Уравнение Рэлея – Плессета

Уравнение Рэлея – Плессета часто применяется для изучения кавитации пузырьков, которые здесь образуются позади

В механике жидкости, уравнение Рэлея – Плессета или уравнение Безанта – Рэлея – Плессета является обыкновенным дифференциальным уравнением, который управляет динамикой сферического пузырька в бесконечном теле несжимаемой жидкости. Его общий вид обычно записывается как

$R\; d\; 2\; R\; dt\; 2\; +\; 3\; 2\; (d\; R\; dt)\; 2\; +\; 4\; \nu \; LR\; d\; R\; dt\; +\; 2\; \gamma \; \rho \; LR\; +\; \Delta \; P\; (t)\; \rho \; L\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; R\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\; \}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; nu\; \_\; \{L\}\}\; \{R\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\; R\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; P\; (t)\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; =\; 0\}$

, где

$\rho \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}$- плотность окружающей жидкости, принимаемая постоянной

$R\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (t)\}$- радиус пузыря

$\nu \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{L\}\}$- кинематическая вязкость окружающей жидкости, принимаемая постоянной

$\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$- поверхностное натяжение границы раздела пузырь-жидкость

$\Delta \; P\; (t)\; =\; P\; \infty \; (t)\; -\; PB\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; P\; (t)\; =\; P\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; (t)\; -P\_\; \{B\}\; (t)\}$, в котором $PB\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{B\}\; (t)\}$- давление внутри пузыря, считается однородным и $P\; \infty \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; (t)\}$- это внешнее давление бесконечно далеко от пузыря

при условии, что $PB\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{B\}\; (t)\; \}$известен и $P\; \infty \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; (t)\}$задан, уравнение Рэлея – Плессета можно использовать для решения изменяющийся во времени радиус пузырька $R\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (t)\}$.

Уравнение Рэлея – Плессета выводится из уравнений Навье – Стокса в предположении сферическая симметрия.

• 1 История
• 2 Вывод
  • 2.1 Сохранение массы
  • 2.2 Сохранение импульса
  • 2.3 Граничные условия
• 3 Решения
• 4 Ссылки

Без учета поверхностного натяжения и вязкости уравнение было впервые выведено У. Г. Безант в своей книге 1859 г. постановка задачи сформулирована так: Бесконечная масса однородной несжимаемой жидкости, на которую не действуют никакие силы, находится в состоянии покоя, а сферическая часть жидкости внезапно аннигилирует; требуется найти мгновенное изменение давления в любой точке массы и время, в течение которого полость будет заполнена, при этом давление на бесконечном расстоянии должно оставаться постоянным (фактически, Безант приписывает проблему Кембриджу Сенатские проблемы 1847 г.). Пренебрегая колебаниями давления внутри пузырька, Безант предсказал, что время, необходимое для заполнения полости, составит

$t\; =\; a\; (6\; \rho \; p\; \infty )\; 1/2\; \int \; 0\; 1\; z\; 4\; dz\; 1\; -\; z\; 6\; =\; a\; (\pi \; \rho \; 6\; п\; \infty )\; 1/2\; \Gamma \; (5/6)\; \Gamma \; (4/3)\; \approx \; 0,91468\; a\; (\rho \; p\; \infty )\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; t\; =\; a\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{6\; \backslash \; rho\}\; \{p\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{4\}\; \backslash ,\; dz\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-z\; ^\; \{6\}\}\}\}\; \backslash \backslash \; =\; a\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; rho\}\; \{6p\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (5/6)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (4/3)\}\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; приблизительно\; 0,91468a\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\}\; \{p\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

где интегрирование было выполнено лордом Рэлеем в 1917 году, который вывел уравнение из баланса энергии. Рэлей также осознал, что предположение о постоянном давлении внутри полости станет неверным по мере уменьшения радиуса, и он показывает, используя закон Бойля, если радиус полости уменьшается в $4\; 1/3\; раз.\; \{\backslash \; displaystyle\; 4\; ^\; \{1/3\}\}$, то давление у границы полости становится больше, чем давление окружающей среды. Уравнение было впервые применено к движущимся кавитационным пузырькам Милтоном С. Плессетом в 1949 году путем включения эффектов поверхностного натяжения.

Численное интегрирование RP eq.. включая поверхностное натяжение и вязкость. Первоначально в состоянии покоя при атмосферном давлении с R0 = 50 мкм пузырек, подвергающийся колебательному давлению на его собственной частоте, расширяется, а затем схлопывается. Численное интегрирование RP eq. включая поверхностное натяжение и вязкость. Первоначально находящийся в состоянии покоя при атмосферном давлении с R0 = 50 мкм пузырь, подверженный перепаду давления, расширяется, а затем схлопывается.

Уравнение Рэлея – Плессета может быть полностью выведено из первых принципов с использованием радиуса пузырька как динамический параметр. Рассмотрим сферический пузырь с зависящим от времени радиусом $R\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (t)\}$, где $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$- время. Предположим, что пузырек содержит однородно распределенный пар / газ с постоянной температурой $TB\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{B\}\; (t)\}$и давлением $PB\; (t)\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; P\_\; \{B\}\; (t)\}$. За пределами пузыря находится бесконечная область жидкости с постоянной плотностью $\rho \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}$и динамической вязкостью $мкл\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\}$. Пусть температура и давление вдали от пузыря будут $T\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$и $P\; \infty \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; (t)\; \}$. Температура $T\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}$считается постоянной. На радиальном расстоянии $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$от центра пузыря меняющиеся свойства жидкости: давление $P\; (r,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (r,\; t)\; \}$, температура $T\; (r,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (r,\; t)\}$и скорость в радиальном направлении наружу $u\; (r,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (r,\; t)\}$. Обратите внимание, что эти свойства жидкости определяются только за пределами пузырька, для $r\; \ge \; R\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; geq\; R\; (t)\}$.

Сохранение массы

По сохранению массы, закон обратных квадратов требует, чтобы скорость в радиальном направлении наружу $u\; (r,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (r,\; t)\}$была обратно пропорциональна пропорционально квадрату расстояния от начала координат (центра пузыря). Следовательно, позволяя $F\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (t)\}$быть некоторой функцией времени,

$u\; (r,\; t)\; =\; F\; (t)\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (r,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (t)\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\}$

В случае нулевого переноса массы через поверхность пузыря скорость на границе раздела должна быть

$u\; (Р,\; t)\; знак\; равно\; d\; р\; dt\; знак\; равно\; F\; (t)\; р\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (R,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (t)\}\; \{R\; ^\; \{\; 2\}\}\}\}$

, что дает

$F\; (t)\; =\; R\; 2\; d\; R\; /\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (t)\; =\; R\; ^\; \{2\}\; dR\; /\; dt\}$

В случае, когда масса происходит перенос, скорость увеличения массы внутри пузыря определяется выражением

$dm\; V\; dt\; =\; \rho \; V\; d\; V\; dt\; =\; \rho \; V\; d\; (4\; \pi \; R\; 3/3)\; dt\; =\; 4\; \pi \; \rho \; VR\; 2\; d\; R\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dm\_\; \{V\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{V\}\; \{\backslash \; frac\; \{dV\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{V\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; (4\; \backslash \; pi\; R\; ^\; \{\; 3\}\; /\; 3)\}\; \{dt\}\}\; =\; 4\; \backslash \; pi\; \backslash \; rho\; \_\; \{V\}\; R\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\}$

с $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$- объем пузыря. Если $u\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{L\}\}$- скорость жидкости относительно пузыря в $r\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; R\}$, тогда масса, попадающая в пузырек, определяется выражением

$dm\; L\; dt\; =\; \rho \; LA\; u\; L\; =\; \rho \; L\; (4\; \pi \; R\; 2)\; u\; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dm\_\; \{L\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{L\}\; Au\_\; \{L\}\; =\; \backslash \; rho\; \_\; \{L\}\; (4\; \backslash \; pi\; R\; ^\; \{2\})\; u\_\; \{L\}\}$

с $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$- площадь поверхности пузыря. Теперь, сохраняя массу $dmv\; /\; dt\; =\; dm\; L\; /\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; dm\_\; \{v\}\; /\; dt\; =\; dm\_\; \{L\}\; /\; dt\}$, поэтому $u\; L\; =\; (\rho \; V\; /\; \rho \; L)\; d\; R\; /\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; u\_\; \{L\}\; =\; (\backslash \; rho\; \_\; \{V\}\; /\; \backslash \; rho\; \_\; \{L\})\; dR\; /\; dt\}$. Следовательно,

$u\; (R,\; t)\; =\; d\; R\; dt\; -\; u\; L\; =\; d\; R\; dt\; -\; \rho \; V\; \rho \; L\; d\; R\; dt\; =\; (1\; -\; \rho \; V\; \rho \; L)\; d\; R\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (R,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; -\; u\_\; \{L\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{V\}\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{V\}\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\}$

Следовательно,

$F\; (t)\; =\; (1\; -\; \rho \; V\; \rho \; L)\; R\; 2\; d\; R\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (t)\; =\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{V\}\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; \backslash \; right)\; R\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\}$

Во многих случаях плотность жидкости намного больше, чем плотность пара, $\rho \; L\; \gg \; \rho \; V\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{L\}\; \backslash \; gg\; \backslash \; rho\; \_\; \{V\}\}$, так что $F\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (t)\}$может быть аппроксимировано исходной формой нулевого массопереноса $F\; (t)\; =\; R\; 2\; d\; R\; /\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; (t)\; =\; R\; ^\; \{2\}\; dR\; /\; dt\}$, так что

