Радиодром

В геометрии радиодром - это кривая преследования, за которой следует точкой, преследующей другую линейно движущуюся точку. Этот термин образован от греческих слов ῥᾴδιος, rhā́idios, «проще» и δρόμος, drómos, «бег». Классическая (и наиболее известная) форма радиодрома известна как «собачья кривая»; это путь, по которому собака следует, когда она переплывает ручей с течением после чего-то, что она заметила на другой стороне. Поскольку собака плывет по течению, ей придется изменить курс; ему также придется плыть дальше, чем если бы он взял оптимальный курс. Этот случай был описан Пьером Бугером в 1732 году.

В качестве альтернативы радиодром можно описать как путь, по которому собака следует, преследуя зайца, если предположить, что заяц бежит по прямой по прямой постоянная скорость.

Путь собаки, преследующей зайца, бегущей по вертикальной прямой с постоянной скоростью. Собака бежит к моменту положения зайца и будет непрерывно менять его направление.

Введите систему координат с началом в положении собаки в нулевой момент времени и с осью Y в направлении, в котором заяц бежит с постоянной скоростью $V\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{t\}\}$. Положение зайца в нулевой момент времени равно (A x, A y) с A x>0, а в момент времени t оно равно

$(T\; Икс,\; T\; Y)\; знак\; равно\; (A\; x,\; A\; y\; +\; V\; tt)\; \{\backslash \; displaystyle\; (T\_\; \{x\}\; \backslash ,\; \backslash \; T\_\; \{y\})\; \backslash \; =\; \backslash \; (A\_\; \{x\}\; \backslash ,\; \backslash \; A\_\; \{y\}\; +\; V\_\; \{\; t\}\; t)\}$

(1)

Собака бежит с постоянной скоростью $V\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{d\}\}$к мгновенному положению зайца.

Дифференциальное уравнение, соответствующее движению собаки, (x (t), y (t)), следовательно,

$x\; \dot{}\; =\; V\; d\; T\; x\; -\; x\; (T\; x\; -\; x)\; 2\; +\; (T\; y\; -\; y)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; =\; V\_\; \{d\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{x\}\; -x\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(T\_\; \{x\}\; -x)\; ^\; \{2\; \}\; +\; (T\_\; \{y\}\; -y)\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

(2)

$y\; \dot{}\; =\; V\; d\; T\; y\; -\; y\; (T\; x\; -\; x)\; 2\; +\; (T\; y\; -\; y)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; =\; V\_\; \{d\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{y\}\; -y\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(T\_\; \{x\}\; -x)\; ^\; \{2\}\; +\; (T\_\; \{y\}\; -y)\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

(3)

Можно получить аналитическое выражение y = f (x) в замкнутой форме для движения собаки, Из (2) и (3) следует, что

$y\; \prime \; (x)\; =\; T\; y\; -\; y\; T\; x\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}(x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{T\_\; \{y\}\; -y\}\; \{T\_\; \{x\; \}\; -x\}\}\}$

(4)

Умножение обеих сторон на $T\; x\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{x\}\; -x\}$и взятие производной по x используя это

$d\; T\; ydx\; =\; d\; T\; ydtdtdx\; =\; V\; t\; V\; dy\; \prime \; 2\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dT\_\; \{y\}\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{dT\_\; \{y\}\}\; \{\; dt\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{dt\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{\{y\; \text{'}\}\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \}$

(5)

получается

$y\; ″\; =\; V\; t\; 1\; +\; y\; \prime \; 2\; V\; d\; (A\; x\; -\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\; \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{1+\; \{y\; \text{'}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{V\_\; \{d\}\; (A\_\; \{x\; \}\; -x)\}\}\}$

(6)

или

$y\; ″\; 1\; +\; y\; \prime \; 2\; =\; V\; t\; V\; d\; (A\; x\; -\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{y\; \text{'}\text{'}\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{1+\; \{y\; \text{'}\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\; (A\_\; \{x\}\; -x)\}\}\}$

(7)

Из этого соотношения следует, что

$sinh\; -\; 1\; \; (y\; \prime )\; =\; B\; -\; V\; t\; V\; d\; ln\; \; (A\; x\; -\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sinh\; ^\; \{-\; 1\}\; (y\; \text{'})\; =\; B-\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; ln\; (A\_\; \{x\}\; -x)\}$

(8)

где B - постоянная интегрирования, определяемая начальным значением y 'в нулевой момент времени y' (0) = sinh (B - (V t/Vd) lnA x), то есть

$B\; =\; V\; t\; V\; d\; ln\; \; (A\; x)\; +\; пер\; \; (y\; \prime \; (0)\; +\; y\; \prime \; (0)\; 2\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; ln\; (A\_\; \{x\})\; +\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (y\; \text{'}(0)\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{y\text{'}\; (0)\}\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right)\}$

(9)

Из (8) и ( 9) после некоторых вычислений следует, что

$y\; \prime \; =\; 1\; 2\; [(y\; \prime \; (0)\; +\; y\; \prime \; (0)\; 2\; +\; 1)\; (1\; -\; x\; A\; x)\; -\; V\; t\; V\; d\; +\; (y\; \prime \; (0)\; -\; y\; \prime \; (0)\; 2\; +\; 1)\; (1\; -\; x\; A\; x)\; V\; t\; V\; d]\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (y\text{'}\; (0)\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{y\; \text{'}(0)\}\; ^\; \{\; 2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\; +\; \backslash \; left\; (y\; \text{'}(0)\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{y\text{'}\; (0)\}\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\; \backslash \; right]\}$

(10)

