Теория Рамсея

редактировать
Раздел математики, изучающий условия, при которых должен появляться порядок

Теория Рамси, названная в честь британского математика и философ Фрэнк П. Рэмси - это раздел математики, который фокусируется на появлении порядка в субструктуре при наличии структуры известного размера. Проблемы в теории Рамсея обычно задают вопрос формы: «Насколько большой должна быть некоторая подструктура, чтобы гарантировать выполнение определенного свойства?» В частности, Рон Грэм описал теорию Рэмси как «ветвь комбинаторики ".

Содержание

  • 1 Примеры
  • 2 Результаты
  • 3 См. Также
  • 4 Примечания
  • 5 Ссылки

Примеры

Типичный результат в теории Рамсея начинается с некоторой математической структуры, которая затем разрезается на части. Насколько велика должна быть исходная структура, чтобы гарантировать, что хотя бы одна из частей имеет данное интересное свойство? Эта идея может быть определена как регулярность разбиения.

Например, рассмотрим полный граф порядка n; то есть, есть n вершин, и каждая вершина соединена с каждым другая вершина - ребром. Полный граф порядка 3 называется треугольником. Теперь раскрасьте каждое ребро в красный или синий цвет. Насколько большим должно быть n, чтобы гарантировать наличие либо синего треугольника, либо красного треугольника? Оказывается что ответ - 6. См. статью о теореме Рамсея для строгого доказательства.

Другой способ выразить этот результат следующим образом: на любой вечеринке с at минимум шесть человек, есть три человека, которые все либо общие знакомые (каждый знает двух других), либо общие незнакомцы (каждый не знает ни одного из двух). См. теорему о друзьях и незнакомцах.

. Это также частный случай теоремы Рамсея, которая гласит, что для любого заданного целого числа c любые заданные целые числа n 1,..., n c, существует число R (n 1,..., n c) такое, что если края полного граф порядка R (n 1,..., n c) раскрашен c разных цветов, тогда для некоторого i между 1 и c он должен содержать полный подграф заказ n i, все края которого имеют цвет i. В частном случае выше c = 2 и n 1 = n 2 = 3.

Результаты

Две ключевые теоремы теории Рамсея:

  • Теорема Ван дер Вардена : для любых заданных c и n существует число V, такое, что если V последовательных чисел окрашены c разных цветов, тогда оно должно содержать арифметическую прогрессию длины n, все элементы которого одного цвета.
  • Теорема Хейлза – Джеветта : для любых заданных n и c существует такое число H, что если клетки H-мерного n × n × n ×... × n куб окрашен в c цветов, должна быть одна строка, столбец и т. Д. Длины n, все ячейки которых одного цвета. То есть: многопользовательская игра n-in-a-row tic-tac-toe не может закончиться ничьей, независимо от того, насколько велико n и сколько людей играет, если вы играете на плате с достаточно большим размером. Из теоремы Хейлза – Джеветта следует теорема Ван дер Вардена.

Теорема, аналогичная теореме Ван дер Вардена, - это теорема Шура : для любого заданного c существует такое число N, что если числа 1, 2,..., N окрашены в c разных цветов, тогда должна быть пара целых чисел x, y такая, что x, y и x + y одного цвета. Существует множество обобщений этой теоремы, включая теорему Радо, теорему Радо – Фолкмана – Сандерса, теорему Хиндмана и теорему Милликена – Тейлора. Классический справочник по этим и многим другим результатам в теории Рамсея - это Грэм, Ротшильд, Спенсер и Солимози, обновленный и расширенный в 2015 году до своего первого нового издания за 25 лет.

Результаты в теории Рамси обычно имеют две основные характеристики.. Во-первых, они неконструктивны : они могут показать, что некоторая структура существует, но они не дают никакого процесса для поиска этой структуры (кроме перебора ). Например, принцип имеет такую ​​форму. Во-вторых, хотя результаты теории Рамсея действительно говорят, что достаточно большие объекты обязательно должны содержать заданную структуру, часто для доказательства этих результатов требуется, чтобы эти объекты были чрезвычайно большими - границы, которые растут экспоненциально или даже так быстро, как Функция Аккермана не редкость. В некоторых небольших нишевых случаях улучшаются верхние и нижние границы, но не в целом. Во многих случаях эти оценки являются артефактами доказательства, и неизвестно, можно ли их существенно улучшить. В других случаях известно, что любая граница должна быть чрезвычайно большой, иногда даже больше, чем любая примитивно-рекурсивная функция ; см. пример теоремы Пэрис – Харрингтона. Число Грэма, одно из самых больших чисел, когда-либо использовавшихся в серьезном математическом доказательстве, является верхней границей для проблемы, связанной с теорией Рамсея. Другим крупным примером является проблема булевых троек Пифагора.

Теоремы теории Рамсея обычно относятся к одному из следующих двух типов. Многие такие теоремы, смоделированные на основе самой теоремы Рамсея, утверждают, что в каждом разделе большого структурированного объекта один из классов обязательно содержит большой структурированный подобъект, но не дают информации о том, к какому классу это относится. В других случаях причиной результата типа Рамсея является то, что самый большой класс разделения всегда содержит желаемую подструктуру. Результаты этого последнего типа называются либо результатами плотности, либо результатами типа Турана, после теоремы Турана. Известные примеры включают теорему Семереди, которая является таким усилением теоремы ван дер Вардена, и версию теоремы Хейлса-Джеветта для плотности.

См. Также

Примечания

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-03 07:50:40
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте