Войти
Воспроизвести медиа Анимация несовершенного самоподобного дерева Пифагора 
Дерево Пифагора с углом 25 градусов и плавной окраской Дерево Пифагора представляет собой плоскость фрактала строится из квадратов. Изобретенный голландским учителем математики Альбертом Э. Босманом в 1942 году, он назван в честь древнегреческого математика Пифагора, потому что каждая тройка соприкасающихся квадратов включает прямоугольный треугольник в конфигурации, традиционно используемой для изображения теоремы Пифагора. Если наибольший квадрат имеет размер L × L, полный Пифагор дерево плотно прилегать внутри коробки размера 6 л × 4 л. Более тонкие детали дерева напоминают Кривая Леви.
Построение дерева Пифагора начинается с квадрата. По этой площади построены два квадрата, каждый уменьшено линейным коэффициентом √ 2 /2, таким образом, что углы квадратов совпадают попарно. Затем та же процедура применяется рекурсивно к двум меньшим квадратам до бесконечности. На рисунке ниже показаны первые несколько итераций в процессе построения.
 |  |  |  |
| Заказ 0 | Заказ 1 | Заказ 2 | Заказ 3 |
Это простейший симметричный треугольник. В качестве альтернативы стороны треугольника имеют рекурсивно равные пропорции, в результате чего стороны пропорциональны квадратному корню из обратного золотого сечения, а площади квадратов находятся в пропорции золотого сечения.
Итерация n в конструкции добавляет 2 n квадратов площади, что дает общую площадь 1. Таким образом, может показаться, что площадь дерева неограниченно растет в пределе при n → ∞. Однако некоторые квадраты перекрываются, начиная с итерации порядка 5, и дерево на самом деле имеет конечную площадь, потому что оно помещается в блок 6 × 4.
Легко показать, что область A дерева Пифагора должна находиться в диапазоне 5 lt; A lt;18, который можно сузить с дополнительными усилиями. Мало похоже, известно о фактическом значении A.
Интересный набор вариаций можно создать, сохранив равнобедренный треугольник, но изменив базовый угол (90 градусов для стандартного дерева Пифагора). В частности, когда базовый полуугол установлен на (30 °) = arcsin (0,5), легко видеть, что размер квадратов остается постоянным. Первое перекрытие происходит на четвертой итерации. Полученный общий образец представляет собой ромбогексагональную плитку, массив шестиугольников, ограниченных строительными квадратами.
 |  |
| Заказ 4 | Заказ 10 |
В пределе, когда половина угла составляет 90 градусов, очевидно, что перекрытия нет, а общая площадь в два раза больше площади основного квадрата. Было бы интересно узнать, существует ли алгоритмическая взаимосвязь между значением базового половинного угла и итерацией, на которой квадраты сначала перекрывают друг друга.
Дерево Пифагора было впервые построено Альбертом Э. Босманом (1891–1961), голландским учителем математики, в 1942 году.
