Движение снаряда

редактировать
Движение объекта с начальной скоростью, которое затем следует по траектории, полностью определяемой силой тяжести Параболическая траектория движения воды Компоненты начальной скорости параболического броска

Движение снаряда - это форма движения, испытываемого объектом или частицей (снаряд ), который проецируется вблизи поверхности Земли и движется по криволинейной траектории только под действием силы тяжести (в частности, предполагается, что влияние сопротивления воздуха незначительно). Этот изогнутый путь был показан Галилео как парабола, но также может быть линией в особом случае, когда он брошен прямо вверх. Изучение таких движений называется баллистикой, и такая траектория является баллистической траекторией. Единственная значимая сила, которая действует на объект, - это сила тяжести, которая действует вниз, тем самым сообщая объекту ускорение вниз. Из-за инерции объекта не требуется никакой внешней горизонтальной силы для поддержания составляющей горизонтальной скорости объекта. Учет других сил, таких как трение от аэродинамического сопротивления или внутреннего движения, например, в ракете, требует дополнительного анализа. Баллистическая ракета - это ракета, управляемая только во время относительно короткого начального этапа полета с двигателем, и последующий курс которой регулируется законами классической механики.

Баллистика (греч. Βάλλειν ('ba'llein'), «бросать») - это наука о механике, которая занимается полетом, поведением и действием снарядов, особенно пуль, неуправляемых бомб, ракет и т. Д. или т.п; наука или искусство создания и ускорения снарядов для достижения желаемых характеристик.

Траектории полета снаряда с воздушным сопротивлением и изменяющимися начальными скоростями

Элементарные уравнения баллистики не учитывают почти все факторы, кроме начальной скорости и предполагаемого постоянного ускорения свободного падения. Практическое решение проблемы баллистики часто требует учета сопротивления воздуха, бокового ветра, движения цели, переменного ускорения под действием силы тяжести, а в таких задачах, как запуск ракеты из одной точки на Земле в другую, - вращения Земли. Подробные математические решения практических задач обычно не имеют решений в закрытой форме и, следовательно, требуют решения численных методов.

Содержание

  • 1 Кинематические величины движения снаряда
    • 1.1 Ускорение
    • 1.2 Скорость
    • 1.3 Смещение
  • 2 Свойства траектории
    • 2.1 Время полета или общее время всего пути
    • 2.2 Максимальная высота снаряда
    • 2.3 Соотношение между горизонтальной дальностью и максимальной высотой
    • 2.4 Максимальное расстояние снаряда
    • 2.5 Применение теоремы о рабочей энергии
    • 2.6 Угол досягаемости
    • 2.7 Угол θ координата попадания (x, y)
    • 2.8 Общая длина траектории
  • 3 Траектория снаряда с сопротивлением воздуху
    • 3.1 Траектория снаряда с сопротивлением Стокса
    • 3.2 Траектория снаряда с Сопротивление Ньютона
      • 3.2.1 Особые случаи
      • 3.2.2 Интегральные выражения
      • 3.2.3 Численное решение
  • 4 Поднятая траектория
  • 5 Движение снаряда в планетарном масштабе
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки

Кинематические величины движения снаряда

При движении снаряда горизонтальное движение и вертикальное движение не зависят от каждого h другое; то есть ни одно движение не влияет на другое. Это принцип сложного движения, установленный Галилеем в 1638 году и использованный им для доказательства параболической формы движения снаряда.

Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости снаряда не зависят друг от друга.

Баллистическая траектория - это парабола с однородным ускорением, например, в космическом корабле с постоянным ускорением в отсутствие других сил. На Земле ускорение изменяется по величине с высотой и направление с широтой / долготой. Это вызывает эллиптическую траекторию, которая очень близка к параболе в малом масштабе. Однако, если объект был брошен, и Земля была внезапно заменена черной дырой равной массы, стало бы очевидно, что баллистическая траектория является частью эллиптической орбиты вокруг этой черной дыры. дыра, а не парабола, уходящая в бесконечность. На более высоких скоростях траектория также может быть круговой, параболической или гиперболической (если она не искажена другими объектами, такими как Луна или Солнце). В этой статье предполагается однородное ускорение.

Ускорение

Поскольку есть только ускорение в вертикальном направлении, скорость в горизонтальном направлении постоянна и равна v 0 cos ⁡ θ {\ displaystyle \ mathbf {v } _ {0} \ cos \ theta}\ mathbf {v} _0 \ cos \ theta . Вертикальное движение снаряда - это движение частицы во время свободного падения. Здесь ускорение постоянное и равно g. Компоненты ускорения:

ax = 0 {\ displaystyle a_ {x} = 0}a_ {x} = 0 ,
ay = - g {\ displaystyle a_ {y} = - g}{\ displaystyle a_ {y } = - g} .

