Радиус вращения

Радиус вращения или гирадиус тела вокруг оси вращения определяется как радиальное расстояние до точки, которая имела бы момент инерции, такой же, как фактическое распределение массы тела, если бы общая масса тела была сосредоточена.

Математически радиус инерции - это среднеквадратичное расстояние между частями объекта от его центра масс или заданная ось, в зависимости от соответствующего приложения. На самом деле это перпендикулярное расстояние от точечной массы до оси вращения. Можно представить траекторию движущейся точки в виде тела. Затем радиус вращения можно использовать для характеристики типичного расстояния, пройденного этой точкой.

Предположим, тело состоит из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$частиц, каждая из которых имеет массу $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$. Пусть $r\; 1,\; r\; 2,\; r\; 3,\dots ,\; rn\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\},\; r\_\; \{2\},\; r\_\; \{3\},\; \backslash \; dots,\; r\_\; \{n\}\}$будет их расстояния по перпендикулярам от оси вращения. Тогда момент инерции $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$тела относительно оси вращения равен

$I\; =\; m\; 1\; r\; 1\; 2\; +\; m\; 2\; r\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; mnrn\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; m\_\; \{1\}\; r\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; m\_\; \{2\}\; r\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; m\_\; \{n\}\; r\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}$

Если все массы одинаковы ($m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$), то момент инерции равен $I\; =\; m\; (r\; 1\; 2\; +\; r\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; rn\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; m\; (r\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; r\_\; \{n\}\; ^\; \{2\})\}$.

Поскольку $m\; =\; M\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; M\; /\; n\}$($M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$- общая масса тела),

$I\; =\; M\; (r\; 1\; 2\; +\; r\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; rn\; 2)\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; M\; (r\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; r\_\; \{n\}\; ^\; \{2\})\; /\; n\}$

Из приведенных выше уравнений имеем

$MR\; g\; 2\; =\; M\; (r\; 1\; 2\; +\; r\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; rn\; 2)\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; MR\_\; \{g\}\; ^\; \{2\}\; =\; M\; (r\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; r\_\; \{n\}\; ^\; \{2\})\; /\; n\}$

Радиус инерции - это среднеквадратичное расстояние между частицами по формуле оси

$R\; g\; 2\; знак\; равно\; (r\; 1\; 2\; +\; r\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; rn\; 2)\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{g\}\; ^\; \{2\}\; =\; (r\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; r\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; r\_\; \{n\}\; ^\; \{2\})\; /\; n\}$

Следовательно, радиус вращения тела вокруг данной оси также может быть определен как среднеквадратичное расстояние между различными частицами тела от оси вращения. Также известен как мера того, как масса вращающегося твердого тела распределяется вокруг его оси вращения.

.

IUPAP определение Радиус вращения (в науке о полимерах) ($s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, единица измерения: нм или единица СИ: м): для макромолекула, состоящая из $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$элементов массы, масс $mi\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{i\}\}$, $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$= 1,2,…, $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, расположенный на фиксированных расстояниях $si\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{i\}\}$от центра массы, радиус вращения - это квадратный корень из среднего массового значения $si\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}$по всем элементам массы, т. е.

$s\; Знак\; равно\; (\sum \; я\; =\; 1\; нмзи\; 2\; /\; \sum \; я\; =\; 1\; nmi)\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; m\_\; \{i\}\; s\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; /\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; m\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\}$

Примечание: элементы массы обычно принимаются как массы скелетных групп, составляющих макромолекулу, например, –CH 2 - в поли (метилен).

• 1 Применение в строительстве
• 2 Применение в механике
• 3 Молекулярные приложения
  • 3.1 Derivat ион идентичности
• 4 Приложения в анализе географических данных
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

В структурной инженерии двумерный радиус Гирации используется для описания распределения площади поперечного сечения в столбце вокруг его центроидной оси с массой тела. Радиус вращения задается следующей формулой:

$R\; g\; 2\; =\; IA\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\}\; \{A\}\}\}$

или

$R\; g\; =\; IA\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{I\}\; \{A\}\}\}\}$

Где $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$- это второй момент площади, а $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$- общая площадь поперечного сечения.

Радиус инерции полезен при оценке жесткости колонны. Если главные моменты двумерного тензора гирации не равны, столбец будет стремиться изгибаться вокруг оси с меньшим главным моментом. Например, колонна с эллиптическим поперечным сечением будет иметь тенденцию к изгибу в направлении меньшей полуоси.

В инженерии, где непрерывные тела материи обычно являются объектами исследования, радиус вращения обычно вычисляется как интеграл.

