Рациональное ценообразование

редактировать

Рациональное ценообразование - это допущение в финансовой экономике, что цены на активы (и, следовательно, модели ценообразования ) будут отражать безарбитражную цену актива, так как любое отклонение от этой цены будет «списано на арбитраж». Это предположение полезно при ценообразовании ценных бумаг с фиксированным доходом, особенно облигаций, и имеет фундаментальное значение для ценообразования производных инструментов.

Содержание

1 Механика арбитража
- 1.1 Закон одной цены
- 1.2 Активы с идентичными денежными потоками
- 1.3 Актив с известной будущей ценой
2 Ценные бумаги с фиксированным доходом
3 Ценообразование деривативов
- 3.1 Фьючерсы
- 3.2 Свопы
  - 3.2.1 Оценка при инициировании
  - 3.2.2 Последующая оценка
- 3.3 Опционы
  - 3.3.1 Ценообразование без арбитража
    - 3.3.1.1 Дельта-хеджирование
    - 3.3.1.2 Репликационный портфель
  - 3.3.2 Оценка без учета риска
    - 3.3.2.1 Допущение нейтральности риска
4 Ценообразование акций
5 Ценообразование без арбитража при системном риске
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Механика арбитража

Арбитраж - это практика использования состояния дисбаланса между двумя (или, возможно, более) рынками. Если это несоответствие может быть использовано (например, после транзакционных издержек, затрат на хранение, транспортных расходов, дивидендов и т. Д.), Арбитражер может «зафиксировать» безрисковую прибыль, покупая и продавая одновременно на обоих рынках.

В общем, арбитраж гарантирует, что "закон одной цены " будет выполняться; арбитраж также уравнивает цены на активы с идентичными денежными потоками и устанавливает цену активов с известными будущими денежными потоками.

Закон одной цены

Один и тот же актив должен торговаться по одинаковой цене на всех рынках ("закон одной цены "). Если это не так, арбитражер:

купит актив на рынке, где он имеет более низкую цену, и одновременно продаст его (в короткую позицию ) на втором рынке по более высокой цене
доставить актив покупателю и получить ту более высокую цену
заплатить продавцу на более дешевом рынке выручкой и присваивать разницу.

Активы с одинаковыми денежными потоками

Два активы с одинаковыми денежными потоками должны торговаться по одинаковой цене. Если это не так, арбитражер:

продаст актив по более высокой цене (короткая продажа ) и одновременно купит актив по более низкой цене
профинансирует его покупку более дешевый актив на выручку от продажи дорогого актива и карман на разницу
выполнить свои обязательства перед покупателем дорогого актива, используя денежные потоки от более дешевого актива.

Актив с известная будущая цена

Актив с известной будущей ценой должен сегодня торговаться по этой цене со скидкой по безрисковой ставке.

Обратите внимание, что это условие можно просмотреть в качестве применения вышеизложенного, где два рассматриваемых актива - это актив, который будет доставлен, и безрисковый актив.

(a) когда дисконтированная будущая цена выше сегодняшней цены:

Арбитражер соглашается поставить актив в будущую дату (т.е. продает форвард ) и одновременно покупает его сегодня с заемными деньгами.
В день поставки арбитражер передает базовый актив и получает согласованную цену.
Затем он выплачивает кредитору заемную сумму плюс проценты.
Разница между согласованной ценой и суммой погашения (т. Е. Причитающейся суммы) составляет арбитражную прибыль.

(b) когда дисконтированная будущая цена ниже сегодняшней цены:

Арбитражер соглашается заплатить за актив по будущая дата (т.е. форвардная покупка ) и одновременная продажа (короткой позиции ) базового актива сегодня; он инвестирует (или сохраняет в банке) выручку.
В день поставки он обналичивает зрелую инвестицию, которая выросла по безрисковой ставке.
Затем он принимает поставку базового актива и выплачивает согласованную цену с использованием инвестиций с наступившим сроком погашения.
Разница между стоимостью погашения и согласованной ценой является арбитражной прибылью.

Пункт (b) возможен только для тех, кто владеет активом, но не нуждается в нем до тех пор, пока дата в будущем. Таких сторон может быть немного, если краткосрочный спрос превышает предложение, что ведет к бэквордации.

Ценные бумаги с фиксированным доходом

См. Также Арбитраж с фиксированным доходом ;.