Velocity

Пусть снаряд запускается с начальной скоростью v (0) ≡ v 0 {\ displaystyle \ mathbf {v} (0) \ Equiv \ mathbf {v} _ {0}}{\ displaystyle \ mathbf {v} (0) \ Equiv \ mathbf {v} _ {0}} , который можно выразить как сумму горизонтальных и вертикальных компонентов следующим образом:

v 0 = v 0 xx ^ + v 0 yy ^ {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} = v_ {0x} \ mathbf {\ hat {x}} + v_ {0y} \ mathbf {\ hat {y}}}{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} = v_ {0x} \ mathbf {\ hat {x}} + v_ {0y} \ mathbf {\ hat {y}}} .

Компоненты v 0 x {\ displaystyle v_ {0x}}v _ {{0x}} и v 0 y {\ displaystyle v_ {0y}}v _ {{0y}} можно найти, если начальный угол запуска, θ {\ displaystyle \ theta}\ theta , равен известно:

v 0 x = v 0 cos ⁡ (θ) {\ displaystyle v_ {0x} = v_ {0} \ cos (\ theta)}{\ displaystyle v_ {0x} = v_ {0} \ cos (\ theta)} ,
v 0 y = v 0 sin ⁡ (θ) { \ displaystyle v_ {0y} = v_ {0} \ sin (\ theta)}{\ displaystyle v_ {0y} = v_ {0} \ sin (\ theta)}

Горизонтальная составляющая скорости объекта остается неизменной на протяжении всего движения. Вертикальная составляющая скорости изменяется линейно, потому что ускорение свободного падения постоянно. Ускорения в направлениях xи yможно интегрировать для определения компонентов скорости в любое время tследующим образом:

vx = v 0 соз ⁡ (θ) {\ displaystyle v_ {x} = v_ {0} \ cos (\ theta)}{\ displaystyle v_ {x} = v_ {0} \ cos (\ theta)} ,
vy = v 0 sin ⁡ (θ) - gt {\ displaystyle v_ {y} = v_ {0 } \ sin (\ theta) -gt}{\ displaystyle v_ {y} = v_ {0} \ sin (\ theta) -gt} .

Величина скорости (согласно теореме Пифагора, также известной как закон треугольника):

v = vx 2 + vy 2 {\ displaystyle v = {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}}}{\ displaystyle v = {\ sqrt {v_ {x } ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}}} .

Смещение

Смещение и координаты параболического метания

В любой момент t {\ displaystyle t}t , горизонтальное и вертикальное смещение снаряда:

x = v 0 t cos ⁡ (θ) {\ displaystyle x = v_ {0} t \ соз (\ theta)}x = v_ {0} t \ cos (\ theta) ,
y = v 0 t sin ⁡ (θ) - 1 2 gt 2 {\ displaystyle y = v_ {0} t \ sin (\ theta) - {\ frac {1} {2} } gt ^ {2}}y = v_ {0} t \ sin (\ theta) - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2} .

Величина смещения:

Δ r = x 2 + y 2 {\ displaystyle \ Delta r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} }}}{\ displaystyle \ Delta r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2 }}}} .

Рассмотрим уравнения,

x = v 0 t cos ⁡ (θ), Y знак равно v 0 t грех ⁡ (θ) - 1 2 gt 2 {\ displaystyle x = v_ {0} t \ cos (\ theta), y = v_ {0} t \ sin (\ theta) - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}{\ display стиль x = v_ {0} t \ cos (\ theta), y = v_ {0} t \ sin (\ theta) - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}} .

Если tисключить между этими двумя уравнениями, получится следующее уравнение:

y = tan ⁡ (θ) ⋅ Икс - г 2 v 0 2 соз 2 ⁡ θ ⋅ Икс 2 {\ displaystyle y = \ tan (\ theta) \ cdot x - {\ frac {g} {2v_ {0} ^ {2} \ cos ^ {2 } \ theta}} \ cdot x ^ {2}}{\ displaystyle y = \ tan (\ theta) \ cdot x - {\ frac {g} {2v_ {0} ^ {2 } \ соз ^ {2} \ theta}} \ cdot x ^ {2}} .

Поскольку g, θи v0являются константами, приведенное выше уравнение имеет вид

y = ax + bx 2 {\ displaystyle y = ax + bx ^ {2}}y = ax + bx ^ {2} ,

, в котором aи bявляются константами. Это уравнение параболы, поэтому путь параболический. Ось параболы вертикальна.

Если положение снаряда (x, y) и угол запуска (θ или α) известны, начальную скорость можно найти, решив для v0в вышеупомянутом параболическом уравнении:

v 0 = x 2 gx грех ⁡ 2 θ - 2 y соз 2 ⁡ θ {\ displaystyle v_ {0} = {\ sqrt {{x ^ {2} g} \ over {x \ sin 2 \ theta -2y \ cos ^ {2} \ theta}}}}{\ displaystyle v_ {0} = {\ sqrt {{x ^ {2} g} \ over {x \ sin 2 \ theta -2y \ cos ^ {2} \ theta}}}} .

Свойства траектории

Время полета или общее время всего пути

Общее время t, в течение которого остается снаряд в воздухе называется временем полета.

y = v 0 t грех ⁡ (θ) - 1 2 gt 2 {\ displaystyle y = v_ {0} t \ sin (\ theta) - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2} }y = v_ {0} t \ sin (\ theta) - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}

После полета снаряд возвращается к горизонтальной оси (оси x), поэтому y = 0 {\ displaystyle y = 0}{\ displaystyle y = 0} .

0 = v 0 t sin ⁡ (θ) - 1 2 gt 2 {\ displaystyle 0 = v_ {0} t \ sin (\ theta) - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}0 = v_ {0} t \ sin (\ theta) - {\ frac {1 } {2}} gt ^ {2}
v 0 t sin ⁡ (θ) = 1 2 gt 2 {\ displaystyle v_ {0} t \ sin (\ theta) = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}v_ {0} t \ sin (\ theta) = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}
v 0 sin ⁡ (θ) = 1 2 gt {\ displaystyle v_ {0} \ sin (\ theta) = {\ frac {1} {2}} gt}{\ displaystyle v_ {0} \ sin (\ theta) = {\ frac {1} {2}} gt}
t = 2 v 0 sin ⁡ (θ) g {\ displaystyle t = {\ frac {2v_ {0} \ sin (\ theta)} {g}}}{\ displaystyle t = {\ frac {2v_ {0) } \ sin (\ theta)} {g}}}

Обратите внимание, что мы пренебрегли сопротивлением воздуха для снаряда.

Если начальная точка находится на высоте y0по отношению к точке удара, время полета составляет:

t = dv cos ⁡ θ = v sin ⁡ θ + (v sin ⁡ θ) 2 + 2 gy 0 g {\ displaystyle t = {\ frac {d} {v \ cos \ theta}} = {\ frac {v \ sin \ theta + {\ sqrt {(v \ sin \ theta) ^ { 2} + 2gy_ {0}}}} {g}}}t = {\ frac {d} {v \ cos \ тета}} = {\ гидроразрыва {v \ sin \ theta + {\ sqrt {(v \ sin \ theta) ^ {2} + 2gy_ {0}}}} {g}}

Как и выше, это выражение может быть сокращено до

t = v sin ⁡ θ + (v sin ⁡ θ) 2 g = v sin ⁡ θ + v грех ⁡ θ g знак равно 2 v грех ⁡ θ g = 2 v sin ⁡ (45) g = 2 v 2 2 g = 2 vg {\ displaystyle t = {\ frac {v \ sin {\ theta} + {\ sqrt {(v \ sin {\ theta}) ^ {2}}}} {g}} = {\ frac {v \ sin {\ theta} + v \ sin {\ theta}} {g}} = {\ гидроразрыв {2v \ sin {\ theta}} {g}} = {\ frac {2v \ sin {(45)}} {g}} = {\ frac {2v {\ frac {\ sqrt {2}} {2 }}} {g}} = {\ frac {{\ sqrt {2}} v} {g}}}{\ displaystyle t = {\ frac {v \ sin {\ theta} + {\ sqrt {(v \ sin {\ theta}) ^ {2}}}} {g}} = {\ frac {v \ sin {\ theta} + v \ sin {\ theta}} {g }} = {\ frac {2v \ sin {\ theta}} {g}} = {\ frac {2v \ sin {(45)}} {g}} = {\ frac {2v {\ frac {\ sqrt { 2}} {2}}} {g}} = {\ frac {{\ sqrt {2}} v} {g}}}

, если θравно 45 °, а y0равно 0.

Максимальная высота снаряда

Максимальная высота снаряда

Наибольшая высота, которую может достичь объект, называется пиком движения объекта. Увеличение высоты продлится до vy = 0 {\ displaystyle v_ {y} = 0}v_ {y} = 0 , то есть

0 = v 0 sin ⁡ (θ) - gth {\ displaystyle 0 = v_ {0} \ sin (\ theta) -gt_ {h}}0 = v_ {0} \ sin ( \ theta) -gt_ {h} .