Кроме того, поскольку y (0) = 0, из (1) и (4), что

$y\; \prime \; (0)\; =\; A\; y\; A\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}(0)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{y\}\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\}$

(11)

Если теперь V t ≠ V d, соотношение (10) интегрируется в

$y\; =\; C\; -\; A\; x\; 2\; [(y\; \prime \; (0)\; +\; y\; \prime \; (0)\; 2\; +\; 1)\; (1\; -\; x\; A\; x)\; 1\; -\; V\; t\; V\; d\; 1\; -\; V\; t\; V\; d\; +\; (y\; \prime \; (0)\; -\; y\; \prime \; (0)\; 2\; +\; 1)\; (\; 1\; -\; Икс\; A\; Икс)\; 1\; +\; V\; T\; V\; d\; 1\; +\; V\; t\; V\; d]\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; C\; -\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{x\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (y\; \text{'}(0)\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{y\text{'}\; (0)\}\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (y\; \text{'}(0)\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{y\text{'}\; (0)\}\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\}\; \backslash \; right]\}$

(12)

где C - постоянная интегрирования. Поскольку снова y (0) = 0, это

$C\; =\; A\; x\; 2\; [y\; \prime \; (0)\; +\; y\; \prime \; (0)\; 2\; +\; 1\; 1\; -\; V\; t\; V\; d\; +\; y\; \prime \; (0)\; -\; y\; \prime \; (0)\; 2\; +\; 1\; 1\; +\; В\; T\; V\; d]\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{x\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{y\; \text{'}(0)\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{y\text{'}\; (\; 0)\}\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{y\; \text{'}(0)\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{y)\; \text{'}(0)\}\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\}\; \backslash \; right]\}$

(13)

Уравнения (11), (12) и (13) тогда вместе подразумевают

$y\; =\; 1\; 2\; \{A\; y\; +\; A\; x\; 2\; +\; A\; y\; 2\; 1\; -\; V\; t\; V\; d\; [1\; -\; (1\; -\; Икс\; A\; Икс)\; 1\; -\; В\; T\; V\; d]\; +\; A\; Y\; -\; A\; Икс\; 2\; +\; A\; Y\; 2\; 1\; +\; V\; t\; V\; d\; [1\; -\; (1\; -\; x\; A\; x)\; 1\; +\; V\; t\; V\; d]\}\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{y\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{A\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; A\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\}\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1-\; \{\; \backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\; \backslash \; right]\; +\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{y\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{A\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; A\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\; \}\}\}\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\}\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

(14)

Если V t = V d, соотношение (10) дает вместо

$y\; =\; C\; -\; A\; x\; 2\; [(y\; \prime \; (0)\; +\; y\; \prime \; (0)\; 2\; +\; 1)\; пер\; \; (1\; -\; x\; A\; x)\; +\; 1\; 2\; (y\; \prime \; (0)\; -\; y\; \prime \; (0)\; 2\; +\; 1)\; (1\; -\; x\; A\; x)\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; C\; -\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{\; x\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (y\; \text{'}(0)\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{y\text{'}\; (0)\}\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (y\; \text{'}(0)\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{y\text{'}\; (0)\}\; ^\; \{2\}\; +\; 1\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}$

(15)

Использование y (0) = 0 еще раз, следует

$C\; =\; A\; x\; 4\; (y\; \prime \; (0)\; -\; y\; \prime \; (0)\; 2\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{x\}\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (y\; \text{'}(0)\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{y\text{'}\; (0)\}\; ^\; \{2\}\; +1\}\}\; \backslash \; right)\}$

(16)

Уравнения (11), (15) и (16), тогда вместе следует

$y\; =\; 1\; 4\; (A\; y\; -\; A\; x\; 2\; +\; A\; y\; 2)\; [1\; -\; (1\; -\; x\; A\; x)\; 2]\; -\; 1\; 2\; (A\; y\; +\; A\; Икс\; 2\; +\; А\; Y\; 2)\; пер\; \; (1\; -\; Икс\; А\; Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{4\}\}\; \backslash \; left\; (A\_\; \{y\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{A\_\; \{x\}\; ^\; \{2\; \}\; +\; A\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; [1-\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\; -\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (A\_\; \{y\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{A\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; A\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (1-\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{A\_\; \{x\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

(17)

Если V t< Vd, из (14) следует, что

$lim\; x\; \to \; A\; xy\; (\; х)\; =\; 1\; 2\; (А\; у\; +\; А\; х\; 2\; +\; А\; Y\; 2\; 1\; -\; В\; T\; V\; d\; +\; A\; Y\; -\; A\; Икс\; 2\; +\; A\; Y\; 2\; 1\; +\; V\; T\; V\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; A\_\; \{x\}\}\; y\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{y\}\; +\; \{\backslash \; sqrt\; \{A\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; A\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{y\}\; -\; \{\backslash \; sqrt\; \{A\_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\; +\; A\_\; \{y\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{1+\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{t\}\}\; \{V\_\; \{d\}\}\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

(18)

Если V t ≥ V d, один имеет из (14) и (17), что $lim\; x\; \to \; A\; xy\; (x)\; =\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; to\; A\_\; \{x\}\}\; y\; (x)\; =\; \backslash \; infty\; \}$, что означает, что заяц никогда не будет пойман, когда бы ни началась погоня.

• Проблема с мышами

• Нахин, Пол Дж. (2012), Преследования и побеги: Математика преследования и уклонения, Принстон: Принстонский университет Press, ISBN 978-0-691-12514-5.
• Gomes Teixera, Francisco (1909), Imprensa da Universidade (ed.), Traité des Courbes Spéciales Remarquables, 2, Коимбра, стр. 255