Число Рэлея

редактировать

В механике жидкости число Рэлея (Ra) для жидкости имеет значение безразмерное число, связанное с потоком, управляемым плавучестью, также известным как свободная или естественная конвекция. Он характеризует режим потока жидкости: значение в определенном нижнем диапазоне означает ламинарный поток ; значение в более высоком диапазоне, турбулентный поток. Ниже определенного критического значения движение жидкости отсутствует, и теплопередача осуществляется за счет теплопроводности, а не конвекции.

Число Рэлея определяется как произведение числа Грасгофа, которое описывает соотношение между плавучестью и вязкостью в жидкости, и число Прандтля, которое описывает взаимосвязь между температуропроводностью и температуропроводностью. Следовательно, его также можно рассматривать как отношение сил плавучести и вязкости, умноженное на отношение количества движения и температуропроводности. Оно тесно связано с числом Нуссельта.

. Для большинства инженерных целей число Рэлея велико, где-то от 10 до 10. Оно названо в честь лорда Рэлея, который описал отношения собственности с поведение жидкости.

Содержание

1 Получение
2 Классическое определение
3 Другие применения
- 3.1 Затвердевающие сплавы
- 3.2 Пористая среда
- 3.3 Геофизические приложения
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Вывод

Число Рэлея описывает поведение жидкости (например, воды или воздуха), когда массовая плотность жидкости неоднородна. Разница в плотности обычно вызвана разницей температур. Обычно жидкость расширяется и становится менее плотной при нагревании. Под действием силы тяжести более плотные части жидкости опускаются, что называется конвекцией. Лорд Рэлей изучал случай конвекции Рэлея-Бенара. Когда число Рэлея Ra ниже критического значения для текучей среды, потока нет и теплопередача осуществляется исключительно за счет теплопроводности ; когда оно превышает это значение, тепло передается за счет естественной конвекции.

Когда разница в плотности массы вызвана разницей температур, Ra, по определению, является отношением шкалы времени для диффузионного переноса тепла к шкале времени для конвективного переноса тепла со скоростью $u {\ displaystyle u}$ $u$ :

R a = шкала времени для переноса тепла через шкалу времени диффузии для переноса тепла посредством конвекции со скоростью u. {\ displaystyle \ mathrm {Ra} = {\ frac {\ t_dv {шкала времени для переноса тепла посредством диффузии}} {{\ t_dv {шкала времени для переноса тепла посредством конвекции на скорости}} ~ u}}.}

{\ displaystyle \ mathrm {Ra} = {\ frac {\ t_dv {шкала времени для переноса тепла через диффузия}} {{\ t_dv {шкала времени для переноса тепла посредством конвекции со скоростью}} ~ u}}.}

Это означает, что число Рэлея является разновидностью числа Пекле. Для объема жидкости размером $l {\ displaystyle l}$ $l$ во всех трех измерениях и разности плотности массы $Δ ρ {\ displaystyle \ Delta \ rho}$ $\ Delta \ rho$ , сила тяжести имеет порядок $Δ ρ l 3 g {\ displaystyle \ Delta \ rho l ^ {3} g}$ ${\ displaystyle \ Delta \ rho l ^ {3} g}$ , где $g {\ displaystyle g}$ $g$ - ускорение свободного падения. Согласно уравнению Стокса, когда объем жидкости опускается, вязкое сопротивление имеет порядок $η lu {\ displaystyle \ eta lu}$ ${\ displaystyle \ eta lu}$ , где $η { \ displaystyle \ eta}$ $\ eta$ - динамическая вязкость жидкости. Когда эти две силы уравновешены, скорость $u ∼ Δ ρ l 2 g / η {\ displaystyle u \ sim \ Delta \ rho l ^ {2} g / \ eta}$ ${\ displaystyle u \ sim \ Delta \ rho l ^ {2} g / \ eta}$ . Таким образом, масштаб времени для транспортировки через поток составляет $l / u ∼ η / Δ ρ l g {\ displaystyle l / u \ sim \ eta / \ Delta \ rho lg}$ ${\ displaystyle l / u \ sim \ eta / \ Delta \ rho lg}$ . Масштаб времени для термодиффузии на расстоянии $l {\ displaystyle l}$ $l$ равен $l 2 / α {\ displaystyle l ^ {2} / \ alpha}$ ${\ displaystyle l ^ {2} / \ alpha}$ , где $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ альфа$ - коэффициент температуропроводности. Таким образом, число Рэлея Ra равно

R a = l 2 / α η / Δ ρ lg = Δ ρ l 3 г η α = ρ β Δ T l 3 g η α {\ displaystyle \ mathrm {Ra} = {\ frac {l ^ {2} / \ alpha} {\ eta / \ Delta \ rho lg}} = {\ frac {\ Delta \ rho l ^ {3} g} {\ eta \ alpha}} = {\ frac { \ rho \ beta \ Delta Tl ^ {3} g} {\ eta \ alpha}}}

{\ displaystyle \ mathrm {Ra} = {\ frac {l ^ {2} / \ alpha} {\ eta / \ Delta \ rho lg}} = {\ frac {\ Delta \ rho l ^ {3} g} {\ eta \ alpha}} = {\ frac {\ rho \ beta \ Delta Tl ^ {3} g} {\ eta \ alpha}}}

где мы аппроксимировали разницу плотностей $Δ ρ = ρ β Δ T {\ displaystyle \ Delta \ rho = \ rho \ beta \ Delta T}$ ${\ displaystyle \ Delta \ rho = \ rho \ beta \ Delta T}$ для жидкости со средней массовой плотностью $ρ {\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ , коэффициент теплового расширения $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ и разность температур $Δ T {\ displaystyle \ Delta T}$ $\ Delta T$ на расстоянии $l {\ displaystyle l}$ $l$ .

Число Рэлея можно записать как произведение число Грасгофа и число Прандтля :

R a = G r P r. {\ displaystyle \ mathrm {Ra} = \ mathrm {Gr} \ mathrm {Pr}.}

{\ displaystyle \ mathrm {Ra} = \ mathrm {Gr} \ mathrm {Pr}.}

Классическое определение

Для свободной конвекции около вертикальной стены число Рэлея равно определяется как:

R ax = g β ν α (T s - T ∞) x 3 = G rx P r {\ displaystyle \ mathrm {Ra} _ {x} = {\ frac {g \ beta} {\ nu \ alpha}} (T_ {s} -T _ {\ infty}) x ^ {3} = \ mathrm {Gr} _ {x} \ mathrm {Pr}}

{\ displaystyle \ mathrm {Ra} _ {x} = {\ frac {g \ beta} {\ nu \ alpha}} (T_ {s} -T _ {\ infty}) x ^ {3} = \ mathrm {Gr} _ {x} \ mathrm {Pr}}

где:

x - характеристика длина

Rax- число Рэлея для характеристической длины x

g - ускорение свободного падения

β - коэффициент теплового расширения (равно 1 / T, для идеальные газы, где T - абсолютная температура).

ν {\ displaystyle \ nu}

\ nu

- кинематическая вязкость

α - коэффициент температуропроводности

Ts- поверхность температура

T∞- температура покоя (температура жидкости вдали от поверхности объекта)

Grx- число Грасгофа для характеристической длины x

Pr - число Прандтля

В приведенном выше описании свойства жидкости Pr, ν, α и β оцениваются измеряется при температуре пленки , которая определяется как:

T f = T s + T ∞ 2. {\ displaystyle T_ {f} = {\ frac {T_ {s} + T _ {\ infty}} {2}}.}

T_f = \ frac {T_s + T_ \ infin} {2}.

Для равномерного потока нагрева стенки модифицированное число Рэлея определяется как:

Р ах * знак равно г β qo ″ ν α кх 4 {\ displaystyle \ mathrm {Ra} _ {x} ^ {*} = {\ frac {g \ beta q '' _ {o}} {\ nu \ alpha k }} x ^ {4}}

{\mathrm {Ra}}_{{x}}^{{*}}={\frac {g\beta q''_{o}}{\nu \alpha k}}x^{4}

где:

q"o- однородный поверхностный тепловой поток

k - теплопроводность.

Другие применения

Затвердевающие сплавы

Число Рэлея также можно использовать в качестве критерия для прогнозирования конвективной нестабильности, например, в мягкой зоне затвердевающего сплава. Число Рэлея мягкой зоны определяется как:

R a = Δ ρ ρ 0 g K ¯ L α ν = Δ ρ ρ 0 g K ¯ R ν {\ displaystyle \ mathrm {Ra} = {\ frac {{\ frac {\ Delta \ rho} {\ rho _ {0}}} g {\ bar {K}} L} {\ alpha \ nu}} = {\ frac {{\ frac {\ Delta \ rho} {\ rho _ {0}}} g {\ bar {K}}} {R \ nu}}}

\ mathrm {Ra} = \ frac {\ frac {\ Delta \ rho} {\ rho_0} g \ bar {K} L} {\ alpha \ nu} = \ frac {\ frac {\ Delta \ rho} {\ rho_0} g \ bar {K}} {R \ nu}

где:

K - средняя проницаемость (начальной части кашицы)

L - характерный масштаб длины

α - коэффициент температуропроводности

ν - кинематическая вязкость

R - скорость затвердевания или изотермы.