Время достижения максимальной высоты (h):

th = v 0 sin ⁡ (θ) g {\ displaystyle t_ {h } = {\ frac {v_ {0} \ sin (\ theta)} {g}}}t_ {h} = {\ frac {v_ {0} \ sin (\ theta)} {g}} .

Для вертикального смещения максимальной высоты снаряда:

h = v 0 th sin ⁡ (θ) - 1 2 gth 2 {\ displaystyle h = v_ {0} t_ {h} \ sin (\ theta) - {\ frac {1} {2}} gt_ {h} ^ {2}}h = v_ {0} t_ {h} \ sin (\ theta) - {\ frac {1} {2}} gt_ {h} ^ {2}
h = v 0 2 грех 2 ⁡ (θ) 2 g {\ displaystyle h = {\ frac {v_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta)} {2g}}}h = {\ frac {v_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta)} {2g}}
hmax = v 0 2 2 g {\ displaystyle h _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {2g}}}{\ displaystyle h_ {\ mathrm {max}} = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {2g}}} .

Отношение между горизонтальным диапазоном и максимальной высотой

Отношение между диапазоном dв горизонтальной плоскости и максимальной высотой h, достигнутой в td 2 {\ displaystyle {\ frac {t_ {d}} {2}}}{\ frac {t_ {d}} {2}} is:

h = d tan ⁡ θ 4 {\ displaystyle h = {\ frac {d \ tan \ theta} {4}}}{\ displaystyle h = {\ frac {d \ tan \ theta } {4}}}
Доказательство

h = v 0 2 sin 2 ⁡ θ 2 g {\ displaystyle h = {\ frac {v_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {2g}}}h = \ frac {v_0 ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta} {2g}

d = v 0 2 sin ⁡ 2 θ g {\ displaystyle d = {\ frac {v_ {0} ^ {2} \ sin 2 \ theta} {g}}}{\ displaystyle d = {\ frac {v_ {0} ^ {2} \ sin 2 \ theta} {g}}}
hd = v 0 2 sin 2 ⁡ θ 2 g {\ displaystyle {\ frac {h} {d}} = {\ гидроразрыва {v_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {2g}}}{\ displaystyle {\ frac {h} {d}} = {\ frac {v_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {2g}}} × gv 0 2 sin ⁡ 2 θ {\ displaystyle {\ frac {g} {v_ {0 } ^ {2} \ sin 2 \ theta}}}{\ displaystyle {\ frac {g} {v_ {0} ^ {2} \ sin 2 \ theta}}}
hd = sin 2 ⁡ θ 4 sin ⁡ θ cos ⁡ θ {\ displaystyle {\ frac {h} {d}} = {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {4 \ sin \ theta \ cos \ theta}}}{\ displaystyle {\ frac {h} {d}} = {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta} {4 \ sin \ theta \ cos \ theta}}}

h = d tan ⁡ θ 4 {\ displaystyle h = {\ frac {d \ tan \ theta} {4}}}{\ displaystyle h = {\ frac {d \ tan \ theta } {4}}} .

Максимальное расстояние снаряда

Максимальное расстояние снаряда

Дальность и максимальная высота снаряда не зависят от его массы. Следовательно, дальность и максимальная высота одинаковы для всех тел, брошенных с одинаковой скоростью и направлением. Горизонтальный диапазон dснаряда - это расстояние по горизонтали, которое он прошел, когда вернулся на свою начальную высоту (y = 0 {\ displaystyle y = 0}y Знак равно 0 ).

0 знак равно v 0 td sin ⁡ (θ) - 1 2 gtd 2 {\ displaystyle 0 = v_ {0} t_ {d} \ sin (\ theta) - {\ frac {1} {2}} gt_ { d} ^ {2}}0 = v_ {0} t_ {d} \ sin (\ theta) - {\ frac {1} {2}} gt_ {d} ^ {2} .

Время добраться до земли:

td = 2 v 0 sin ⁡ (θ) g {\ displaystyle t_ {d} = {\ frac {2v_ {0} \ sin (\ theta)} {g}}}t_ {d} = {\ frac {2v_ {0} \ sin (\ theta)} {g}} .

От горизонтального смещения максимальное расстояние до снаряда:

d = v 0 td cos ⁡ (θ) {\ displaystyle d = v_ {0} t_ {d} \ cos (\ тета)}d = v_ {0} t_ {d} \ cos (\ theta) ,

so

d = v 0 2 г грех ⁡ (2 θ) {\ displaystyle d = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {g}} \ sin (2 \ theta)}d = {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {g}} \ sin (2 \ theta) .