Рациональное ценообразование - это один из подходов, используемых при ценообразовании облигаций с фиксированной ставкой. Здесь каждый денежный поток может быть сопоставлен путем торговли (а) некоторым кратным бескупонной облигацией, соответствующей дате купона, и эквивалентом (если возможно, от того же эмитента, что и оцениваемая облигация) с соответствующим сроком погашения или (b) в соответствующей полосе и ZCB. Затем, учитывая, что денежные потоки могут быть воспроизведены, цена облигации должна сегодня равняться сумме каждого из ее денежных потоков, дисконтированных по той же ставке, что и каждый ZCB (на # Активы с идентичными денежными потоками). Если бы это было не так, был бы возможен арбитраж, который вернул бы цену в соответствие с ценой, основанной на ZCB. Механика следующая.

Если цена облигации не соответствует приведенной стоимости ZCB, арбитражер мог:

профинансировать покупку той облигации или суммы ZCB, которая была дешевле
посредством продажи без покрытия другого
и выполнения своих обязательств по денежным потокам с использованием купонов или нулевых сроков погашения, в зависимости от ситуации
, тогда ее прибыль будет равна разнице между двумя значениями.

Тогда формула ценообразования: $P 0 = ∑ t = 1 TC t (1 + rt) t {\ displaystyle P_ {0} = \ sum _ {t = 1} ^ {T} {\ frac {C_ {t}} {(1 + r_ {t}) ^ {t}}}}$ $P_ { 0} = \ sum _ {{t = 1}} ^ {T} {\ frac {C_ {t}} {(1 + r_ {t}) ^ {t}}}$ , где каждый денежный поток $C t {\ displaystyle C_ {t} \,}$ $C_ {t } \,$ дисконтируется по ставке $rt {\ displaystyle r_ {t} \,}$ $r_ {t} \,$ , которая соответствует дате купона. Часто формула выражается как $P 0 = ∑ t = 1 TC (t) × P (t) {\ displaystyle P_ {0} = \ sum _ {t = 1} ^ {T} C (t) \ times P (t)}$ $P_ {0} = \ sum _ {{t = 1}} ^ {T} C (t) \ times P (t)$ , используя цены вместо ставок, поскольку цены более доступны.

Ценообразование деривативов

A дериватив - это инструмент, который позволяет покупать и продавать один и тот же актив на двух рынках - спотовом рынке и рынке деривативов. Математические финансы предполагают, что любой дисбаланс между двумя рынками будет устранен арбитражем. Таким образом, в правильно оцененном производном контракте цена производного инструмента, цена исполнения (или справочная ставка ) и спотовая цена будут связаны таким образом, что арбитраж это невозможно. См. Фундаментальная теорема ценообразования без арбитража.

Фьючерсы

В фьючерсном контракте , если арбитраж невозможен, цена, уплаченная при поставке (форвард цена ) должна быть такой же, как стоимость (включая проценты) покупки и хранения актива. Другими словами, рациональная форвардная цена представляет собой ожидаемую будущую стоимость базового, дисконтированного по безрисковой ставке («актив с известной будущей ценой ", как указано выше); см. Спот – паритет будущего. Таким образом, для простого актива, не приносящего дивиденды, стоимость фьючерса / форварда $F (t) {\ displaystyle F (t) \,}$ $F (t) \,$ будет найдена путем накопления приведенная стоимость $S (t) {\ displaystyle S (t) \,}$ $S (t) \,$ в момент $t {\ displaystyle t \,}$ $t\,$ до погашения $T {\ displaystyle T \,}$ $T \,$ по норме безрисковой доходности $r {\ displaystyle r \,}$ $r \,$ .

F (t) = S (t) × (1 + r) (T - t) {\ displaystyle F (t) = S (t) \ times (1 + r) ^ {(Tt)} \,}

F (t) = S (t) \ times (1 + r) ^ {{(Tt)}} \,

Это соотношение может быть изменено для затрат на хранение, дивидендов, дивидендной доходности, и удобство урожая; см. ценообразование фьючерсных контрактов.

Любое отклонение от этого равенства допускает следующий арбитраж.

В случае, если форвардная цена выше:

Арбитражер продает фьючерсный контракт и покупает базовый актив сегодня (на спотовом рынке) на заемные деньги.
В дату поставки арбитражер передает базовый актив и получает согласованную форвардную цену.
Затем он выплачивает кредитору заемную сумму плюс проценты.
Разница между двумя суммами составляет арбитражную прибыль.