$U\; (r,\; t)\; =\; F\; (t)\; r\; 2\; =\; R\; 2\; r\; 2\; d\; R\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (r,\; t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\; (t)\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\}$

Сохранение импульса

Предполагая, что жидкость является Ньютоновская жидкость, несжимаемая Navi Уравнение Эр – Стокса в сферических координатах для движения в радиальном направлении дает

$\rho \; L\; (\partial \; u\; \partial \; t\; +\; u\; \partial \; u\; \partial \; r)\; =\; -\; \partial \; P\; \partial \; r\; +\; \mu \; L\; [\; 1\; р\; 2\; \partial \; \partial \; р\; (р\; 2\; \partial \; u\; \partial \; р)\; -\; 2\; ur\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{L\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; u\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; +\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2u\}\; \{\; r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right]\}$

Подставляем кинематическая вязкость $\nu \; L\; =\; \mu \; L\; /\; \rho \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{L\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\; /\; \backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}$и перестановка дает

$-\; 1\; \rho \; L\; \partial \; P\; \partial \; r\; =\; \partial \; u\; \partial \; t\; +\; u\; \partial \; u\; \partial \; r\; -\; \nu \; L\; [1\; r\; 2\; \partial \; \partial \; r\; (\; р\; 2\; \partial \; u\; \partial \; r)\; -\; 2\; ur\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; u\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; -\; \backslash \; nu\; \_\; \{L\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2u\}\; \{r\; ^\; \{2\; \}\}\}\; \backslash \; right]\}$

при этом sub сшивание $u\; (r,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (r,\; t)\}$из сохранения массы дает

$-\; 1\; \rho \; L\; \partial \; P\; \partial \; r\; =\; 2\; R\; r\; 2\; (d\; R\; dt)\; 2\; +\; R\; 2\; r\; 2\; d\; 2\; R\; dt\; 2\; -\; 2\; R\; 4\; r\; 5\; (d\; R\; dt)\; 2\; =\; 1\; r\; 2\; (2\; R\; (d\; R\; dt)\; 2\; +\; R\; 2\; d\; 2\; R\; dt\; 2)\; -\; 2\; R\; 4\; р\; 5\; (d\; R\; dt)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; P\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2R\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; R\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{4\}\}\; \{r\; ^\; \{5\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (2R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; R\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; R\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{4\}\}\; \{r\; ^\; \{5\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\; \}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

Обратите внимание, что вязкие члены отменяются во время замены. Разделение переменных и интегрирование от границы пузырька $r\; =\; R\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; R\}$к $r\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$дает

$-\; 1\; \rho \; L\; \int \; P\; (R)\; P\; (\infty )\; d\; P\; =\; \int \; R\; \infty \; [1\; r\; 2\; (2\; R\; (d\; R\; dt)\; 2\; +\; R\; 2\; d\; 2\; R\; dt\; 2)\; -\; 2\; R\; 4\; r\; 5\; (d\; R\; dt)\; 2]\; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{P\; (R)\}\; ^\; \{P\; (\backslash \; infty)\}\; dP\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{R\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (2R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; R\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; d\; ^\; \{2\}\; R\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{4\}\}\; \{r\; ^\; \{5\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; dr\}$

$P\; (R)\; -\; P\; \infty \; \rho \; L\; =\; [-\; 1\; r\; (2\; R\; (d\; R\; dt)\; 2\; +\; R\; 2\; d\; 2\; R\; dt\; 2)\; +\; R\; 4\; 2\; р\; 4\; (d\; R\; dt)\; 2]\; R\; \infty \; =\; R\; d\; 2\; R\; dt\; 2\; +\; 3\; 2\; (d\; R\; dt)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\{\backslash \; frac\; \{P\; (R)\; -P\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; =\; \backslash \; left\; [-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash \; left\; (2R\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; R\; ^\; \{2\; \}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; R\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{4\}\}\; \{2r\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dR\; \}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{R\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; =\; R\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; R\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}$

Граничные условия

Пусть $\sigma \; rr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{rr\}\}$быть нормальным напряжением в жидкости, которое направлено радиально наружу от центра пузыря. В сферических координатах для жидкости с постоянной плотностью и постоянной вязкостью

$\sigma \; rr\; =\; -\; P\; +\; 2\; \mu \; L\; \partial \; u\; \partial \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{rr\}\; =\; -\; P\; +\; 2\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\}$

Следовательно, на некотором небольшом участке поверхности пузыря чистая сила на единицу площади, действующая на пластину, равна