Обратите внимание, что dимеет максимальное значение, когда

sin ⁡ 2 θ = 1 {\ displaystyle \ sin 2 \ theta = 1}\ sin 2 \ theta = 1 ,

, что обязательно соответствует

2 θ = 90 ∘ {\ displaystyle 2 \ theta = 90 ^ {\ circ}}2 \ theta = 90 ^ {\ circ} ,

или

θ = 45 ∘ {\ displaystyle \ theta = 45 ^ {\ circ}}\ theta = 45 ^ {\ circ} .
Траектории снарядов, выпущенных под разными углами возвышения, но та же скорость 10 м / с в вакууме и равномерное направленное вниз поле силы тяжести 10 м / с. Точки расположены с интервалом 0,05 с, и длина их хвостов линейно пропорциональна их скорости. t = время от запуска, T = время полета, R = дальность и H = самая высокая точка траектории (обозначена стрелками).

Общее расстояние (d)по горизонтали, пройденное.

d знак равно v соз ⁡ θ g (v грех ⁡ θ + (v sin ⁡ θ) 2 + 2 gy 0) {\ displaystyle d = {\ frac {v \ cos \ theta} {g}} \ left ( v \ sin \ theta + {\ sqrt {(v \ sin \ theta) ^ {2} + 2gy_ {0}}} \ right)}d = {\ frac {v \ cos \ theta} {g}} \ left (v \ sin \ theta + {\ sqrt {(v \ sin \ theta)) ^ {2} + 2gy_ {0}}} \ right)

Когда поверхность плоская (начальная высота объекта равна нулю), пройденное расстояние:

d = v 2 sin ⁡ (2 θ) g {\ displaystyle d = {\ frac {v ^ {2} \ sin (2 \ theta)} {g}}}d = {\ frac {v ^ {2} \ sin (2 \ theta)} {g}}

Таким образом, максимальное расстояние получается, если θсоставляет 45 градусов. Это расстояние:

dmax = v 2 g {\ displaystyle d _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {v ^ {2}} {g}}}{\ displaystyle d _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {v ^ {2}} {g}}}

Применение теоремы об энергии работы

Согласно теореме работа-энергия вертикальный компонент скорости равен:

vy 2 = (v 0 sin ⁡ θ) 2-2 gy {\ displaystyle v_ {y} ^ { 2} = (v_ {0} \ sin \ theta) ^ {2} -2gy}v_ {y} ^ {2} = (v_ {0} \ sin \ theta) ^ {2} -2gy .

. В этих формулах не учитывается аэродинамическое сопротивление, а также предполагается, что зона приземления находится на постоянной высоте 0.

Угол досягаемости

«Угол досягаемости» - это угол (θ), под которым снаряд должен быть запущен, чтобы пройти расстояние d, при начальной скорости v.

грех ⁡ (2 θ) = gdv 2 {\ displaystyle \ sin (2 \ theta) = {\ frac {gd} {v ^ {2}}}}\ sin (2 \ theta) = {\ frac {gd} {v ^ {2}}}

Есть два решения:

θ = 1 2 arcsin ⁡ (gdv 2) {\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {2}} \ arcsin \ left ({\ frac {gd} {v ^ {2}}} \ right)}\ theta = {\ frac {1 } {2}} \ arcsin \ left ({\ frac {gd} {v ^ {2}}} \ right) (пологая траектория)

и

θ = 1 2 arccos ⁡ (gdv 2) {\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {2}} \ arccos \ left ({\ frac {gd } {v ^ {2}}} \ right)}{\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {2}} \ arccos \ left ({\ frac {gd} {v ^ {2}}} \ right)} (крутая траектория)

Угол θ, необходимый для координаты попадания (x, y)

Вакуумная траектория снаряда для разных углов запуска. Скорость пуска одинакова для всех углов, 50 м / с, если g = 10 м / с.

Чтобы поразить цель на расстоянии xи высоте yпри выстреле из (0,0) и при начальной скорости vтребуемый угол (ы) пуска θсоставляет:

tan ⁡ θ = (v 2 ± v 4 - g ( gx 2 + 2 yv 2) gx) {\ displaystyle \ tan \ theta = {\ left ({\ frac {v ^ {2} \ pm {\ sqrt {v ^ {4}) -g (gx ^ {2} + 2yv ^ {2})}}} {gx}} \ right)}}{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ left ({\ frac {v ^ {2} \ pm {\ sqrt {v ^ {4} -g (gx ^ {2} + 2yv ^ {2})}}} {gx}} \ right)}}

Два корня уравнения соответствуют двум возможным углам запуска, если они не являются воображаемыми, и в этом случае начальная скорость недостаточно велик, чтобы достичь выбранной точки (x,y). Эта формула позволяет найти необходимый угол запуска без ограничения y = 0 {\ displaystyle y = 0}{\ displaystyle y = 0} .

. Можно также спросить, какой угол запуска обеспечивает минимально возможную скорость запуска. Это происходит, когда два вышеуказанных решения равны, что означает, что величина под знаком квадратного корня равна нулю. Это требует решения квадратного уравнения для v 2 {\ displaystyle v ^ {2}}{\ displaystyle v ^ {2}} , и мы находим

v 2 / g = y + y 2 + x 2. {\ displaystyle v ^ {2} / g = y + {\ sqrt {y ^ {2} + x ^ {2}}}.}{\ displaystyle v ^ {2} / g = y + {\ sqrt {y ^ {2} + x ^ {2}}}.}

Это дает

θ = arctan ⁡ (y / x + y 2 / х 2 + 1). {\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left (y / x + {\ sqrt {y ^ {2} / x ^ {2} +1}} \ right).}{\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left (y / x + {\ sqrt {y ^ {2} / x ^ {2} +1}} \ right).}

Если мы обозначим угол, тангенс которого равен y / x на α, тогда

загар ⁡ θ = грех ⁡ α + 1 cos ⁡ α {\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ alpha +1} {\ cos \ alpha}}}{\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ alpha +1} {\ cos \ alpha}}}
загар ⁡ (π / 2 - θ) знак равно соз ⁡ α грех ⁡ α + 1 {\ displaystyle \ tan (\ pi / 2- \ theta) = {\ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha +1 }}}{\ displaystyle \ tan (\ pi / 2- \ theta) = {\ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha +1}}}
соз 2 ⁡ (π / 2 - θ) = 1 2 (грех ⁡ α + 1) {\ displaystyle \ cos ^ {2} (\ pi / 2- \ theta) = {\ frac {1 } {2}} (\ грех \ альфа +1)}{\ displaystyle \ cos ^ {2} (\ pi / 2- \ theta) = {\ frac {1} {2}} (\ sin \ alpha +1)}
2 соз 2 ⁡ (π / 2 - θ) - 1 = соз ⁡ (π / 2 - α) {\ displaystyle 2 \ cos ^ {2} (\ pi / 2- \ theta) -1 = \ cos (\ pi / 2- \ alpha)}{\ Displaystyle 2 \ соз ^ {2} (\ пи / 2- \ тета) -1 = \ соз (\ пи / 2- \ альфа)}

Отсюда следует

θ = π / 2 - 1 2 (π / 2 - α). {\ displaystyle \ theta = \ pi / 2 - {\ frac {1} {2}} (\ pi / 2- \ alpha).}{\ displaystyle \ theta = \ pi / 2 - {\ frac {1} {2}} (\ pi / 2- \ alpha).}

Другими словами, запуск должен производиться под углом посередине между целью и Зенит (вектор, противоположный гравитации)

Общая длина траектории

Длина параболической дуги, прослеживаемой снарядом L, учитывая, что высота запуска и посадка такая же и отсутствие сопротивления воздуха определяется по формуле:

L = v 2 2 g (2 sin ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ ⋅ ln ⁡ | 1 - sin ⁡ θ 1 + sin ⁡ θ |) {\ Displaystyle L = {\ frac {v ^ {2}} {2g}} \ left (2 \ sin \ theta - \ cos ^ {2} \ theta \ cdot \ ln \ left | {\ frac {1- \ sin \ theta} {1+ \ sin \ theta}} \ right | \ right)}{\ Displaystyle L = {\ гидроразрыва {v ^ {2}} {2g}} \ left (2 \ sin \ theta - \ cos ^ {2} \ theta \ cdot \ ln \ left | {\ frac {1- \ sin \ theta} {1+ \ sin \ theta}} \ right | \ right)}

или

L = v 2 g (sin ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ⋅ tanh - 1 ⁡ (грех ⁡ θ)) {\ displaystyle L = {\ frac {v ^ {2}} {g}} \ left (\ sin \ theta + \ cos ^ {2} \ theta \ cdot \ tanh ^ {- 1} (\ sin \ theta) \ right)}{\ displaystyle L = {\ frac {v ^ {2}} {g}} \ left (\ sin \ theta + \ cos ^ {2} \ theta \ cdot \ tanh ^ {- 1} (\ sin \ theta) \ right)}