В случай, когда форвардная цена ниже:

Арбитражер покупает фьючерсный контракт и продает базовый актив сегодня (на спотовом рынке); он инвестирует выручку.
В день поставки он обналичивает зрелые инвестиции, которые выросли по безрисковой ставке.
Затем он получает базовый актив и оплачивает согласованную форвардную цену, используя созревшие инвестиции. [Если у него была короткая позиция базового актива, он возвращает его сейчас.]
Разница между двумя суммами составляет арбитражную прибыль.

Свопы

Рациональное ценообразование лежит в основе логика свопа оценки. Здесь два контрагента «свопируют» обязательства, эффективно обменивая потоки денежного потока, рассчитанные на условную основную сумму, а стоимость свопа равна приведенная стоимость (PV) обоих наборов будущих денежных потоков, «вычтенных» друг против друга. Чтобы не допускать арбитража, условия контракта на своп таковы, что первоначально чистая приведенная стоимость этих будущих денежных потоков равна нулю; см. Своп (финансы) # Оценка и ценообразование. После продажи свопы также могут (должны) оцениваться с использованием рациональных цен. Приведенные ниже примеры относятся к процентным свопам - и представляют чисто рациональное ценообразование, поскольку оно исключает - хотя этот принцип применяется к любому типу свопа.

Оценка при инициировании

Рассмотрим своп процентной ставки с фиксированной на плавающую, где Сторона A платит фиксированную ставку («Ставка свопа »), а Сторона B платит плавающую ставку. Здесь фиксированная ставка будет такой, что приведенная стоимость будущих платежей с фиксированной ставкой Стороной A будет равна приведенной стоимости ожидаемых будущих платежей с плавающей ставкой (т. Е. NPV равна нулю). Если бы это было не так, арбитражер C мог бы:

занять позицию с более низкой приведенной стоимостью платежей и заимствовать средства, равные этой приведенной стоимости
Выполнить обязательства по денежному потоку по позиции путем используя заемные средства, и получите соответствующие платежи, имеющие более высокую приведенную стоимость
Используйте полученные платежи для погашения долга по заемным средствам
Оставьте разницу - где разница между приведенная стоимость ссуды и приведенная стоимость притока - это арбитражная прибыль

Последующая оценка

Плавающая часть процентного свопа может быть «разложена» на серию соглашений о форвардных ставках. Здесь, поскольку своп имеет идентичные платежи в FRA, цены без арбитража должны применяться, как указано выше, то есть стоимость этого участка равна стоимости соответствующих FRA. Точно так же часть свопа «фиксированное получение» может быть оценена путем сравнения с облигацией с тем же графиком платежей. (Соответственно, учитывая, что их базовые участники имеют одинаковые денежные потоки, опционы на облигации и свопционы приравниваются.) См. Своп (финансовый) # Использование облигации цены.

Опционы

Как указано выше, если стоимость актива в будущем известна (или ожидается), это значение можно использовать для определения рациональной цены актива сегодня. Однако в контракте на опцион исполнение зависит от цены базового актива, и, следовательно, платеж является неопределенным. Поэтому модели ценообразования опционов включают логику, которая либо «фиксирует», либо «делает вывод» об этой будущей стоимости; оба подхода дают одинаковые результаты. Методы, фиксирующие будущие денежные потоки, предполагают ценообразование без арбитража, а методы, которые делают вывод об ожидаемой стоимости, предполагают нейтральную оценку риска.

Для этого (в их простейшей, но широко используемой форме) оба подхода предполагают «биномиальную модель». "для поведения базового инструмента, который допускает только два состояния - вверх или вниз. Если S - текущая цена, то в следующем периоде цена будет либо S вверх, либо S вниз. Здесь значение доли в активном состоянии равно S × u, а в неактивном состоянии - S × d (где u и d - множители с d < 1 < u and assuming d < 1+r < u; see the моделью биномиальных опционов ). Затем, учитывая эти два состояния, подход «без арбитража» создает позицию, которая имеет одинаковую ценность в любом из состояний - следовательно, известен денежный поток за один период и применимо арбитражное ценообразование. Подход, нейтральный к риску, выводит ожидаемую стоимость опциона из внутренних значений на двух последних узлах.

