Нестабильность Рэлея – Тейлора

редактировать

Нестабильное поведение двух контактирующих жидкостей разной плотности

Гидродинамика моделирование одного «пальца» Неустойчивость Рэлея – Тейлора. Обратите внимание на формирование нестабильностей Кельвина – Гельмгольца на втором и последующих снимках, показанных (начиная с уровня

y = 0 {\ displaystyle y = 0}

y = 0

), поскольку а также формирование «шляпки гриба» на более поздней стадии в третьем и четвертом кадрах последовательности.

Пальцы нестабильности RT очевидны в Крабовидной туманности

Неустойчивость Рэлея-Тейлора, или нестабильность RT (после Lord Rayleigh и GI Taylor ), является нестабильностью интерфейса между двумя жидкостями различной плотностью, что происходит, когда более легкая жидкость выталкивает более тяжелую жидкость. Примеры включают поведение воды, взвешенной над нефтью в гравитации Земли, грибовидных облаков, подобных тем, которые возникают при извержениях вулканов и атмосферных ядерных взрывах, сверхновые взрывы, при которых расширяющийся центральный газ ускоряется до более плотной оболочки газа, нестабильность в реакторах плазменного термоядерного синтеза и термоядерный синтез с инерционным удержанием.

Вода, взвешенная на поверхности нефти, является повседневным примером нестабильности Рэлея-Тейлора., и он может быть смоделирован двумя полностью плоскопараллельными слоями несмешивающейся жидкости, более плотный поверх менее плотного и оба подвержены земному притяжению. Равновесие здесь неустойчиво к любым возмущениям или возмущениям границы раздела: если пакет более тяжелой жидкости перемещается вниз с равным объемом более легкой жидкости, перемещаемым вверх, потенциальная энергия конфигурация ниже исходного состояния. Таким образом, возмущение будет расти и приводить к дальнейшему высвобождению потенциальной энергии, так как более плотный материал движется вниз под (эффективным) гравитационным полем, а менее плотный материал далее перемещается вверх. Это была установка, которую изучил лорд Рэлей. Важное открытие Г. И. Тейлора заключалось в его осознании того, что эта ситуация эквивалентна ситуации, когда жидкости ускоряются, когда менее плотная жидкость ускоряется в более плотную жидкость. Это происходит глубоко под водой на поверхности расширяющегося пузыря и при ядерном взрыве.

По мере развития RT-нестабильности начальные возмущения переходят из фазы линейного роста в фазу нелинейного роста, в конечном итоге формируя «шлейфы». «течет вверх (в смысле гравитационной плавучести) и« шипы »падают вниз. В линейной фазе движение жидкости можно точно аппроксимировать линейными уравнениями, а амплитуда возмущений экспоненциально растет со временем. В нелинейной фазе амплитуда возмущения слишком велика для линейного приближения, и для описания движений жидкости требуются нелинейные уравнения. В общем, разница плотностей между жидкостями определяет структуру последующих нелинейных потоков RT-неустойчивости (при условии, что другие переменные, такие как поверхностное натяжение и вязкость, здесь пренебрежимо малы). Разница плотностей флюидов, деленная на их сумму, определяется как число Атвуда, A. Для A, близкого к 0, потоки с неустойчивостью RT принимают форму симметричных «пальцев» жидкости; для A, близкого к 1, гораздо более легкая жидкость «под» более тяжелой жидкостью принимает форму более крупных пузырчатых шлейфов.

Этот процесс очевиден не только во многих земных примерах, из соляных куполов - погодные инверсии, но также в астрофизике и электрогидродинамике. Например, структура нестабильности RT очевидна в Крабовидной туманности, в которой расширяющаяся пульсарная туманность ветра, питаемая Крабовидным пульсаром, уносит выброшенный материал из сверхновая взрыв 1000 лет назад. Неустойчивость RT также недавно была обнаружена во внешней атмосфере Солнца, или солнечной короне, когда относительно плотный солнечный протуберанец перекрывает менее плотный плазменный пузырь. Этот последний случай напоминает магнитно-модулированные нестабильности RT.