где v {\ displaystyle v}v - начальная скорость, θ {\ displaystyle \ theta}\ theta - угол запуска и g {\ displaystyle g}g - ускорение свободного падения как положительное значение. Выражение может быть получено путем вычисления интеграла длины дуги для параболы высота-расстояние между границами начального и конечного смещений (то есть между 0 и горизонтальным диапазоном снаряда) таким образом, что:

L = ∫ 0 диапазон 1 + (dydx) 2 dx = ∫ 0 v 2 sin ⁡ (2 θ) / g 1 + (- gv 2 cos 2 ⁡ θ x + tan ⁡ θ) 2 dx {\ displaystyle L = \ int _ { 0} ^ {\ mathrm {range}} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} \ right) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {v ^ {2} \ sin (2 \ theta) / g} {\ sqrt {1+ \ left (- {\ frac {g} {v ^ { 2} \ cos ^ {2} \ theta}} x + \ tan \ theta \ right) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x}{\ displaystyle L = \ int _ {0} ^ {\ mathrm {range}} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ ma thrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} \ right) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {v ^ {2} \ sin (2 \ theta) / g} {\ sqrt {1+ \ left (- {\ frac {g} {v ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}} x + \ tan \ theta \ right) ^ {2} }} \, \ mathrm {d} x} .

Траектория полета снаряда с сопротивлением воздуху

Траектории полета масса, брошенная под углом 70 °:. без сопротивления. с сопротивлением Стокса. с сопротивлением Ньютона

Сопротивление воздуха создает силу, которая (для симметричных снарядов) всегда направлен против направления движения в окружающей среде и имеет величину, зависящую от абсолютной скорости: F ai р = - е (v) ⋅ v ^ {\ displaystyle \ mathbf {F_ {air}} = -f (v) \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}}{\ displaystyle \ mathbf {F_ {air}} = -f (v) \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}} . Зависимость силы трения от скорости является линейной (∝ v {\ displaystyle \ propto v}{\ displaystyle \ propto v} ) на очень низких скоростях (сопротивление Стокса ) и квадратичной (∝ v 2 {\ displaystyle \ propto v ^ {2}}{\ displaystyle \ propto v ^ {2}} ) на больших скоростях (сопротивление Ньютона ). Переход между этими поведениями определяется числом Рейнольдса, которое зависит от скорости, размера объекта и кинематической вязкости среды. Для чисел Рейнольдса ниже примерно 1000 зависимость линейная, выше - квадратичная. В воздухе, кинематическая вязкость которого около 0,15 см 2 / с {\ displaystyle 0.15 \, \ mathrm {cm ^ {2} / s}}{\ displaystyle 0.15 \, \ mathrm {cm ^ {2} / s}} , это означает что сила сопротивления становится квадратичной по v, когда произведение скорости и диаметра больше примерно 0,015 м 2 / с {\ displaystyle 0,015 \, \ mathrm {m ^ {2} / s}}{\ displaystyle 0.015 \, \ mathrm {m ^ {2} / s}} , что обычно бывает со снарядами.

  • сопротивление Стокса: F air = - k S tokes ⋅ v {\ displaystyle \ mathbf {F_ {air}} = -k _ {\ mathrm {Stokes}} \ cdot \ mathbf {v} \ qquad}{\ displaystyle \ mathbf {F_ {air}} = -k _ {\ mathrm {Stokes}} \ cdot \ mathbf {v} \ qquad} (для R e ≲ 1000 {\ displaystyle Re \ lesssim 1000}{\ displaystyle Re \ lesssim 1000} )
  • сопротивление Ньютона: F air = - k | v | ⋅ v {\ displaystyle \ mathbf {F_ {air }} = -k \, | \ mathbf {v} | \ cdot \ mathbf {v} \ qquad}{\ displaystyle \ mathbf {F_ {воздух} } = -k \, | \ mathbf {v} | \ cdot \ mathbf {v} \ qquad} (для R e ≳ 1000 {\ displaystyle Re \ gtrsim 1000}{\ displaystyle Re \ gtrsim 1000} )
Диаграмма свободного тела тела, на которое действует только сила тяжести и сопротивление воздуха

На диаграмме свободного тела справа показан снаряд, который испытывает сопротивление воздуха и воздействие силы тяжести. Здесь предполагается сопротивление воздуха быть в направлении, противоположном скорости снаряда: F air = - f (v) ⋅ v ^ {\ displaystyle \ mathbf {F _ {\ mathrm {air}}} = -f (v) \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}}{\ displaystyle \ mathbf { F _ {\ mathrm {воздух}}} = -f (v) \ cdot \ mathbf {\ hat {v}}}