Хотя эта логика кажется далекой от формулы Блэка – Шоулза и решеточного подхода в модели биномиальных опций, на самом деле она лежит в основе обеих моделей; см. PDE Блэка – Шоулза. Предположение о биномиальном поведении базовой цены является оправданным, поскольку количество временных шагов между сегодняшним днем (оценкой) и исполнением увеличивается, а период на временной шаг, соответственно, короткий. Модель биномиальных опционов допускает большое количество очень коротких временных шагов (если правильно закодировано ), в то время как модель Блэка – Шоулза фактически моделирует непрерывный процесс.

Приведенные ниже примеры имеют общие черты. как базовый, но может быть обобщен на другие инструменты. Стоимость опциона пут может быть получена, как показано ниже, или может быть найдена из стоимости колла с использованием паритета пут-колл.

Арбитражное ценообразование

Здесь, будущая выплата «фиксируется» с использованием либо «дельта-хеджирования», либо подхода «репликации портфеля ». Как и выше, эта выплата затем дисконтируется, и результат используется при оценке опциона сегодня.

Дельта-хеджирование

Можно создать позицию, состоящую из Δ акций и 1 колл проданных, так что стоимость позиции будет одинаковой. в состояниях S вверх и S вниз и, следовательно, известны с уверенностью (см. Дельта-хеджирование ). Это определенное значение соответствует указанной выше форвардной цене («Актив с известной будущей ценой» ), и, как указано выше, для невозможности арбитража текущая стоимость позиции должна быть ее ожидаемой будущей стоимостью. дисконтированы по безрисковой ставке, r . Затем стоимость звонка определяется приравниванием двух.

Найдите Δ таким образом, чтобы:
значение позиции за один период = Δ × S вверх - $max {\ displaystyle max}$ $макс$ (S вверх - цена страйка, 0) = Δ × S вниз - $max {\ displaystyle max}$ $макс$ (S вниз - цена исполнения, 0)
Найдите значение колла, используя Δ, где:
значение позиции сегодня = значение позиции за один период ÷ (1 + r) = Δ × S current - значение call

Реплицирующий портфель

Возможно создание позиции, состоящей из Δ акций и B, взятых в долг по безрисковой ставке, что приведет к идентичным денежным потокам по одному опциону на базовую акцию. Созданная позиция известна как «реплицирующий портфель», поскольку ее денежные потоки повторяют денежные потоки опциона. Как показано выше («Активы с идентичными денежными потоками» ), при отсутствии возможностей арбитража, поскольку производимые денежные потоки идентичны, цена опциона сегодня должна быть такой же, как и стоимость позиции. сегодня.

Решите одновременно для Δ и B так, чтобы:
- Δ × S вверх - B × (1 + r) = $max {\ displaystyle \ max}$ $\ max$ (0, S up - цена исполнения)
- Δ × S down - B × (1 + r) = $max {\ displaystyle \ max}$ $\ max$ (0, S down - цена исполнения)
Найдите стоимость звонка, используя Δ и B, где:
- call = Δ × S current - B

Обратите внимание, что здесь нет дисконтирования - процентная ставка появляется только как часть строительства. Таким образом, этот подход используется вместо других, когда неясно, может ли безрисковая ставка применяться как ставка дисконтирования в каждой точке принятия решения, или вместо этого надбавка к безрисковой, в зависимости от штата, потребуются. Лучшим примером этого может служить раздел Анализ реальных опционов, где действия руководства фактически изменяют характеристики риска рассматриваемого проекта, и, следовательно, Требуемая норма прибыли может отличаться в - и даун-состояния. Здесь, в приведенных выше формулах, мы имеем: «Δ × S вверх - B × (1 + r вверх )...» и «Δ × S вниз - B × (1 + r вниз )... ". См. Оценка реальных опционов # Технические соображения. (Другой случай, когда допущения моделирования могут отклоняться от рационального ценообразования, - это оценка опционов сотрудников на акции.)

Оценка без риска риска

Здесь рассчитывается стоимость опциона с использованием допущения нейтральности риска. Согласно этому предположению, «ожидаемое значение » (в отличие от «заблокированного» значения) дисконтировано. Ожидаемое значение рассчитывается с использованием внутренних значений из двух более поздних узлов: «Вариант вверх» и «Вариант вниз», с u и d в качестве множителей цены. как указано выше. Затем они взвешиваются по их соответствующим вероятностям: «вероятность» p восходящего движения базового актива и «вероятность» (1-p) нисходящего движения. Затем ожидаемое значение дисконтируется до r, безрисковая ставка.