Обратите внимание, что нестабильность RT не следует путать с неустойчивостью Плато – Рэлея (также известной как неустойчивость Рэлея ) струи жидкости. Эта нестабильность, иногда называемая нестабильностью шланговых (или пожарных) шлангов, возникает из-за поверхностного натяжения, которое разбивает цилиндрическую струю на поток капель, имеющих тот же общий объем, но большую площадь поверхности.

Многие люди стали свидетелями нестабильности RT, глядя на лавовую лампу, хотя некоторые могут утверждать, что это более точно описано как пример конвекции Рэлея-Бенара, вызванной к активному нагреву жидкого слоя внизу лампы.

Содержание

1 Стадии развития и возможного перехода к турбулентному перемешиванию
2 Анализ линейной устойчивости
3 Объяснение завихренности
4 Позднее поведение
5 См. Также
6 Примечания
7 Ссылки
- 7.1 Оригинальные исследовательские работы
- 7.2 Прочее
8 Внешние ссылки

Этапы развития и окончательная эволюция в турбулентное перемешивание

На этом рисунке представлена эволюция неустойчивости Рэлея-Тейлора с малых возмущения длины волны на границе раздела (а), которые вырастают в повсеместно распространенные шипы грибовидной формы (жидкие структуры из тяжелой в легкую жидкость) и пузырьки (жидкие структуры из легкой в тяжелую жидкость) (б), и эти жидкие структуры взаимодействуют из-за слияния пузырьков и конкуренции (c) в конечном итоге превращается в область перемешивания (d). Здесь ρ2 представляет тяжелую жидкость, а ρ1 - легкую жидкость. Гравитация действует вниз, и система RT нестабильна.

Эволюция RTI проходит четыре основных этапа. На первом этапе амплитуды возмущений малы по сравнению с их длинами волн, уравнения движения могут быть линеаризованы, что приводит к экспоненциальному росту неустойчивости. На ранней стадии этой стадии синусоидальное начальное возмущение сохраняет свою синусоидальную форму. Однако после окончания этой первой стадии, когда начинают проявляться нелинейные эффекты, можно наблюдать начало образования повсеместных грибовидных шипов (жидкие структуры тяжелой жидкости, переходящие в легкую жидкость) и пузырьков (жидкие структуры легкая жидкость превращается в тяжелую жидкость). Рост грибовидных структур продолжается на втором этапе и может быть смоделирован с использованием моделей сопротивления плавучести, в результате чего скорость роста приблизительно постоянна во времени. На этом этапе нельзя больше игнорировать нелинейные члены в уравнениях движения. Затем шипы и пузыри начинают взаимодействовать друг с другом на третьей стадии. Происходит слияние пузырьков, при котором нелинейное взаимодействие связи мод объединяет более мелкие всплески и пузырьки для образования более крупных. Кроме того, имеет место конкуренция пузырей, когда всплески и пузыри с меньшей длиной волны, которые стали насыщенными, охватываются более крупными, которые еще не насыщены. В конечном итоге это перерастает в область турбулентного перемешивания, которая является четвертой и последней стадией эволюции. Обычно предполагается, что область перемешивания, которая в конечном итоге развивается, является автомодельной и турбулентной, при условии, что число Рейнольдса достаточно велико.

Анализ линейной устойчивости

Базовое состояние неустойчивости Рэлея – Тейлора. Гравитация направлена вниз.

Невязкая двумерная неустойчивость Рэлея – Тейлора (RT) обеспечивает отличный трамплин для математического исследования устойчивости из-за простой природы основного состояния. Это состояние равновесия, которое существует до того, как в систему добавлено какое-либо возмущение, и описывается полем средней скорости $U (x, z) = W (x, z) = 0, {\ displaystyle U (x, z) = W (x, z) = 0, \,}$ $U (x, z) = W (x, z) = 0, \,$ , где гравитационное поле равно $g = - gz ^. {\ displaystyle {\ textbf {g}} = - g {\ hat {\ textbf {z}}}. \,}$ ${\ textbf {g}} = -g {\ hat {{\ textbf {z}}}}. \,$ Интерфейс в $z = 0 {\ displaystyle z = 0 \,}$ $z = 0 \,$ разделяет жидкости с плотностью $ρ G {\ displaystyle \ rho _ {G} \,}$ $\ rho _ {G} \,$ в верхней области и $ρ L {\ displaystyle \ rho _ {L} \,}$ $\ rho _ {L } \,$ в нижней части. В этом разделе показано, что когда тяжелая жидкость находится сверху, рост небольшого возмущения на границе раздела экспоненциально и происходит со скоростью