Радиус вращения вокруг заданной оси ($ось\; rg\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\; \{\backslash \; text\; \{axis\}\}\}\}$) можно вычислить в терминах момента инерции массы $оси\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{axis\}\}\}$вокруг этой оси, и общая масса m;

$ось\; rg\; 2\; =\; ось\; I\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\; \{\backslash \; text\; \{axis\}\}\}\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{axis\}\}\}\; \{m\}\}\; \}$

или

$ось\; rg\; =\; ось\; I\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\; \{\backslash \; text\; \{axis\}\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{axis\}\}\}\; \{\; m\}\}\}\}$

$ось\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \_\; \{\backslash \; text\; \{axis\}\}\}$- это скаляр, а не тензор момента инерции .

В физике полимеров радиус вращения используется для описания размеров полимерной цепи цепи. Радиус вращения конкретной молекулы в данный момент времени определяется как:

$R\; g\; 2\; =\; def\; 1\; N\; \sum \; k\; =\; 1\; N\; (rk\; -\; rmean)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\}\; ^\; \{\; 2\}\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\; k\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{mean\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

где $rmean\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{mean\}\}\}$- это среднее положение мономеров. Как подробно описано ниже, радиус вращения также пропорционален среднеквадратичному расстоянию между мономерами:

$R\; g\; 2\; =\; def\; 1\; 2\; N\; 2\; \sum \; i,\; j\; (ri\; -\; rj)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2N\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

В качестве третьего метода радиус вращения также может быть вычислен путем суммирования основных моментов тензор гирации.

Поскольку цепных конформаций полимерного образца квазибесконечное число и они постоянно меняются во времени, «радиус гирации», обсуждаемый в физике полимеров, обычно следует понимать как среднее значение все полимерные молекулы образца и с течением времени. То есть радиус вращения, который измеряется как среднее значение по времени, или ансамбль :

$R\; g\; 2\; =\; def\; 1\; N\; ⟨\sum \; k\; =\; 1\; N\; (rk\; -\; rmean)\; 2⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{k\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{mean\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$

где угловые скобки $⟨\dots \; ⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; ldots\; \backslash \; rangle\}$обозначает среднее по ансамблю.

Энтропийно управляемая полимерная цепь (то есть в так называемых тета-условиях) следует случайному блужданию в трех измерениях. Радиус вращения для этого случая определяется выражением

$R\; g\; =\; 1\; 6\; N\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; \backslash \}\}\; \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\; \backslash \; a\}$

Обратите внимание, что хотя $a\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; aN\}$представляет контурную длину полимера, $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$сильно зависит от жесткости полимера и может меняться на несколько порядков. $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$соответственно уменьшается.

Одна из причин того, что радиус инерции является интересным свойством, заключается в том, что он может быть определен экспериментально с помощью статического светорассеяния, а также малоуглового нейтрона- и рассеяние рентгеновских лучей. Это позволяет физикам-теоретикам полимеров проверять свои модели на соответствие реальности. Гидродинамический радиус численно аналогичен и может быть измерен с помощью динамического рассеяния света (DLS).

Получение идентичности

Чтобы показать, что два определения $R\; g\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\}\; ^\; \{2\}\}$идентичны, сначала перемножаем слагаемое в первом определении:

$R\; g\; 2\; =\; def\; 1\; N\; \sum \; k\; =\; 1\; N\; (rk\; -\; rmean)\; 2\; =\; 1\; N\; \sum \; k\; =\; 1\; N\; [rk\; \cdot \; rk\; +\; rmean\; \cdot \; rmean\; -\; 2\; rk\; \cdot \; rmean]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{k\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{mean\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{k\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; mean\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{mean\}\}\; -2\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{mean\}\}\; \backslash \; right]\}$

Проведение суммирования по последним двум членам и использование определения $rmean\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{mean\}\}\}$дает формулу

$R\; g\; 2\; знак\; равно\; def\; -\; rmean\; \cdot \; rmean\; +\; 1\; N\; \sum \; К\; знак\; равно\; 1\; N\; (rk\; \cdot \; rk)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; ma\; thrm\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; -\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{mean\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{mean\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{k\}\; \backslash \; right)\}$

При анализе данных радиус вращения используется для расчета множества различных статистических данных, включая разброс географических местоположений. Эти места были недавно собраны у пользователей социальных сетей, чтобы исследовать типичные упоминания пользователей. Это может быть полезно для понимания того, как определенная группа пользователей социальных сетей использует платформу.

$р\; г\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; ми\; (ри\; -\; р\; С)\; 2\; \sum \; я\; =\; 1\; N\; ми\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{g\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; m\_\; \{i\}\; (r\_\; \{i\}\; -r\_\; \{C\})\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; m\_\; \{i\}\}\}\}\}$

• Гросберг А.Ю. и Хохлов А.Р. (1994) Статистическая физика макромолекул (пер. Атанова Ю.А.), AIP Press. ISBN 1-56396-071-0
• Флори П.Дж. (1953) Principles of Polymer Chemistry, Cornell University, pp. 428-429 (Приложение C к главе X).