Перемещение Рейдемейстера

Один из трех типов сохраняющих изотопию локальных изменений узловой диаграммы

Движение Рейдемейстера

Тип I	Тип II	Тип III

Модифицированное движение Рейдемейстера

Тип I '

В математической области теории узлов, движение Рейдемейстера - это любое из трех локальных движений на диаграмме связей . Курт Райдемейстер (1927) и, независимо, Джеймс Уодделл Александр и (1926), продемонстрировали, что две диаграммы узлов, принадлежащие одному и тому же узел, вплоть до плоской изотопии, может быть связан последовательностью трех движений Рейдемейстера.

Каждое движение действует в небольшой области диаграммы и относится к одному из трех типов:

1. Скручивание и раскручивание в любом направлении.
2. Полностью перемещать одну петлю поверх другой.
3. Переместите струну полностью над или под перекрестком.

Никакая другая часть диаграммы не участвует в изображении движения, и плоская изотопия может исказить картину. Нумерация типов ходов соответствует количеству задействованных нитей, например движение типа II работает на двух цепях диаграммы.

Один важный контекст, в котором появляются движения Рейдемейстера, - это определение инвариантов узлов. Инвариант определяется путем демонстрации свойства диаграммы узла, которое не меняется при применении любого из движений Рейдемейстера. Таким образом можно определить многие важные инварианты, в том числе многочлен Джонса.

Перемещение типа I - это единственное перемещение, которое влияет на изгиб диаграммы. Движение типа III - единственное, которое не меняет номер пересечения диаграммы.

В таких приложениях, как исчисление Кирби, в которых желаемый класс эквивалентности узловых диаграмм является не узлом, а привязанной ссылкой, нужно заменить ход типа I ходом «модифицированного типа I» (тип I '), состоящим из двух движений типа I противоположного смысла. Движение типа I не влияет ни на обрамление звена, ни на изгиб всей диаграммы узла.

Trace (1983) показал, что две диаграммы узлов для одного и того же узла связаны с использованием только движений типа II и III тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые изгибы и число витков. Более того, совместная работа Остлунда (2001), Мантурова (2004) и Хагге (2006) показывает, что для каждого типа узла существует пара узлов диаграммы, так что каждая последовательность ходов Рейдемейстера, переходящая один в другой, должна использовать все три типа ходов. Александр Кауард продемонстрировал, что для диаграмм связей, представляющих эквивалентные связи, существует последовательность ходов, упорядоченная по типу: сначала ходы типа I, затем ходы типа II, типы III, а затем типы II. Ходы перед ходами типа III увеличивают количество пересечений, а те, что после, уменьшают количество пересечений.

Coward Lackenby (2014) доказали существование экспоненциальной башни верхней границы (в зависимости от числа пересечений) количества ходов Рейдемейстера, необходимых для прохождения между двумя диаграммами одного и того же звена. Подробно, пусть $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$будет суммой чисел пересечения двух диаграмм, тогда верхняя граница будет $2\; 2\; 2..\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; ^\; \{2\; ^\; \{2\; ^\; \{.\; ^\; \{.\; ^\; \{n\}\}\}\}\}\}$где высота башни $2\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\}$s (с одним $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$вверху) равно $10\; 1,\; 000,\; 000\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{1,000,000n\}\}$

Lackenby (2015) доказал существование полиномиальной верхней границы (в зависимости от числа пересечений) количества ходов Рейдемейстера, необходимых для изменения диаграммы развязки на стандартную развязку. Более подробно, для любой такой диаграммы с пересечениями $c\; \{\backslash \; displaystyle\; c\}$верхняя граница составляет $(236\; c)\; 11\; \{\backslash \; displaystyle\; (236c)\; ^\; \{11\}\}$.

Хаяси (2005) доказал, что существует также верхняя граница, зависящая от числа пересечений, на количество ходов Рейдемейстера, необходимых для разделения ссылки.

• СМИ, связанные с ходами Рейдемейстера на Wikimedia Commons
• Александр, Джеймс У.; Бриггс, Гарланд Б. (1926), «О типах кривых с узлами», Annals of Mathematics, 28: 562–586, doi : 10.2307 / 1968399, MR 1502807 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Трус, Александр; Лакенби, Марк (2014), «Верхняя граница Рейдемейстера сдвигается», Американский журнал математики, 136 (4): 1023–1066, arXiv : 1104.1882, doi : 10.1353 / ajm.2014.0027, MR 3245186 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Галатоло, Стефано (1999), «Проблема в эффективном узле теория », Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl., 9 (4): 299–306, MR 1722788
• Хагге, Тобиас (2006), «Каждое движение Рейдемейстера необходимо для каждого типа узла», Proc. Amer. Math. Soc., 134 (1): 295–301, doi :10.1090/S0002-9939-05-07935-9, MR 2170571 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Хасс, Джоэл ; Лагариас, Джеффри С. (2001), "Число Рейдемейсов тер ходов, необходимых для развязывания ", Журнал Американского математического общества, 14(2): 399–428, arXiv : math / 9807012, doi : 10.1090 / S0894-0347-01-00358-7, MR 1815217
• Хаяси, Чуичиро (2005), «Число ходов Рейдемейстера для разрыва связи», Mathematische Annalen, 332 (2): 239–252, doi :10.1007/s00208-004-0599-x, MR 2178061 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Лакенби, Марк (2015), «Полиномиальная верхняя граница движений Рейдемейстера», Анналы математики, Вторая серия, 182 (2): 491–564, arXiv : 1302.0180, doi : 10.4007 / annals.2015.182.2.3, MR 3418524 ​​
• Мантуров, Василий Олегович (2004), теория узлов, Бока-Ратон, Флорида: Chapman Hall / CRC, doi : 10.1201 / 9780203402849, ISBN 0-415-31001-6, MR 2068425 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Остлунд, Олоф-Петтер (2001), «Инварианты узловых диаграмм и отношения между движениями Рейдемейстера ", J. Разветвления теории узлов, 10 (8): 1215–1227, arXiv : math / 0005108, doi : 10.1142 / S0218216501001402, MR 1871226 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Рейдемейстер, Курт (1927), «Elementare Begründung der Knotentheorie», Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург, 5 (1): 24–32, doi :10.1007/BF02952507, MR 3069462 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Трэйс, Брюс (1983), «О движениях Рейдемейстера классического узла», Труды Американского математического общества, 89(4): 722–724, doi : 10.2307 / 2044613, MR 0719004 CS1 maint: ref = harv (ссылка )