exp ⁡ (γ t), при этом γ знак равно A g α и A = ρ тяжелый - ρ легкий ρ тяжелый + ρ легкий, {\ displaystyle \ exp (\ gamma \, t) \;, \ qquad {\ text {with}} \ quad \ gamma = {\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {\ text {heavy}} - \ rho _ {\ text {light}}} {\ rho _ {\ text {heavy}} + \ rho _ {\ text {light}}}}, \,}

\ exp (\ gamma \, t) \;, \ qquad {\ text {with}} \ quad \ gamma = {{\ sqrt {{ \ mathcal {A}} g \ alpha}}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {{{\ text {heavy}}}}} - \ rho _ {{{\ text {light}}}}} {\ rho _ {{{\ text {heavy}}}} + \ rho _ {{{\ text {light}}}}}}, \,

где $γ {\ displaystyle \ gamma \,}$ $\ gamma \,$ - скорость роста во времени, $α {\ displaystyle \ alpha \,}$ $\ alpha \,$ - пространственное волновое число и $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$ ${\ mathcal {A}} \,$ - это число Этвуда.

Подробности анализа линейной устойчивости. Аналогичный вывод появляется в §92, стр. 433–435.>Возмущение, вносимое в систему, описывается полем скорости бесконечно малой амплитуды

(u ′ (x, z, t), w ′ (x, z, t)). {\ displaystyle (u '(x, z, t), w' (x, z, t)). \,}

(u'(x,z,t),w'(x,z,t)).\,

Поскольку жидкость считается несжимаемой, это поле скорости имеет функцию тока представление

u ′ = (u ′ (x, z, t), w ′ (x, z, t)) = (ψ z, - ψ x), {\ displaystyle {\ textbf {u} } '= (u' (x, z, t), w '(x, z, t)) = (\ psi _ {z}, - \ psi _ {x}), \,}

{\textbf {u}}'=(u'(x,z,t),w'(x,z,t))=(\psi _{z},-\psi _{x}),\,

где нижние индексы указывают частные производные. Более того, в изначально неподвижной несжимаемой жидкости нет завихренности, и жидкость остается безвихревой, следовательно, $∇ × u ′ = 0 {\ displaystyle \ nabla \ times {\ textbf {u}} '= 0 \,}$ $\nabla \times {\textbf {u}}'=0\,$ . В представлении функции потока $∇ 2 ψ = 0. {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = 0. \,}$ $\ nabla ^ {2} \ psi = 0. \,$ Далее, из-за трансляционной инвариантности системы в x -направлении, можно сделать анзац

ψ (x, z, t) = ei α (x - ct) Ψ (z), {\ displaystyle \ psi \ left (x, z, t \ справа) = е ^ {я \ альфа \ влево (х-ct \ вправо)} \ пси \ влево (г \ вправо), \,}

\ psi \ left (x, z, t \ right) = e ^ {{i \ alpha \ left (x- ct \ right)}} \ Psi \ left (z \ right), \,

где $α {\ Displaystyle \ альфа \,}$ $\ alpha \,$ - пространственное волновое число. Таким образом, задача сводится к решению уравнения

(D 2 - α 2) Ψ j = 0, D = d d z, j = L, G. {\ displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {j} = 0, \, \, \, \ D = {\ frac {d} {dz}}, \, \, \, \ j = L, G. \,}

\ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {j} = 0, \, \, \, \ D = {\ frac {d} {dz}}, \, \, \, \ j = L, G. \,

Область проблемы следующая: жидкость с меткой L находится в области $- ∞ < z ≤ 0 {\displaystyle -\infty$ $- \ infty <z \ leq 0 \,$ , а жидкость с меткой «G» находится в верхней полуплоскости $0 ≤ z < ∞ {\displaystyle 0\leq z<\infty \,}$ $0 \ leq z <\ infty \,$ . Чтобы полностью указать решение, необходимо зафиксировать условия на границах и интерфейсе. Это определяет волновую скорость c, которая, в свою очередь, определяет свойства устойчивости системы.

Первое из этих условий обеспечивается деталями на границе. Скорости возмущения $wi ′ {\ displaystyle w '_ {i} \,}$ $w'_{i}\,$ должны удовлетворять условию отсутствия потока, чтобы жидкость не вытекала на границах $z = ± ∞. {\ displaystyle z = \ pm \ infty. \,}$ $z = \ pm \ infty. \,$ Таким образом, $w L ′ = 0 {\ displaystyle w_ {L} '= 0 \,}$ $w_{L}'=0\,$ на $z = - ∞ {\ displaystyle z = - \ infty \,}$ $z = - \ infty \,$ и $w G ′ = 0 {\ displaystyle w_ {G} '= 0 \,}$ $w_{G}'=0\,$ на $z = ∞ {\ displaystyle z = \ infty \,}$ $z = \ infty \,$ . С точки зрения функции потока это

Ψ L (- ∞) = 0, Ψ G (∞) = 0. {\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (- \ infty \ right) = 0, \ qquad \ Psi _ {G} \ left (\ infty \ right) = 0. \,}

\ Psi _ {L} \ left (- \ infty \ right) = 0, \ qquad \ Psi _ {G} \ left (\ infty \ right) = 0. \,

Остальные три условия предоставлены деталями в интерфейсе $z = η (x, t) {\ displaystyle z = \ eta \ left (x, t \ right) \,}$ $z = \ eta \ left (x, t \ right) \,$ .

Непрерывность вертикальной скорости: при $z = η {\ displaystyle z = \ eta}$ $z = \ eta$ вертикальные скорости совпадают, $вес L '= вес G' {\ displaystyle w '_ {L} = w' _ {G} \,}$ $w'_{L}=w'_{G}\,$ . Используя представление функции тока, это дает

Ψ L (η) = Ψ G (η). {\ Displaystyle \ Psi _ {L} \ left (\ eta \ right) = \ Psi _ {G} \ left (\ eta \ right). \,}

\ Psi _ {L} \ left (\ eta \ right) = \ Psi _ {G} \ left (\ eta \ right). \,

Расширение примерно на $z = 0 {\ displaystyle z = 0 \,}$ $z = 0 \,$ дает

Ψ L (0) = Ψ G (0) + HOT, {\ displaystyle \ Psi _ {L} \ left (0 \ right) = \ Psi _ {G} \ left (0 \ right) + {\ text {H.O.T.}}, \,}

\ Psi _ {L} \ left (0 \ right) = \ Psi _ {G} \ left (0 \ right) + {\ text {HOT}}, \,

где H.O.T. означает «термины высшего порядка». Это уравнение является требуемым межфазным условием.

Условие свободной поверхности: На свободной поверхности $z = η (x, t) {\ displaystyle z = \ eta \ left (x, t \ right) \,}$ $z = \ eta \ left (x, t \ right) \,$ выполняется кинематическое условие:

∂ η ∂ t + u ′ ∂ η ∂ x = w ′ (η). {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} + u '{\ frac {\ partial \ eta} {\ partial x}} = w' \ left (\ eta \ right). \, }

{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+u'{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=w'\left(\eta \right).\,

Линеаризация, это просто

∂ η ∂ t = w '(0), {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ eta} {\ partial t}} = w' \ left (0 \ right), \,}

{\frac {\partial \eta }{\partial t}}=w'\left(0\right),\,

где скорость $w ′ (η) {\ displaystyle w '\ left (\ eta \ right) \,}$ $w'\left(\eta \right)\,$ линеаризуется на поверхности $z знак равно 0 {\ displaystyle z = 0 \,}$ $z = 0 \,$ . Используя представления нормального режима и функции потока, это условие является $c η = Ψ {\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$ $c \ eta = \ Psi \,$ , вторым условием на границе раздела.

Соотношение давления на границе раздела: для случая с поверхностным натяжением, перепад давления на границе раздела при $z = η {\ displaystyle z = \ eta}$ $z = \ eta$ задается уравнением Юнга – Лапласа :

p G (z = η) - p L (z = η) = σ κ, {\ displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ kappa, \,}

p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ kappa, \,

где σ - поверхностное натяжение, а κ - кривизна границы раздела, которая в линейном приближении имеет вид

κ = ∇ 2 η = η xx. {\ displaystyle \ kappa = \ nabla ^ {2} \ eta = \ eta _ {xx}. \,}

\ kappa = \ nabla ^ {2} \ eta = \ eta _ {xx}. \,

Таким образом,

p G (z = η) - p L (z = η) = σ η хх. {\ displaystyle p_ {G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

p_ { G} \ left (z = \ eta \ right) -p_ {L} \ left (z = \ eta \ right) = \ sigma \ eta _ {{xx}}. \,

Однако это условие относится к общему давлению (основание + возмущенное), таким образом

[PG (η) + p G ′ (0)] - [PL (η) + p L ′ (0)] = σ η xx. {\ Displaystyle \ left [P_ {G} \ left (\ eta \ right) + p '_ {G} \ left (0 \ right) \ right] - \ left [P_ {L} \ left (\ eta \ right) + p '_ {L} \ left (0 \ right) \ right] = \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

\left[P_{G}\left(\eta \right)+p'_{G}\left(0\right)\right]-\left[P_{L}\left(\eta \right)+p'_{L}\left(0\right)\right]=\sigma \eta _{{xx}}.\,

(Как обычно, возмущенные величины могут быть линеаризованы на поверхность z = 0.) Используя гидростатические весы в форме

PL = - ρ L gz + p 0, PG = - ρ G gz + p 0, {\ displaystyle P_ {L} = - \ rho _ {L} gz + p_ {0}, \ qquad P_ {G} = - \ rho _ {G} gz + p_ {0}, \,}

P_ {L} = - \ rho _ {L} gz + p_ {0}, \ qquad P_ {G} = - \ rho _ {G} gz + p_ {0}, \,

это становится

p G ′ - p L ′ = g η (ρ G - ρ L) + σ η xx, на z = 0. {\ displaystyle p '_ {G} -p' _ {L} = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ eta _ {xx}, \ qquad {\ text {on}} z = 0. \,}

p'_{G}-p'_{L}=g\eta \left(\rho _{G}-\rho _{L}\right)+\sigma \eta _{{xx}},\qquad {\text{on }}z=0.\,

Возмущенные давления оцениваются в терминах функций потока с использованием горизонтального уравнение импульса линеаризованного уравнения Эйлера для возмущений,

∂ ui ′ ∂ t = - 1 ρ i ∂ pi ′ ∂ x {\ displaystyle {\ frac {\ partial u_ {i} '} {\ partial t}} = - {\ frac {1} {\ rho _ {i}}} {\ frac {\ partial p_ {i} '} {\ partial x}} \,}

{\frac {\partial u_{i}'}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho _{i}}}{\frac {\partial p_{i}'}{\partial x}}\,

i = L, G, {\ displaystyle i = L, G, \,}

i = L, G, \,

чтобы получить

p i ′ = ρ i c D Ψ i, i = L, G. {\ displaystyle p_ {i} '= \ rho _ {i} cD \ Psi _ {i}, \ qquad i = L, G. \,}

p_{i}'=\rho _{i}cD\Psi _{i},\qquad i=L,G.\,

Поместив это последнее уравнение и условие перехода на $p G ′ - p L ′ {\ displaystyle p '_ {G} -p' _ {L}}$ $p'_{G}-p'_{L}$ вместе,

c (ρ GD Ψ G - ρ LD Ψ L) = g η ( ρ G - ρ L) + σ η xx. {\ displaystyle c \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ eta _ {xx}. \,}

c \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ { L} \ right) = g \ eta \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) + \ sigma \ eta _ {{xx}}. \,

Подставляем второе условие на границе раздела $c η = Ψ {\ displaystyle c \ eta = \ Psi \,}$ $c \ eta = \ Psi \,$ и используя представление нормального режима, это соотношение принимает вид

c 2 (ρ GD Ψ G - ρ LD Ψ L) = g Ψ (ρ G - ρ L) - σ α 2 Ψ, { \ Displaystyle c ^ {2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) - \ sigma \ alpha ^ {2} \ Psi, \,}

c ^ {2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) - \ sigma \ alpha ^ {2} \ Psi, \,

, где нет необходимости маркировать $Ψ {\ displaystyle \ Psi \,}$ $\ Psi \,$ (только его производные), поскольку $Ψ L = Ψ G {\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ $\ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,$ at $z = 0. {\ displaystyle z = 0. \,}$ $z = 0. \,$

Решение

Теперь, когда модель стратифицированного потока настроена, решение находится под рукой. Уравнение функции потока $(D 2 - α 2) Ψ i = 0, {\ displaystyle \ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {i} = 0, \, }$ $\ left (D ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ right) \ Psi _ {i} = 0, \,$ с граничными условиями $Ψ (± ∞) {\ displaystyle \ Psi \ left (\ pm \ infty \ right) \,}$ $\ Psi \ left (\ pm \ infty \ right) \,$ имеет решение

Ψ L = AL e α z, Ψ G = AG e - α z. {\ Displaystyle \ Psi _ {L} = A_ {L} e ^ {\ alpha z}, \ qquad \ Psi _ {G} = A_ {G} e ^ {- \ alpha z}. \,}

\ Psi _ {L} = A_ {L} e ^ {{\ alpha z}}, \ qquad \ Psi _ {G} = A_ {G} e ^ {{- \ alpha z} }. \,

Первое межфазное условие гласит, что $Ψ L = Ψ G {\ displaystyle \ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,}$ $\ Psi _ {L} = \ Psi _ {G} \,$ at $z = 0 {\ displaystyle z = 0 \,}$ $z = 0 \,$ , что заставляет $AL = AG = A. {\ Displaystyle A_ {L} = A_ {G} = A. \,}$ $A_ {L} = A_ {G} = A. \,$ Третье граничное условие гласит, что

c 2 (ρ GD Ψ G - ρ LD Ψ L) = g Ψ ( ρ G - ρ L) - σ α 2 Ψ. {\ Displaystyle c ^ {2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) - \ sigma \ alpha ^ {2} \ Psi. \,}

c ^ { 2} \ left (\ rho _ {G} D \ Psi _ {G} - \ rho _ {L} D \ Psi _ {L} \ right) = g \ Psi \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) - \ sigma \ alpha ^ {2} \ Psi. \,

Подставляя решение в это уравнение, получаем соотношение

A c 2 α (- ρ G - ρ L) = A g (ρ G - ρ L) - σ α 2 A. {\ Displaystyle Ac ^ {2} \ alpha \ left (- \ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) = Ag \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) - \ sigma \ alpha ^ {2} A. \,}

Ac ^ {2} \ alpha \ left (- \ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) = Ag \ left (\ rho _ {G} - \ rho _ {L} \ right) - \ sigma \ alpha ^ {2} A. \,

A сокращается с обеих сторон, и остается

c 2 = g α ρ L - ρ G ρ L + ρ G + σ α ρ L + ρ G. {\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}} + {\ frac {\ sigma \ alpha} {\ rho _ {L} + \ rho _ {G}}}. \,}

c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ {G}}} + {\ frac {\ sigma \ alpha} {\ rho _ {L} + \ rho _ { G}}}. \,

Чтобы полностью понять значение этого результата, полезно рассмотреть случай нулевого поверхностного натяжения. Тогда

c 2 = g α ρ L - ρ G ρ L + ρ G, σ = 0, {\ displaystyle c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ {G}}}, \ qquad \ sigma = 0, \,}

c ^ {2} = {\ frac {g} {\ alpha}} {\ frac {\ rho _ {L} - \ rho _ {G}} {\ rho _ {L} + \ rho _ {G}}}, \ qquad \ sigma = 0, \,

и, очевидно,

Если $ρ G < ρ L {\displaystyle \rho _{G}<\rho _{L}\,}$ $\ rho _ {G} <\ rho _ {L} \,$ , $c 2>0 {\ displaystyle c ^ {2}>0 \,}$ $c^{2}>0 \,$ и c реально. Это происходит, когда

жидкость для зажигалок находится сверху;

Если $ρ G>ρ L {\ displaystyle \ rho _ {G}>\ rho _ {L} \,}$ $\rho _{G}>\ rho _ {L} \,$ , $c 2 < 0 {\displaystyle c^{2}<0\,}$ $c ^ {2} <0 \,$ и c чисто вымышленное. Это происходит

, когда более тяжелая жидкость находится сверху.