$\sigma \; rr\; (R)\; +\; PB\; -\; 2\; \gamma \; R\; =\; -\; P\; (R)\; +\; 2\; \mu \; L\; \partial \; u\; \partial \; r\; |\; r\; =\; R\; +\; PB\; -\; 2\; \gamma \; R\; =\; -\; P\; (R)\; +\; 2\; \mu \; L\; \partial \; \partial \; r\; (R\; 2\; r\; 2\; d\; R\; dt)\; r\; =\; R\; +\; PB\; -\; 2\; \gamma \; R\; =\; -\; P\; (R)\; -\; 4\; \mu \; LR\; d\; R\; dt\; +\; PB\; -\; 2\; \gamma \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{rr\}\; (R)\; +\; P\_\; \{B\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\}\; \{R\}\}\; =\; -\; P\; (\; R)\; +\; \backslash \; left.2\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; u\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{r\; =\; R\}\; +\; P\_\; \{B\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\}\; \{R\}\}\; \backslash \backslash \; =\; -\; P\; (R)\; +2\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; r\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{r\; =\; R\}\; +\; P\_\; \{B\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\}\; \{R\}\}\; \backslash \backslash \; =\; -\; P\; (R)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\}\; \{R\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; +\; P\_\; \{B\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\}\; \{R\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выравнивается\}\}\}$

, где $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$- это поверхностное натяжение. Если нет массопереноса через границу, то эта сила на единицу площади должна быть равна нулю, поэтому

$P\; (R)\; =\; PB\; -\; 4\; \mu \; LR\; d\; R\; dt\; -\; 2\; \gamma \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (R)\; =\; P\_\; \{B\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\}\; \{R\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\}\; \{R\}\}\}$

и поэтому результат сохранения импульса становится

$P\; (R)\; -\; P\; \infty \; \rho \; L\; =\; PB\; -\; P\; \infty \; \rho \; L\; -\; 4\; \mu \; L\; \rho \; LR\; d\; R\; dt\; -\; 2\; \gamma \; \rho \; LR\; =\; R\; d\; 2\; R\; dt\; 2\; +\; 3\; 2\; (d\; R\; dt)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\; (R)\; -P\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{B\}\; -P\; \_\; \{\backslash \; infty\}\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\; R\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\; R\}\}\; =\; R\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; R\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{\; dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

, переставляя и позволяя $\nu \; L\; =\; \mu \; L\; /\; \rho \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{L\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{L\}\; /\; \backslash \; rho\; \_\; \{\; L\}\}$дает уравнение Рэлея – Плессета

$PB\; (t)\; -\; P\; \infty \; (t)\; \rho \; L\; =\; R\; d\; 2\; R\; dt\; 2\; +\; 3\; 2\; (d\; R\; dt)\; 2\; +\; 4\; \nu \; LR\; d\; R\; dt\; +\; 2\; \gamma \; \rho \; LR\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{B\}\; (t)\; -P\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; (t)\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; =\; R\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{\; 2\}\; R\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; nu\; \_\; \{L\}\}\; \{R\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dR\}\; \{dt\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\; R\}\}\}$

Используя точечную нотацию для представления производных по времени, уравнение Рэлея – Плессета можно более кратко записать как

$PB\; (t)\; -\; P\; \infty \; (t)\; \rho \; L\; знак\; равно\; RR\; ¨\; +\; 3\; 2\; (R\; \dot{})\; 2\; +\; 4\; \nu \; LR\; \dot{}\; R\; +\; 2\; \gamma \; \rho \; LR\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{P\_\; \{B\}\; (t)\; -P\; \_\; \{\backslash \; infty\; \}\; (t)\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\}\}\; =\; R\; \{\backslash \; ddot\; \{R\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\; (\{\backslash \; dot\; \{R\}\})\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; nu\; \_\; \{L\}\; \{\backslash \; dot\; \{R\}\}\}\; \{R\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; rho\; \_\; \{L\}\; R\}\}\}$

Недавно аналитические решения в замкнутой форме были найдены для уравнения Рэлея – Плессета как для пустого, так и для газового пузыря и были обобщены на N-мерный случай. Также был изучен случай, когда поверхностное натяжение присутствует из-за эффектов капиллярности.

Кроме того, для частного случая, когда поверхностное натяжение и вязкость не учитываются, также известны аналитические приближения высокого порядка.

В статическом случае уравнение Рэлея – Плессета упрощается, давая уравнение Юнга-Лапласа :

$PB\; -\; P\; \infty \; =\; 2\; \gamma \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{B\}\; -P\; \_\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; gamma\}\; \{R\}\}\}$

Когда рассматриваются только бесконечно малые периодические изменения радиуса пузыря и давления, уравнение RP также дает выражение собственной частоты колебаний пузыря.