Войти
| Рационализируемость | |
|---|---|
| A концепция решения в теории игр | |
| Взаимосвязь | |
| Надмножество | Нэша равновесие |
| Значение | |
| Предложено | D. Бернхейм и Д. Пирс |
| Пример | Соответствие пенни |
В теории игр, рационализируемость - это концепция решения. Общая идея состоит в том, чтобы обеспечить самые слабые ограничения для игроков, при этом требуя, чтобы игроки были рациональными, и эта рациональность общеизвестна среди игроков. Это более снисходительно, чем равновесие по Нэшу. Оба требуют, чтобы игроки оптимально реагировали на некоторые убеждения о действиях их оппонентов, но равновесие по Нэшу требует, чтобы эти убеждения были правильными, а рациональность - нет. Рационализируемость была впервые независимо определена Бернхеймом (1984) и Пирсом (1984).
Для игры нормальной формы рационализируемый набор действий можно вычислить следующим образом: Начните с полного набора действий для каждого игрока. Затем удалите все действия, которые никогда не являются лучшим ответом на какое-либо мнение о действиях оппонентов - мотивация для этого шага заключается в том, что ни один рациональный игрок не может выбрать такие действия. Затем удалите все действия, которые никогда не являются лучшим ответом на какое-либо мнение о оставшихся действиях оппонентов - этот второй шаг оправдан, потому что каждый игрок знает, что другие игроки рациональны. Продолжайте процесс, пока не прекратите дальнейшие действия. В игре с конечным числом действий этот процесс всегда завершается и оставляет непустой набор действий для каждого игрока. Это рациональные действия.
| A | B | |
|---|---|---|
| a | 1, 1 | 0, 0 |
| b | 0, 0 | 1, 1 |
Рассмотрим простой координационная игра (справа матрица выплат ). Игрок строки может сыграть a, если он может разумно полагать, что игрок столбца может сыграть A, поскольку a является лучшим ответом на A. Он может разумно полагать, что игрок столбца может сыграть A, если это разумно для игрок столбца полагает, что игрок строки может сыграть a. Она может верить, что он сыграет a, если для нее есть основания полагать, что он мог сыграть a и т. Д.
| C | D | |
|---|---|---|
| c | 2, 2 | 0, 3 |
| d | 3, 0 | 1, 1 |
Это дает бесконечную цепочку последовательных убеждений, в результате которых игроки играют (a, A). Это делает (a, A) рациональной парой действий. Аналогичный процесс можно повторить для (b, B).
В качестве примера, когда не все стратегии можно рационализировать, рассмотрим дилемму заключенного, изображенную слева. Игрок строки никогда не будет играть c, поскольку c - не лучший ответ на любую стратегию игрока столбца. По этой причине c не поддается рационализации.
| L | R | |
|---|---|---|
| t | 3, - | 0, - |
| m | 0, - | 3, - |
| b | 1, - | 1, - |
И наоборот, для игр двух игроков множество всех рационализируемых стратегий может быть найдено путем повторного исключения строго доминируемых стратегий. Однако, чтобы этот метод работал, необходимо также учитывать строгое доминирование смешанных стратегий. Рассмотрим игру справа, в которой для простоты опущены выплаты игрока из столбца. Обратите внимание, что «b» не находится под строгим преобладанием ни «t», ни «m» в смысле чистой стратегии, но все же преобладает стратегия, которая смешала бы «t» и «m» с вероятностью каждого, равной 1 / 2. Это связано с тем, что при любом представлении о действиях игрока в столбце смешанная стратегия всегда будет давать более высокий ожидаемый выигрыш. Это означает, что «b» не поддается рационализации.
Более того, «b» не является лучшим ответом ни на «L», ни на «R», ни на любое их сочетание. Это потому, что действие, которое невозможно рационализировать, никогда не может быть лучшим ответом на любую стратегию оппонента (чистую или смешанную). Это означало бы другую версию предыдущего метода поиска рационализируемых стратегий, таких как стратегии, которые выживают после повторного исключения стратегий, которые никогда не являются лучшим ответом (в чистом или смешанном смысле).
Однако в играх с более чем двумя игроками могут быть стратегии, в которых нет строгого доминирования, но которые никогда не могут быть лучшим ответом. Путем повторного исключения всех таких стратегий можно найти рациональные стратегии для многопользовательской игры.
Можно легко доказать, что любое равновесие по Нэшу является рациональным равновесием; однако обратное неверно. Некоторые рациональные равновесия не являются равновесиями по Нэшу. Это делает концепцию рационализируемости обобщением концепции равновесия по Нэшу.
| H | T | |
|---|---|---|
| h | 1, -1 | -1, 1 |
| t | -1, 1 | 1, -1 |
В качестве примера рассмотрим игру совпадающие пенни, изображенные справа. В этой игре единственное равновесие по Нэшу - это игра по строкам h и t с равной вероятностью и игра по столбцам с H и T с равной вероятностью. Однако все чистые стратегии в этой игре поддаются рационализации.
Рассмотрим следующие аргументы: строка может воспроизводить h, если для нее есть основания полагать, что столбец будет воспроизводить H. Столбец может воспроизводить H, если для него разумно полагать, что эта строка будет воспроизводить t. Строка может сыграть t, если для нее есть основания полагать, что столбец будет играть T. Столбец может сыграть T, если для него разумно полагать, что строка будет играть h (начало цикла снова). Это обеспечивает бесконечный набор последовательных убеждений, что приводит к игре h. Аналогичный аргумент может быть приведен для воспроизведения строки t и для воспроизведения столбца H или T.