Теперь, когда более тяжелая жидкость находится сверху, $c 2 < 0 {\displaystyle c^{2}<0\,}$ $c ^ {2} <0 \,$ и

c = ± ig A α, A = ρ G - ρ L ρ G + ρ L, {\ displaystyle c = \ pm я {\ sqrt {\ frac {g {\ mathcal {A}}} {\ alpha}}}, \ qquad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {G} - \ rho _ {L}} {\ rho _ {G} + \ rho _ {L}}}, \,}

c = \ pm i {\ sqrt {{\ frac {g {\ mathcal {A}}} { \ alpha}}}}, \ qquad {\ mathcal {A}} = {\ frac {\ rho _ {G} - \ rho _ {L}} {\ rho _ {G} + \ rho _ {L}} }, \,

где $A {\ displaystyle {\ mathcal {A}} \,}$ ${\ mathcal {A}} \,$ - это число Атвуда. Взяв положительное решение, мы видим, что решение имеет вид

Ψ (x, z, t) = A e - α | z | ехр ⁡ [я α (Икс - CT)] знак равно A ехр ⁡ (α г A ~ α T) ехр ⁡ (я α Икс - α | Z |) {\ Displaystyle \ Psi \ left (x, z, t \ right) = Ae ^ {- \ alpha | z |} \ exp \ left [i \ alpha \ left (x-ct \ right) \ right] = A \ exp \ left (\ alpha {\ sqrt {\ frac {g { \ tilde {\ mathcal {A}}}} {\ alpha}}} t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x- \ alpha | z | \ right) \,}

\ Psi \ left (x, z, t \ right) = Ae ^ {{- \ alpha | z |}} \ exp \ left [i \ alpha \ left (x-ct \ right) \ right] = A \ exp \ left (\ alpha {\ sqrt {{\ frac {g {\ tilde {{\ mathcal {A}}}}}} { \ alpha}}}} t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x- \ alpha | z | \ right) \,

и это связано с положение границы раздела η: $c η = Ψ. {\ displaystyle c \ eta = \ Psi. \,}$ $c \ eta = \ Psi. \,$ Теперь определите $B = A / c. {\ displaystyle B = A / c. \,}$ $B = A / c. \,$

Изменение высоты свободного интерфейса во времени $z = η (x, t), {\ displaystyle z = \ eta (x, t), \, }$ $z = \ eta (x, t), \,$ первоначально в $η (x, 0) = ℜ {B exp ⁡ (i α x)}, {\ displaystyle \ eta (x, 0) = \ Re \ left \ {B \, \ exp \ left (i \ alpha x \ right) \ right \}, \,}$ $\ eta (x, 0) = \ Re \ left \ {B \, \ exp \ left (i \ alpha x \ right) \ right \}, \,$ определяется по формуле

η = ℜ {B exp ⁡ (A g α t) exp ⁡ ( я α Икс)} {\ Displaystyle \ eta = \ Re \ left \ {B \, \ exp \ left ({\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \, t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x \ right) \ right \} \,}

\ eta = \ Re \ left \ {B \, \ exp \ left ({\ sqrt {{\ mathcal {A}} g \ alpha}} \, t \ right) \ exp \ left (i \ alpha x \ right) \ right \} \,

, которое экспоненциально растет во времени. Здесь B - амплитуда начального возмущения, а $ℜ {⋅} {\ displaystyle \ Re \ left \ {\ cdot \ right \} \,}$ $\ Re \ left \ {\ cdot \ right \} \,$ обозначает вещественная часть комплексного выражения в скобках.

Обычно условием линейной нестабильности является то, что мнимая часть «волновой скорости» c положительна. Наконец, восстановление поверхностного натяжения делает c менее отрицательным и, следовательно, стабилизируется. Действительно, существует диапазон коротких волн, для которых поверхностное натяжение стабилизирует систему и предотвращает образование нестабильности.

