 1)] {\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}} = {\ frac {1} {\ gamma _ {\ mathrm {A}} \ left (1 - {\ frac {{\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}} {c ^ {2}}} \ right)}} \ left [{\ vec {v} } _ {\ mathrm {B}} - {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} + {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} (\ gamma _ {\ mathrm {A }} -1) \ left ({\ frac {{\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} \ cdot {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}} {v _ {\ mathrm {A}} ^ {2}}} - 1 \ right) \ right]}

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B | A}} = {\ frac {1} {\ gamma _ {\ mathrm {A}} \ left (1 - {\ frac {{\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}} {c ^ {2}}} \ right)}} \ left [{\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}} - {\ vec { v}} _ {\ mathrm {A}} + {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} (\ gamma _ {\ mathrm {A}} -1) \ left ({\ frac {{\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} \ cdot {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}} {v _ {\ mathrm {A}} ^ {2}}} - 1 \ right) \ right]}

где

γ A = 1 1 - (v A c) 2 {\ displaystyle \ gamma _ {\ mathrm {A} } = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - ({\ frac {v _ {\ mathrm {A}}} {c}}) ^ {2}}}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {\ mathrm {A}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - ({\ frac {v _ {\ mathrm {A}}} {c}}) ^ {2}}}}}

Относительная скорость определяется как формула

v B | A = 1 - (c 2 - v A 2) (c 2 - v B 2) (c 2 - v → A ⋅ v → B) 2 ⋅ c {\ displaystyle v _ {\ mathrm {B | A}} = { \ sqrt {1 - {\ frac {(c ^ {2} -v _ {\ mathrm {A}} ^ {2}) (c ^ {2} -v _ {\ mathrm {B}} ^ {2})} {(c ^ {2} - {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} \ cdot {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}) ^ {2}}}}} \ cdot c}

{\ displaystyle v _ {\ mathrm {B | A}} = {\ sqrt {1 - {\ frac {(c ^ {2} -v _ {\ mathrm {A}} ^ {2}) (c ^ {2} -v _ {\ mathrm {B}} ^ {2})} {(c ^ {2} - {\ vec {v}} _ {\ mathrm {A}} \ cdot {\ vec {v}} _ {\ mathrm {B}}) ^ {2} }}}} \ cdot c}

См. также

Примечания по относительной скорости

Ссылки

Дополнительная литература

Алонсо и Финн, Фундаментальная университетская физика ISBN 0-201-56518-8
Гринвуд, Дональд Т., Принципы динамики.
Гудман и Уорнер, Динамика.
Бир и Джонстон, Статика и динамика.
Словарь физики Макгроу Хилла и Математика.
Риндлер, В., Существенная теория относительности.
ХУРМИ RS, Механика, Инженерная механика, Статика, Динамика

Внешние ссылки

Относительное движение в HyperPhysics
A Java апплет Эндрю Даффи, иллюстрирующий относительную скорость
Relatív mozgás (1)... (3) Относительное движение двух поездов (1)... (3). Видео на портале ФизКапу. (на венгерском)
Sebességek összegzése Относительное спокойствие форели в ручье. Видео на портале ФизКапу. (на венгерском)