Уменьшенная форма

редактировать

В статистике, и особенно в эконометрике, сокращенная форма системы уравнений является результатом решения системы для эндогенных переменных. Это дает последние как функции от экзогенных переменных, если таковые имеются. В эконометрике уравнения модели структурной формы оцениваются в их теоретически заданной форме, в то время как альтернативный подход к оценке состоит в том, чтобы сначала решить теоретические уравнения для эндогенных переменных, чтобы получить сокращенные составить уравнения, а затем оценить приведенные уравнения.

Пусть Y будет вектором переменных, которые должны быть объяснены (эндогенные переменные) с помощью статистической модели, а X будет вектором объясняющих (экзогенных) переменных. Кроме того, пусть ε {\ displaystyle \ varepsilon}\ varepsilon будет вектором ошибок. Тогда общее выражение структурной формы : f (Y, X, ε) = 0 {\ displaystyle f (Y, X, \ varepsilon) = 0}f (Y, X, \ varepsilon) = 0 , где f - функция, возможно, от векторов к векторам в случае модели с несколькими уравнениями. сокращенная форма этой модели задается как Y = g (X, ε) {\ displaystyle Y = g (X, \ varepsilon)}Y = g (X, \ varepsilon) с функцией g.

Содержание

  • 1 Структурные и сокращенные формы
  • 2 Общий линейный случай
  • 3 См. Также
  • 4 Дополнительная литература
  • 5 Внешние ссылки

Структурные и сокращенные формы

Экзогенные переменные - это переменные, которые не определяются системой. Если мы предположим, что на спрос влияет не только цена, но и экзогенная переменная Z, мы можем рассмотреть структурную модель спроса и предложения

supply :Q = a S + b SP + U S, {\ displaystyle Q = a_ {S} + b_ {S} P + u_ {S},}{\ displaystyle Q = a_ {S} + b_ {S} P + u_ {S},}
demand:Q = a D + b DP + c Z + U D, {\ displaystyle Q = a_ {D} + b_ {D} P + cZ + u_ {D},}{\ displaystyle Q = a_ {D} + b_ {D} P + cZ + u_ {D},}

где термины ui {\ displaystyle u_ {i}}u_ {i} - случайные ошибки (отклонения поставляемых и требуемых количеств от тех, которые подразумеваются в остальной части каждого уравнения). Решив для неизвестных (эндогенных переменных) P и Q, эту структурную модель можно переписать в сокращенной форме:

Q = π 10 + π 11 Z + e Q, {\ displaystyle Q = \ pi _ {10} + \ pi _ {11} Z + e_ {Q},}{\ displaystyle Q = \ pi _ {10} + \ pi _ {11} Z + e_ {Q},}
P = π 20 + π 21 Z + e P, {\ displaystyle P = \ pi _ {20} + \ pi _ {21} Z + e_ {P},}{\ displaystyle P = \ pi _ {20} + \ pi _ {21} Z + e_ {P},}

где параметры π ij {\ displaystyle \ pi _ {ij}}{\ displaystyle \ pi _ {ij}} зависят от параметров ai, bi, c {\ displaystyle a_ { i}, b_ {i}, c}{\ displaystyle a_ {i}, b_ {i}, c} структурной модели, и где уменьшенные ошибки формы ei {\ displaystyle e_ {i}}e_{i}зависят от структурных параметры и по обеим структурным ошибкам. Обратите внимание, что обе эндогенные переменные зависят от экзогенной переменной Z.

Если модель сокращенной формы оценивается с использованием эмпирических данных, получение оценочных значений для коэффициентов π ij, {\ displaystyle \ pi _ {ij},}{\ displaystyle \ pi _ {ij},} некоторые структурные параметры могут быть восстановлены: путем объединения двух уравнений сокращенной формы для исключения Z, структурных коэффициентов модели со стороны предложения (a S {\ displaystyle a_ {S}}a_S и b S {\ displaystyle b_ {S}}b_S) могут быть получены:

a S = (π 10 π 21 - π 11 π 20) / π 21, {\ displaystyle a_ {S} = (\ pi _ {10} \ pi _ {21} - \ pi _ {11} \ pi _ {20}) / \ pi _ {21},}{\ displaystyle a_ {S} = (\ pi _ {10} \ pi _ {21} - \ pi _ {11} \ pi _ {20}) / \ pi _ {21},}
b S = π 11 / π 21. {\ displaystyle b_ {S} = \ pi _ {11} / \ pi _ {21}.}{\ displaystyle b_ {S} = \ pi _ {11} / \ pi _ {21}.}

Однако обратите внимание, что это все еще не позволяет нам идентифицировать структурные параметры уравнения спроса. Для этого нам понадобится экзогенная переменная, которая включена в уравнение предложения структурной модели, но не в уравнение спроса.

Общий линейный случай

Пусть y будет вектором-столбцом M эндогенных переменных. В приведенном выше случае с Q и P у нас было M = 2. Пусть z - вектор-столбец из K экзогенных переменных; в приведенном выше случае z состоял только из Z. Структурная линейная модель имеет вид

A y = B z + v, {\ displaystyle Ay = Bz + v,}{\ displaystyle Ay = Bz + v,}

где v {\ displaystyle v}v- вектор структурных потрясений, а A и B - матрицы ; A - квадратная матрица M × M, а B - M × K. Уменьшенная форма системы:

y = A - 1 B z + A - 1 v = Π z + w, {\ displaystyle y = A ^ {- 1} Bz + A ^ {- 1} v = \ Pi z + w,}{\ displaystyle y = A ^ {- 1} Bz + A ^ {- 1} v = \ Pi z + w,}

с вектором w {\ displaystyle w}w сокращенных ошибок формы, каждая из которых зависит на всех структурных ошибках, где матрица A должна быть невырожденной, чтобы сокращенная форма существовала и была уникальной. Опять же, каждая эндогенная переменная потенциально зависит от каждой экзогенной переменной.

Без ограничений на A и B коэффициенты A и B не могут быть идентифицированы по данным по y и z: каждая строка структурной модели представляет собой просто линейную связь между y и z с неизвестными коэффициентами. (Это снова проблема идентификации параметра .) M уравнений сокращенной формы (строки матричного уравнения y = z выше) могут быть идентифицированы по данным, поскольку каждое из них содержит только одну эндогенную переменную.

См. Также

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-03 11:15:56
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте