Рафаэль Бомбелли

редактировать

L'Algebra Рафаэля Бомбелли: фронтиспис Болонского издания 1579 года

Рафаэль Бомбелли (крещен 20 января 1526 года; умер в 1572 году) был итальянским математиком. Родился в Болонье, он является автором трактата по алгебре и является центральной фигурой в понимании мнимых чисел.

. Он был тем, кому наконец удалось решить проблему с мнимыми числами. В своей книге L'Algebra 1572 года Бомбелли решил уравнения, используя метод дель Ферро / Тарталья. Он представил риторику, которая предшествовала репрезентативным символам + i и -i, и описал, как они работают.

Содержание

1 Жизнь
2 Алгебра Бомбелли
- 2.1 Комплексные числа
3 Репутация
4 Метод Бомбелли вычисления квадратных корней
5 Ссылки
- 5.1 Сноски
- 5.2 Цитаты
- 5.3 Источники
6 Внешние ссылки

Жизнь

Рафаэль Бомбелли крестился 20 января 1526 года в Болонье, Папская область. Он родился у торговца шерстью Антонио Маццоли и дочери портного Диаманте Скудиери. Семья Маццоли когда-то была довольно влиятельной в Болонье. Когда папа Юлий II пришел к власти, в 1506 году он изгнал правящую семью. Семья Бентивольо попыталась вернуть Болонью в 1508 году, но потерпела неудачу. Дед Рафаэля участвовал в попытке переворота, был схвачен и казнен. Позже Антонио смог вернуться в Болонью, сменив фамилию на Бомбелли, чтобы избежать репутации семьи Маццоли. Рафаэль был старшим из шести детей. Рафаэль не получил высшего образования, его преподавал инженер-архитектор по имени.

Рафаэль Бомбелли считал, что ни одна из работ по алгебре ведущих математиков того времени не обеспечивала тщательного и исчерпывающего изложения предмета. Вместо очередного запутанного трактата, который могли понять только математики, Рафаэль решил написать книгу по алгебре, понятную каждому. Его текст был бы самодостаточным и легко читался бы людьми без высшего образования.

Рафаэль Бомбелли умер в 1572 году в Риме.

Алгебра Бомбелли

Алгебра, 1572 г.

В опубликованной в 1572 г. книге под названием «Алгебра» Бомбелли дал исчерпывающий обзор алгебры, известной в то время. Он был первым европейцем, который описал способ выполнения вычислений с отрицательными числами. Ниже приводится выдержка из текста:

«Плюс, умноженный на плюс, дает плюс. Минус, умноженный на минус, дает плюс. Плюс, умноженный на минус, дает минус. Минус, умноженный на плюс, дает минус. Плюс 8 умножить на плюс 8 составляет плюс 64. Минус 5 умножить на минус 6 дает плюс 30. Минус 4 раза плюс 5 дает минус 20. Плюс 5 умножить на минус 4 дает минус 20 "

Как и предполагалось Бомбелли использовал простой язык, как видно выше, чтобы любой мог его понять. Но в то же время он был тщательным.

Комплексные числа

Возможно, более важным, чем его работа с алгеброй, однако, книга также включает монументальный вклад Бомбелли в теорию комплексных чисел. Прежде чем писать о комплексных числах, он указывает, что они встречаются в решениях уравнений вида $x 3 = ax + b, {\ displaystyle x ^ {3} = ax + b,}$ $x ^ 3 = ax + b,$ учитывая, что $(a / 3) 3>(b / 2) 2, {\ displaystyle (a / 3) ^ {3}>(b / 2) ^ {2},}$ $(a/3)^3>( b / 2) ^ 2,$ который является другой способ заявить, что дискриминант кубики отрицателен. Решение этого вида уравнения требует извлечения кубического корня из суммы одного числа и квадратного корня из некоторого отрицательного числа.

До того, как Бомбелли углубится в практически используя мнимые числа, он подробно объясняет свойства комплексных чисел. Сразу же он дает понять, что правила арифметики для мнимых чисел не такие же, как для действительных чисел. Это было большим достижением, поскольку даже многие последующие математики были крайне сбиты с толку на вершине IC.

Бомбелли избежал путаницы, дав особое имя квадратным корням из отрицательных чисел, вместо того, чтобы просто пытаться обращаться с ними как с обычными радикалами, как это делали другие математики. Это дало понять, что эти числа не были ни положительными, ни отрицательными. Такая система позволяет избежать путаницы, с которой столкнулся Эйлер. Бомбелли назвал мнимое число i «плюс минус» и использовал «минус минус» вместо -i.

Бомбелли предусмотрительно увидел, что мнимые числа имеют решающее значение и необходимы для решения уравнений четвертой и кубической систем. В то время людей интересовали комплексные числа только как инструменты для решения практических уравнений. Таким образом, Бомбелли смог получить решения, используя правило Сципиона дель Ферро, даже в неприводимом случае, когда другие математики, такие как Кардано, отказались.

В своей книге Бомбелли объясняет сложную арифметику следующим образом:

«Плюс плюс минус дает плюс минус.. Минус плюс минус дает минус минус.. Плюс минусом минус составляет минус минус.. Минус минус минус делает плюс минус.. Плюс минус плюс минус составляет минус.. Плюс минус минус минус, дает плюс.. Минус минус, плюс минус, дает плюс.. Минус минус, минус минус, дает минус ".

