Поле Рамона – Рамона

В теоретической физике, поля Рамона – Рамона являются дифференциальными формируют поля в 10-мерном пространстве-времени типа II теории супергравитации, которые являются классическими пределами теории струн типа II. Ранги полей зависят от того, какая теория типа II рассматривается. Как Джозеф Полчински утверждал в 1995 году, D-браны являются заряженными объектами, которые действуют как источники этих полей, в соответствии с правилами электродинамики p-форм. Было высказано предположение, что квантовые RR-поля не являются дифференциальными формами, а вместо этого классифицируются искаженной K-теорией.

Прилагательное «Рамон – Рамонд» отражает тот факт, что в формализме RNS, эти поля появляются в секторе Рамона – Рамона, в котором все векторные фермионы периодичны. Оба использования слова «Рамон» относятся к Пьеру Рамону, который изучал такие граничные условия (так называемые граничные условия Рамона ) и поля, которые им удовлетворяют в 1971 году.

• 1 Определение полей
  • 1.1 Поля в каждой теории
  • 1.2 Демократичная формулировка
• 2 Калибровочные преобразования Рамона – Рамона
  • 2.1 Улучшенная напряженность поля
• 3 Уравнения поля
  • 3.1 Уравнения и тождества Бианки
  • 3.2 D-браны являются источниками для полей RR
  • 3.3 Интерпретация скрученной K-теории
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Поля в каждой теории

Как в теории электромагнетизма Максвелла и ее обобщении, электродинамика p-формы, поля Рамона – Рамона (RR) попадают в пары, состоящие из p-формы потенциала C p и (p + 1) -формы напряженности поля G p + 1. Напряженность поля, как обычно, определяется как внешняя производная потенциала G p + 1 = dC p.

Как обычно в таких теориях, если допустить топологически нетривиальные конфигурации или заряженное вещество (D-браны ), то связи определяются только на каждом участке координат пространства-времени, а значения на различных участках склеиваются с использованием функций перехода. В отличие от электромагнетизма, при наличии нетривиальной напряженности поля 3-формы Невё – Шварца, напряженность поля, определенная выше, больше не является калибровочно-инвариантной, и поэтому ее также необходимо определять фрагментарно, когда струна Дирака отключена от данный патч интерпретировал себя как D-брану. Это дополнительное усложнение является причиной некоторых наиболее интересных явлений в теории струн, таких как переход Ханани – Виттена.

Выбор допустимых значений p зависит от теории. В супергравитации типа IIA поля существуют для p = 1 и p = 3. В супергравитации типа IIB, с другой стороны, есть поля для p = 0, p = 2 и p = 4, хотя поле p = 4 ограничено чтобы удовлетворить условию самодуальности G 5 = * G 5, где * - звезда Ходжа. Условие самодуальности не может быть наложено лагранжианом без введения дополнительных полей или нарушения явной суперпуанкаре-инвариантности теории, поэтому супергравитация типа IIB считается нелагранжевой теорией. Третья теория, называемая массивной или, включает напряженность поля G 0, называемую римлянами массой. Будучи нулевой формой, он не имеет соответствующей связи. Кроме того, уравнения движения предполагают, что масса римлян постоянна. В квантовой теории Джозеф Полчински показал, что G 0 является целым числом, которое увеличивается на единицу при пересечении D8-браны.

Демократическая формулировка

Часто удобно использовать струнные теории типа II, которые были введены Полом Таунсендом в p-Brane Democracy. В D-бране Wess-Zumino Actions, T-дуальность и космологическая постоянная Майкл Грин, Крис Халл и Пол Таунсенд построили напряженности поля и нашли калибровочные преобразования, которые оставляют их инвариантными. Наконец, в Новые формулировки суперсимметрии D = 10 и доменных стенок D8-O8 авторы завершили формулировку, предоставив лагранжиан и объяснив роль фермионов. В эту формулировку включаются все четные значения напряженности поля в IIA и все нечетные значения напряженности поля в IIB. Дополнительная напряженность поля определяется условием звезды Gp= * G 10-p. В качестве проверки согласованности обратите внимание, что звездное состояние совместимо с самодуальностью G 5, поэтому демократическая формулировка содержит такое же количество степеней свободы, что и исходная формулировка. Подобно попыткам одновременного включения электрического и магнитного потенциалов в электромагнетизм, потенциалы двойной калибровки не могут быть добавлены к демократически сформулированному лагранжиану таким образом, чтобы сохранить очевидную локальность теории. Это связано с тем, что двойные потенциалы получаются из исходных потенциалов путем интегрирования звездного состояния.

Ланграгианы супергравитации типа II инвариантны относительно ряда локальных симметрий, таких как диффеоморфизмы и локальные суперсимметрия преобразования. Кроме того, различные поля формы преобразуются при калибровочных преобразованиях Невё – Шварца и Рамона – Рамона.