Решите для p
при нейтральном риске, чтобы не было возможности арбитража по акциям, сегодняшняя цена должна представлять ее ожидаемую стоимость, дисконтированную по безрисковой ставке (т. е. цена акции - Мартингейл ):
$S = p × S u + (1 - p) × S d 1 + r = p × u × S + (1 - p) × d × S 1 + r ⇒ p = (1 + r) - du - d {\ displaystyle {\ begin {align} S = {\ frac {p \ times S_ {u} + (1-p) \ times S_ {d}} {1 + r}} \\ = {\ frac {p \ times u \ times S + (1-p) \ times d \ times S} {1 + r} } \\\ Rightarrow p = {\ frac {(1 + r) -d} {ud}} \\\ end {align}}}$ ${\ begin {выровнено} S = {\ frac {p \ times S_ {u} + (1-p) \ times S_ { d}} {1 + r}} \\ = {\ frac {p \ times u \ times S + (1-p) \ times d \ times S} {1 + r}} \\\ Стрелка вправо p = {\ frac {(1 + r) -d} {ud}} \\\ end {align}}$
Найдите значение вызова, используя p
, если нет Чтобы арбитраж был возможен в колле, сегодняшняя цена должна представлять ее ожидаемое значение, дисконтированное по безрисковой ставке:
$C = p × C u + (1 - p) × C d 1 + r = p × max (S u - k, 0) + (1 - p) × max (S d - k, 0) 1 + r {\ displaystyle {\ begin {align} C = {\ frac {p \ times C_ {u} + (1- p) \ times C_ {d}} {1 + r}} \\ = {\ frac {p \ times \ max (S_ {u} -k, 0) + (1-p) \ times \ max (S_ {d} -k, 0)} {1 + r}} \\\ конец {выровнено}}}$ ${\ begin {align} C = {\ frac {p \ times C_ {u} + (1 -p) \ times C_ {d}} {1 + r}} \\ = {\ frac {p \ times \ max (S_ {u} -k, 0) + (1-p) \ times \ max ( S_ {d} -k, 0) } {1 + r}} \\\ конец {выровнено}}$

Допущение нейтральности риска

Обратите внимание, что приведенная выше формула нейтрального риска не относится к ожидаемой или прогнозируемой доходности базового актива, ни его волатильность - p как решенная, не относится к нейтральному к риску показателю в отличие от фактического распределения вероятностей цен. Тем не менее, как ценообразование без арбитража, так и оценка без риска дают идентичные результаты. Фактически, можно показать, что «дельта-хеджирование» и «оценка без учета риска» используют идентичные формулы, выраженные по-разному. Учитывая эту эквивалентность, при ценообразовании деривативов допустимо предположить «нейтральный риск». Более формальные отношения описываются с помощью фундаментальной теоремы ценообразования без арбитража.

ценообразования акций

теории ценообразования (APT), общей теории ценообразования активов, оказал влияние на ценообразование акций. APT считает, что ожидаемая доходность финансового актива может быть смоделирована как линейная функция различных макроэкономических факторов, где чувствительность к изменениям каждого фактора равна представлен коэффициентом бета-коэффициентом :

E (rj) = rf + bj 1 F 1 + bj 2 F 2 +... + bjn F N + ϵ J {\ Displaystyle E \ left (r_ {j} \ right) = r_ {f} + b_ {j1} F_ {1} + b_ {j2} F_ {2} +... + b_ {jn} F_ {n} + \ epsilon _ {j}}

E \ left (r_ {j} \ right) = r_ {f} + b _ {{j1}} F_ {1} + b _ {{j2}} F_ {2} +... + b _ {{jn}} F_ {n} + \ epsilon _ {j}

где

$E (rj) {\ displaystyle E (r_ {j})}$ $E(r_{j})$ - ожидаемая доходность рискованного актива,
$rf {\ displaystyle r_ {f}}$ $r_f$ - это безрисковая ставка,
$F k {\ displaystyle F_ {k}}$ $F_ {k}$ - макроэкономический фактор,
$bjk {\ displaystyle b_ {jk}}$ $b _ {{jk}}$ - чувствительность актива к коэффициенту $k {\ displaystyle k}$ $k$ ,
и $ϵ j {\ displaystyle \ epsilon _ {j}}$ $\ epsilon_j$ - идиосинкразический случайный шок рискованного актива со средним нулевым значением.