Прогнозируются A-сегрегаты образоваться, когда число Рэлея превышает определенное критическое значение. Это критическое значение не зависит от состава сплава, и это главное преимущество критерия числа Рэлея по сравнению с другими критериями для прогнозирования конвективной нестабильности, такими как критерий Сузуки.

Тораби Рад и др. показали, что для стальных сплавов критическое число Рэлея равно 17. Pickering et al. исследовали критерий Тораби Рэда и дополнительно подтвердили его эффективность. Также были разработаны критические числа Рэлея для сверхсплавов на основе свинца и олова и никеля.

Пористые среды

Указанное выше число Рэлея предназначено для конвекции в объемной жидкости, такой как воздух или вода, но конвекция также может возникать, когда жидкость находится внутри и заполняет пористую среду, например пористую породу, насыщенную водой. Тогда число Рэлея, иногда называемое числом Рэлея-Дарси, отличается. В объеме жидкости, то есть не в пористой среде, из уравнения Стокса, скорость падения области размером $l {\ displaystyle l}$ $l$ жидкости $U ∼ Δ ρ l 2 г / η {\ displaystyle u \ sim \ Delta \ rho l ^ {2} g / \ eta}$ ${\ displaystyle u \ sim \ Delta \ rho l ^ {2} g / \ eta}$ . В пористой среде это выражение заменяется выражением из закона Дарси $u ∼ Δ ρ кг / η {\ displaystyle u \ sim \ Delta \ rho kg / \ eta}$ ${\ displaystyle u \ sim \ Delta \ rho kg / \ eta}$ , с $k {\ displaystyle k}$ $k$ проницаемость пористой среды. Тогда число Рэлея или Рэлея-Дарси равно

R a = ρ β Δ T klg η α {\ displaystyle \ mathrm {Ra} = {\ frac {\ rho \ beta \ Delta Tklg} {\ eta \ alpha}} }

{\ displaystyle \ mathrm {Ra} = {\ frac {\ rho \ beta \ Delta Tklg} {\ eta \ alpha}}}

Это также относится к мягкой зоне затвердевающего сплава.

Геофизические приложения

В геофизике число Рэлея имеет фундаментальное значение: оно указывает на наличие и силу конвекции в жидком теле, таком как мантия Земли. Мантия представляет собой твердое тело, которое в геологических масштабах времени ведет себя как жидкость. Число Рэлея для мантии Земли только за счет внутреннего нагрева, Ra H, определяется по формуле:

R a H = g ρ 0 2 β HD 5 η α k {\ displaystyle \ mathrm {Ra } _ {H} = {\ frac {g \ rho _ {0} ^ {2} \ beta HD ^ {5}} {\ eta \ alpha k}}}

{\ mathrm {Ra}} _ {H} = {\ frac {g \ rho _ {{0}} ^ {{2}} \ beta HD ^ {5}} {\ eta \ alpha k}}

где:

H - скорость производства радиогенного тепла на единицу массы

η - динамическая вязкость

k - теплопроводность

D - глубина мантия.

Число Рэлея для нижнего нагрева мантии от ядра, Ra T, также может быть определено как:

R a T = ρ 0 2 g β Δ T sa D 3 CP η К {\ Displaystyle \ mathrm {Ra} _ {T} = {\ frac {\ rho _ {0} ^ {2} g \ beta \ Delta T_ {sa} D ^ {3} C_ {P}} {\ eta k}}}

{\ displaystyle \ mathrm {Ra} _ {T} = {\ frac {\ rho _ {0} ^ {2} g \ beta \ Delta T_ {sa } D ^ {3} C_ {P}} {\ eta k}}}

где:

ΔTsa- суперадиабатическая разница температур между эталонной температурой мантии и границей ядро – мантия,

CP- удельная теплоемкость при постоянном давлении.

Высокие значения мантии Земли указывают на то, что конвекция внутри Земли сильна и изменяется во времени, и что конвекция отвечает за почти все тепло, передаваемое из глубины на поверхность.

См. Также

Примечания

Ссылки

Turcotte, D.; Шуберт, Г. (2002). Геодинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66186-7.

Внешние ссылки

Калькулятор числа Рэлея