В демократической формулировке калибровочные преобразования Рамона – Рамона калибровочных потенциалов, которые оставляют действие инвариантным, имеют вид

$C\; p\; \to \; C\; p\; +\; d\; \Lambda \; p\; -\; 1\; +\; H\; \wedge \; \Lambda \; p\; -\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; \backslash \; rightarrow\; C\_\; \{p\}\; +\; d\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{p-1\}\; +\; H\; \backslash \; wedge\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{p-3\}\}$

где H - напряженность поля трех форм Невё-Шварца, а параметры датчика $\Lambda \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{q\}\}$представляют собой q-формы. Поскольку калибровочные преобразования смешивают различные $\Lambda \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{q\}\}$, необходимо, чтобы каждая форма RR преобразовывалась одновременно с использованием одного и того же набора параметров калибровки. H-зависимые члены, не имеющие аналогов в электромагнетизме, необходимы для сохранения вклада в действие членов Черна – Саймонса, которые присутствуют в теориях супергравитации типа II.

Обратите внимание, что существует несколько параметров калибровки, соответствующих одному и тому же преобразованию калибровки, в частности, мы можем добавить любую (d + H) -замкнутую форму к Lambda. Таким образом, в квантовой теории мы должны также калибровать калибровочные преобразования, а затем калибровать их и так далее, пока размерность не станет достаточно низкой. В квантовании Фадеева – Попова это соответствует добавлению башни призраков. Математически, в случае, когда H обращается в нуль, результирующая структура является когомологией Делиня пространства-времени. Предполагается, что для нетривиального H после включения условия квантования Дирака оно соответствует вместо.

Обратите внимание, что благодаря H-членам в калибровочных преобразованиях напряженности поля также преобразуются нетривиально

$G\; p\; +\; 1\; \to \; G\; p\; +\; 1\; +\; H\; \wedge \; d\; \Lambda \; p\; -\; 3.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{p\; +\; 1\}\; \backslash \; rightarrow\; G\_\; \{p\; +\; 1\}\; +\; H\; \backslash \; wedge\; d\; \backslash \; Lambda\; \_\; \{p-3\}.\}$

Улучшенная напряженность поля

Часто вводят

$F\; p\; +\; 1\; =\; G\; p\; +\; 1\; +\; H\; \wedge \; C\; p\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{p\; +\; 1\}\; =\; G\_\; \{p\; +\; 1\}\; +\; H\; \backslash \; wedge\; C\_\; \{p-2\}\}$

, которые являются калибровочными -инвариантный.

Хотя они калибровочно-инвариантны, улучшенные напряженности поля не являются ни замкнутыми, ни квантованными, вместо этого они только замкнуты-скручены. Это означает, что они удовлетворяют уравнению движения $d\; F\; p\; +\; 1\; =\; H\; \wedge \; F\; p\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; dF\_\; \{p\; +\; 1\}\; =\; H\; \backslash \; wedge\; F\_\; \{p-1\}\}$, который представляет собой просто идентификатор Бьянки $0\; =\; d\; 2\; C\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; d\; ^\; \{2\}\; C\_\; \{p\}\}$. Они также «скручены-квантованы» в том смысле, что можно преобразовать обратно к исходной напряженности поля, интегралы которой по компактным циклам квантованы. Это исходная напряженность поля, источником которой является заряд D-браны, в том смысле, что интеграл от напряженности поля исходной p-формы G p по любому стягиваемому p-циклу равен D (8 -p) -бранный заряд, связанный этим циклом. Поскольку заряд D-браны квантуется, квантуется G p, а не улучшенная напряженность поля.

Уравнения и тождества Бьянки

Как обычно в калибровочных теориях p-формы, поля формы должны подчиняться классическому полю уравнения и тождества Бьянки. Первые выражают условие, что вариации действия по отношению к различным полям должны быть тривиальными. Теперь мы ограничим наше внимание теми полевыми уравнениями, которые возникают в результате изменения полей Рамона – Рамона (RR), но на практике их необходимо дополнить уравнениями поля, возникающими из вариаций Neveu – Schwarz B -поле, гравитон, дилатон и их суперпартнеры гравитино и дилатино.

В демократической формулировке тождество Бианки для напряженности поля G p + 1 является классическим уравнением поля для его двойственного по Ходжу G 9 − p, и поэтому достаточно наложить тождества Бианки для каждого поля RR. Это просто условия, при которых RR-потенциалы C p определены локально, и поэтому внешняя производная, действующая на них, является нильпотентной

$0\; =\; d\; 2\; C\; p\; =\; d\; G\; p\; +\; 1\; =\; d\; F\; p\; +\; 1\; +\; H\; G\; p\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; =\; d\; ^\; \{2\}\; C\_\; \{p\}\; =\; dG\_\; \{p\; +\; 1\}\; =\; dF\_\; \{p\; +\; 1\}\; +\; H\; \backslash \; wedge\; G\_\; \{p-1\}.\}$

D-браны являются источники для полей RR

Во многих приложениях требуется добавить источники для полей RR. Эти источники называются D-бранами. Как и в классическом электромагнетизме, можно добавить источники, включив связь C p$J\; 10\; -\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; \_\; \{10-p\}\}$из потенциал p-формы для тока (10-p) -формы $J\; 10\; -\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; \_\; \{10-p\}\}$в Плотность лагранжиана. Обычно в литературе по теории струн принято не писать этот термин явно в действии.