Разобравшись с умножением действительных и мнимых чисел, Бомбелли продолжает говорить о правилах сложения и вычитания. Он осторожно указывает, что реальные части складываются с реальными частями, а мнимые части складываются с мнимыми.

Репутация

Бомбелли обычно считают изобретателем комплексных чисел, поскольку до него никто не устанавливал правил работы с такими числами, и никто не верил, что работа с мнимыми числами принесет пользу. полученные результаты. Прочитав «Алгебру» Бомбелли, Лейбниц похвалил Бомбелли как «... выдающегося мастера аналитического искусства». Кроссли пишет в своей книге: «Итак, у нас есть инженер Бомбелли, который на практике использует комплексные числа, возможно, потому, что они дали ему полезные результаты, в то время как Кардан нашел квадратные корни из отрицательных чисел бесполезными. Бомбелли первым дал трактовку любых комплексные числа... Поразительно, насколько тщательно он излагает законы вычисления комплексных чисел... "[3]

В честь его достижений лунный кратер был назван Бомбелли.

Метод Бомбелли для вычисления квадратных корней

Бомбелли использовал метод, связанный с непрерывными дробями, для вычисления квадратных корней. Его метод поиска $n {\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$ $\ sqrt {n}$ начинается с $n = (a ± r) 2 = a 2 ± 2 ar + r 2 {\ displaystyle n = (a \ pm r) ^ {2} = a ^ {2} \ pm 2ar + r ^ {2} \}$ $n = (a \ pm r) ^ 2 = a ^ 2 \ pm 2ar + r ^ 2 \$ с $0 < r < 1 {\displaystyle 0$ $0 <r <1 \$ , из чего можно показать, что $r = | п - а 2 | 2 a ± r {\ displaystyle r = {\ frac {| n-a ^ {2} |} {2a \ pm r}}}$ $r = \ frac {| na ^ 2 |} {2a \ pm r}$ . Повторная подстановка выражения в правой части для $r {\ displaystyle r}$ $r$ в себя дает непрерывную дробь

a ± | п - а 2 | 2 а ± | п - а 2 | 2 а ± | п - а 2 | 2 a ± ⋯ {\ displaystyle a \ pm {\ frac {| na ^ {2} |} {2a \ pm {\ frac {| na ^ {2} |} {2a \ pm {\ frac {| na ^ { 2} |} {2a \ pm \ cdots}}}}}}}

a \ pm \ frac {| na ^ 2 |} {2a \ pm \ frac {| na ^ 2 |} {2a \ pm \ frac {| na ^ 2 |} {2a \ pm \ cdots}}}

для корня, но Бомбелли больше заботит лучшее приближение для $r {\ displaystyle r}$ $r$ . Значение, выбранное для $a {\ displaystyle a}$ $a$ , представляет собой любое из целых чисел, между которыми лежат квадраты $n {\ displaystyle n}$ $n$ . Метод дает следующие подходящие элементы для $13 {\ displaystyle {\ sqrt {13}} \}$ $\ sqrt {13} \$ , в то время как фактическое значение равно 3.605551275...:

3 2 3, 3 3 5, 3 20 33, 3 66 109, 3 109 180, 3 720 1189, ⋯ {\ displaystyle 3 {\ frac {2} {3}}, \ 3 {\ frac {3} {5}}, \ 3 {\ frac {20} {33}}, \ 3 {\ frac {66} {109}}, \ 3 {\ frac {109} {180}}, \ 3 {\ frac {720} {1189 }}, \ \ cdots}

3 \ frac {2} {3}, \ 3 \ frac {3} {5}, \ 3 \ frac {20} {33}, \ 3 \ frac {66} {109}, \ 3 \ frac {109} {180}, \ 3 \ frac {720} {1189 }, \ \ cdots

Последняя сходящаяся величина равна 3,605550883.... Метод Бомбелли следует сравнить с формулами и результатами, использованными Геросом и Архимедом. Результат $265 153 < 3 < 1351 780 {\displaystyle {\frac {265}{153}}<{\sqrt {3}}<{\frac {1351}{780}}}$ $\ frac {265} {153} <\ sqrt {3} <\ frac {1351} {780}$ , использованный Архимедом при определении значения $π {\ displaystyle \ pi \}$ $\ pi \$ , можно найти, используя 1 и 0 для начальных значений $r {\ displaystyle r}$ $r$ .

Ссылки

Сноски

Цитаты

Источники

Моррис Клайн, Математическая мысль от древних до наших дней, 1972, Oxford University Press, Нью-Йорк, ISBN 0-19-501496-0
Дэвид Юджин Смит, Справочник по математике, 1959, Dover Publications, Нью-Йорк, ISBN 0-486-64690-4

Внешние ссылки

L'Algebra, Libri I, II, III, IV и V, оригинальные итальянские тексты.
О'Коннор, Джон Дж. ; Робертсон, Эдмунд Ф., «Рафаэль Бомбелли», Архив истории математики MacTutor, Университет Сент-Эндрюс.
Справочная информация