В статистике, и особенно в эконометрике, сокращенная форма системы уравнений является результатом решения системы для эндогенных переменных. Это дает последние как функции от экзогенных переменных, если таковые имеются. В эконометрике уравнения модели структурной формы оцениваются в их теоретически заданной форме, в то время как альтернативный подход к оценке состоит в том, чтобы сначала решить теоретические уравнения для эндогенных переменных, чтобы получить сокращенные составить уравнения, а затем оценить приведенные уравнения.
Пусть Y будет вектором переменных, которые должны быть объяснены (эндогенные переменные) с помощью статистической модели, а X будет вектором объясняющих (экзогенных) переменных. Кроме того, пусть будет вектором ошибок. Тогда общее выражение структурной формы :
, где f - функция, возможно, от векторов к векторам в случае модели с несколькими уравнениями. сокращенная форма этой модели задается как
с функцией g.
Экзогенные переменные - это переменные, которые не определяются системой. Если мы предположим, что на спрос влияет не только цена, но и экзогенная переменная Z, мы можем рассмотреть структурную модель спроса и предложения
где термины - случайные ошибки (отклонения поставляемых и требуемых количеств от тех, которые подразумеваются в остальной части каждого уравнения). Решив для неизвестных (эндогенных переменных) P и Q, эту структурную модель можно переписать в сокращенной форме:
где параметры зависят от параметров
структурной модели, и где уменьшенные ошибки формы
зависят от структурных параметры и по обеим структурным ошибкам. Обратите внимание, что обе эндогенные переменные зависят от экзогенной переменной Z.
Если модель сокращенной формы оценивается с использованием эмпирических данных, получение оценочных значений для коэффициентов некоторые структурные параметры могут быть восстановлены: путем объединения двух уравнений сокращенной формы для исключения Z, структурных коэффициентов модели со стороны предложения (
и
) могут быть получены:
Однако обратите внимание, что это все еще не позволяет нам идентифицировать структурные параметры уравнения спроса. Для этого нам понадобится экзогенная переменная, которая включена в уравнение предложения структурной модели, но не в уравнение спроса.
Пусть y будет вектором-столбцом M эндогенных переменных. В приведенном выше случае с Q и P у нас было M = 2. Пусть z - вектор-столбец из K экзогенных переменных; в приведенном выше случае z состоял только из Z. Структурная линейная модель имеет вид
где - вектор структурных потрясений, а A и B - матрицы ; A - квадратная матрица M × M, а B - M × K. Уменьшенная форма системы:
с вектором сокращенных ошибок формы, каждая из которых зависит на всех структурных ошибках, где матрица A должна быть невырожденной, чтобы сокращенная форма существовала и была уникальной. Опять же, каждая эндогенная переменная потенциально зависит от каждой экзогенной переменной.
Без ограничений на A и B коэффициенты A и B не могут быть идентифицированы по данным по y и z: каждая строка структурной модели представляет собой просто линейную связь между y и z с неизвестными коэффициентами. (Это снова проблема идентификации параметра .) M уравнений сокращенной формы (строки матричного уравнения y = z выше) могут быть идентифицированы по данным, поскольку каждое из них содержит только одну эндогенную переменную.