Текущее значение $J\; 10\; -\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; \_\; \{10-p\}\}$изменяет уравнение движения, возникающее в результате изменения C п. Как и в случае с магнитными монополями в электромагнетизме, этот источник также аннулирует двойную идентичность Бьянки, поскольку это точка, в которой двойное поле не определено. В модифицированном уравнении движения $J\; p\; +\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; \_\; \{p\; +\; 2\}\}$появляется в левой части уравнения движения вместо нуля.. Для простоты в будущем мы также поменяем местами p и 7 - p, тогда уравнение движения при наличии источника будет

$J\; 9\; -\; p\; =\; d\; 2\; C\; 7\; -\; p\; =\; d\; G\; 8\; -\; p\; =\; d\; F\; 8\; -\; p\; +\; H\; \wedge \; G\; 6\; -\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; \_\; \{9-p\}\; =\; d\; ^\; \{2\}\; C\_\; \{7-p\}\; =\; dG\_\; \{8-p\}\; =\; dF\_\; \{8-p\}\; +\; H\; \backslash \; wedge\; G\_\; \{6-\; p\}.\}$

(9-p) -форма $J\; 9\; -\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{J\}\}\; \_\; \{9-p\}\}$- это Dp-брана current, что означает, что он двойственен по Пуанкаре мировому объему (p + 1) -мерного расширенного объекта, называемого Dp-браной. Несоответствие одного в схеме именования является историческим и происходит от того факта, что одно из p + 1 направлений, охваченных Dp-браной, часто бывает времениподобным, оставляя p пространственных направлений.

Вышеупомянутая идентичность Бьянки интерпретируется как означающая, что Dp-брана, по аналогии с магнитными монополями в электромагнетизме, магнитно заряжена под действием р-формы RR C 7-p. Если вместо этого рассматривать это тождество Бианки как уравнение поля для C p + 1, то говорят, что Dp-брана электрически заряжена под (p + 1) -формой C p + 1.

Из приведенного выше уравнения движения следует, что существует два способа получить заряд Dp-браны из потоков окружающей среды. Во-первых, можно проинтегрировать dG 8 − p по поверхности, что даст заряд Dp-браны, пересекаемый этой поверхностью. Второй метод связан с первым теоремой Стокса. Можно интегрировать G 8-p в течение цикла, это даст заряд Dp-браны, связанный этим циклом. Квантование заряда Dp-браны в квантовой теории затем подразумевает квантование напряженности поля G, но не улучшенной напряженности поля F.

Витая K-теория интерпретация

Это было предположил, что RR поля, как и D-браны, классифицируются скрученной K-теорией. В этом контексте приведенные выше уравнения движения имеют естественную интерпретацию. Уравнения движения без источника для улучшенных значений напряженности поля F подразумевают, что формальная сумма всех F p является элементом H-скрученной когомологии де Рама. Это версия когомологий Де Рама, в которой дифференциалом является не внешняя производная d, а (d + H), где H - 3-форма Невё-Шварца. Обратите внимание, что (d + H), как это необходимо для корректного определения когомологий, обращается в ноль.

Улучшенные значения напряженности поля F живут в классической теории, где переход от квантовой к классической интерпретируется рациональными понятиями как тензорное. Значит, F должна быть некоторой рациональной версией извращенной K-теории. Такая рациональная версия, по сути, характеристический класс скрученной K-теории, уже известна. Это определено в витой K-теории и K-теории пучков гербов, сформулированных Питером Баукнегтом, Варгезе Матхай, и расширено в Черн. характер в скрученной K-теории: Эквивариантный и голоморфный случаи. Авторы показали, что скрученные характеры Черна всегда являются элементами H-скрученных когомологий де Рама.

В отличие от улучшенных значений напряженности поля, исходные значения G представляют собой нескрученные интегральные классы когомологий. Кроме того, G не являются калибровочно-инвариантными, что означает, что они не определены однозначно, а могут быть определены только как классы эквивалентности. Они соответствуют классам когомологий в конструкции спектральной последовательности Атьи Хирцебруха скрученной K-теории, которые определены только с точностью до членов, замкнутых относительно любого из серии дифференциальных операторов.

исходные члены кажутся препятствиями для существования класса K-теории. Другие уравнения движения, например, полученные путем варьирования B-поля НЗ, не имеют интерпретаций K-теории. Включение этих поправок в рамки K-теории - открытая проблема. Для получения дополнительной информации по этой проблеме щелкните здесь.

• Поле Калба – Рамона

• Хорошее введение в различные значения напряженности поля в теориях с Черном– Термины Саймонса - это термины Черна-Саймонса и три понятия заряда от Дональд Марольф.
• Демократическую формулировку 10-мерной супергравитации можно найти в Новые формулировки суперсимметрии D = 10 и доменные стены D8-O8, Рената Каллош, и. Он включает в себя многие детали, отсутствующие в оригинальной статье Таунсенда, но ограничивает внимание топологически тривиальной 3-формой Невё-Шварца.