Когда два слоя жидкости имеют относительную скорость, нестабильность обобщается на неустойчивость Кельвина-Гельмгольца-Рэлея-Тейлора, которая включает в себя как неустойчивость Кельвина-Гельмгольца и неустойчивость Рэлея-Тейлора как частные случаи. Недавно было обнаружено, что уравнения жидкости, управляющие линейной динамикой системы, допускают симметрию с четностью и временем , а неустойчивость Кельвина-Гельмгольца-Рэлея-Тейлора возникает тогда и только тогда, когда симметрия с четностью и временем спонтанно нарушается..

Объяснение завихренности

Визуализация нестабильной конфигурации неустойчивости Рэлея-Тейлора, где бароклинный момент на границе раздела создает завихренность и индуцирует поле скорости, которое увеличивает бароклинный момент. Здесь ω - завихренность, p - давление, ρ - плотность, u - скорость, а g - сила тяжести. Толстые круглые стрелки представляют поле скорости, создаваемое вихрем.

Нестабильность RT можно рассматривать как результат бароклинического крутящего момента, создаваемого несовпадением градиентов давления и плотности на возмущенной границе раздела, как описано двумерным уравнением невязкой завихренности, $D ω D t = 1 ρ 2 ∇ ρ × ∇ p {\ displaystyle {\ frac {D \ omega} {Dt}} = {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ nabla \ rho \ times \ nabla p}$ ${\ displaystyle {\ frac {D \ omega} {Dt}} = {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ nabla \ rho \ times \ nabla p}$ , где ω - завихренность, плотность ρ и p - давление. В этом случае преобладающий градиент давления гидростатический, возникающий в результате ускорения.

В нестабильной конфигурации для определенной гармонической составляющей начального возмущения крутящий момент на границе раздела создает завихренность, которая будет иметь тенденцию к увеличению несоосности векторов градиента . Это, в свою очередь, создает дополнительную завихренность, ведущую к дальнейшему рассогласованию. Эта концепция изображена на рисунке, где видно, что два противоположно вращающихся вихря имеют поля скоростей, которые суммируются на пике и впадине возмущенной границы раздела. В стабильной конфигурации завихренность и, следовательно, индуцированное поле скорости будут иметь направление, которое уменьшает рассогласование и, следовательно, стабилизирует систему.

Поведение в позднем времени

Анализ в предыдущий раздел не работает, когда амплитуда возмущения велика. Затем рост становится нелинейным, поскольку шипы и пузыри нестабильности запутываются и сворачиваются в вихри. Затем, как показано на рисунке, для описания системы требуется численное моделирование полной задачи.

См. Также

Примечания

Ссылки

Оригинальные исследовательские работы

Рэлей, Лорд (Джон Уильям Струтт) (1883). «Исследование характера равновесия несжимаемой тяжелой жидкости переменной плотности». Труды Лондонского математического общества. 14 : 170–177. doi : 10.1112 / plms / s1-14.1.170.(Оригинал статьи доступен по адресу: https://www.irphe.fr/~clanet/otherpaperfile/articles/ Rayleigh / rayleigh1883.pdf.)
Тейлор, сэр Джеффри Инграм (1950). «Нестабильность жидких поверхностей при ускорении в направлении, перпендикулярном их плоскостям». Труды Лондонского королевского общества. Серия A, математика и математика. Физические науки. 201 (1065): 192–196. Bibcode : 1950RSPSA.201..192T. doi : 10.1098 / rspa.1950.0052. S2CID 98831861.

Другое

Чандрасекхар, Субраманян (1981). Гидродинамическая и гидромагнитная стабильность. Dover Publications. ISBN 978-0-486-64071-6.
Drazin, PG (2002). Введение в гидродинамическую устойчивость. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00965-2.xvii + 238 страниц.
Дразин, П.Г.; Рейд, WH (2004). Гидродинамическая устойчивость (2-е изд. Кембридж: Подготовительный курс Кембриджского университета сс. ISBN 978-0-521-52541-1.626 страниц.

Внешние ссылки

На Викискладе есть средства массовой информации, связанные с нестабильностью Рэлея – Тейлора.