Затем для правильной оценки актива будет использоваться полученная по модели норма прибыли - цена актива должна равняться ожидаемому концу периода. цена со скидкой по ставке, предполагаемой моделью. Если цена расходится, арбитраж должен вернуть ее в норму. Здесь для проведения арбитража инвестор «создает» актив с правильной оценкой (синтетический актив), портфель с такой же чистой подверженностью каждому из макроэкономических факторов, что и актив с неверной оценкой, но с другой ожидаемой доходностью. Подробную информацию о построении портфеля см. В статье теория арбитражного ценообразования. Таким образом, арбитражер может получить безрисковую прибыль следующим образом:

Если цена актива слишком низкая, портфель должен был бы вырасти со скоростью, подразумеваемой APT, тогда как актив с неверной оценкой был бы оценен больше, чем это скорость. Таким образом, арбитражер может:

Сегодня: короткая продажа портфеля и покупка актива с неверной оценкой на выручку.
В конце периода: продать актив с неверной оценкой, использовать выкупает портфель и кладет разницу в карман.

Если цена актива слишком высока, портфель должен вырасти в цене со скоростью, предполагаемой APT, тогда как актив с неверной оценкой будет стоить меньше, чем эта ставка. Таким образом, арбитражер может:

Сегодня: продать без покрытия актив с неверной оценкой и купить портфель на выручку.
В конце периода: продать портфель, использовать выручку чтобы выкупить актив по неверной цене и получить разницу.

Обратите внимание, что при «истинном арбитраже» инвестор фиксирует гарантированную выплату, тогда как при арбитраже APT инвестор фиксирует положительную ожидаемую выплату. Таким образом, APT предполагает «арбитраж в ожиданиях» - то есть арбитраж со стороны инвесторов приведет цены на активы в соответствие с доходностью, ожидаемой моделью.

Модель ценообразования основных средств (CAPM) - более ранняя, (более) влиятельная теория ценообразования активов. Несмотря на то, что CAPM основан на различных предположениях, в некотором смысле его можно рассматривать как «особый случай» APT; в частности, линия рынка ценных бумаг CAPM представляет собой однофакторную модель цены актива, где бета - это подверженность изменениям «стоимости рынка» в целом.

Ценообразование без арбитража при системном риске

Классические методы оценки, такие как модель Блэка-Шоулза или модель Мертона, не могут учитывать системный риск контрагента, который присутствует в системах с финансовой взаимосвязанностью. Более подробную информацию о нейтральной к риску, безарбитражной оценке активов и производных инструментов можно найти в статье системный риск (см. Также оценка по системному риску ).

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Арбитражное ценообразование

Арбитражное ценообразование, сайт «История экономической мысли»
Идея арбитражного ценообразования, Сами Мохаммед, Quantnotes
«Фундаментальная теорема» финансов ; часть II. Профессор Марк Рубинштейн, Школа бизнеса Хааса
Теория элементарного ценообразования, профессор Кей Си Бордер Калифорнийский технологический институт
Понятие арбитража и бесплатный обед в области математических финансов, проф. Вальтер Шахермайер
Отсутствие арбитража в непрерывном времени, профессор Тайлер Шамвей

Риск-нейтралитет и ценообразование без арбитража

Риск-нейтральное ценообразование в дискретном времени (PDF ), проф. Дон М. Шанс
Объяснение нейтральных к риску вероятностей. Николя Гизигер
Оценка без риска: мягкое введение, Часть II. Джозеф Тэм Университет Дьюка

Заявка на деривативы

Оценка опционов в биномиальной модели (в архиве ), профессор Эрнст Моуг, Политехнический институт Ренсселера
Ценообразование Фьючерсы и форварды по аргументу арбитража, Quantnotes
Взаимосвязь между фьючерсами и спотовыми ценами, Общество инвестиционных аналитиков Южной Африки
Иллюзии динамического воспроизведения, Эмануэль Дерман и Нассим Талеб
Обмены и опционы, профессор Дон М. Чанс