Траектория полета снаряда с сопротивлением Стокса

сопротивление Стокса, где F air ∝ v {\ displaystyle \ mathbf {F_ {air}} \ propto \ mathbf {v}}{\ displaystyle \ mathbf {F_ {air}} \ propto \ mathbf {v}} , применяется только при очень низкой скорости в воздухе, Таким образом, d не является типичным случаем для снарядов. Однако линейная зависимость F air {\ displaystyle F _ {\ mathrm {air}}}{\ displaystyle F _ {\ mathrm {air}}} от v {\ displaystyle v}v вызывает очень простой дифференциал уравнение движения

ddt (vxvy) = (- μ vx - g - μ vy) {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ begin {pmatrix} v_ {x} \\ v_ {y} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} - \ mu \, v_ {x} \\ - g- \ mu \, v_ {y} \ end {pmatrix}} }{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ begin {pmatrix} v_ {x} \\ v_ {y} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} - \ mu \, v_ {x } \\ - g- \ mu \, v_ {y} \ end {pmatrix}}}

, в котором два декартовых компонента становятся полностью независимыми и, следовательно, их легче решить. Здесь v 0 {\ displaystyle v_ {0}}v_ {0} ,vx {\ displaystyle v_ {x}}v_x и vy {\ displaystyle v_ {y}}v_y будет использоваться для обозначения начальной скорости, скорости вдоль направления xи скорости вдоль направления yсоответственно. Масса снаряда будет обозначаться как ми μ: = k / m {\ displaystyle \ mu: = k / m}{\ displaystyle \ mu: = k / m} . Для вывода рассматривается только случай, когда 0 o ≤ θ ≤ 180 o {\ displaystyle 0 ^ {o} \ leq \ theta \ leq 180 ^ {o}}{\ displaystyle 0 ^ {o} \ leq \ theta \ leq 180 ^ {o}} . Опять же, снаряд выстреливается из исходной точки (0,0).

Определение горизонтального положения

Соотношения, которые представляют движение частицы, выводятся с помощью Второго закона Ньютона как в направлениях x, так и y. В направлении x Σ F = - kvx = max {\ displaystyle \ Sigma F = -kv_ {x} = ma_ {x}}{\ displaystyle \ Sigma F = -kv_ {x} = ma_ {x}} и в направлении y Σ F = - kvy - mg = may {\ displaystyle \ Sigma F = -kv_ {y} -mg = ma_ {y}}{\ displaystyle \ Sigma F = -kv_ {y} -mg = ma_ {y} } .

Это означает, что:

ax = - μ vx = dvxdt {\ displaystyle a_ {x} = - \ mu v_ {x} = {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}}}{\ displaystyle a_ {x} = - \ mu v_ {x} = {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}}} (1),

и

ay = - μ vy - g = dvydt {\ displaystyle a_ {y} = - \ mu v_ {y} -g = {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} t }}}{\ displaystyle a_ {y} = - \ mu v_ {y} -g = {\ frac {\ mathrm { d} v_ {y}} {\ mathrm {d} t}}} (2)

Решение (1) представляет собой элементарное дифференциальное уравнение, таким образом, шаги, ведущие к уникальному решению для vxи, следовательно, xне будет перечисляться. При начальных условиях vx = vx 0 {\ displaystyle v_ {x} = v_ {x0}}{\ displaystyle v_ {x} = v_ {x0}} (где vx0понимается как x-компонент начальной скорости) и Икс = 0 {\ displaystyle x = 0}Икс = 0 для t = 0 {\ displaystyle t = 0}t = 0 :

vx = vx 0 e - μ t {\ displaystyle v_ {x} = v_ {x0} e ^ {- \ mu t}}{\ displaystyle v_ {x} = v_ {x0} e ^ {- \ mu t}} (1a)

x (t) = vx 0 μ (1 - e - μ t) {\ displaystyle x (t) = { \ frac {v_ {x0}} {\ mu}} \ left (1-e ^ {- \ mu t} \ right)}{\ displaystyle x (t) = {\ frac {v_ {x0}} {\ mu}} \ left (1-e ^ {- \ mu t} \ right)} (1b)
Определение вертикального положения

Пока (1) решается почти так же, (2) представляет особый интерес из-за своей неоднородности. Следовательно, мы будем активно решать (2). Обратите внимание, что в этом случае используются начальные условия vy = vy 0 {\ displaystyle v_ {y} = v_ {y0}}{\ displaystyle v_ {y} = v_ {y0}} и y = 0 {\ displaystyle y = 0}{\ displaystyle y = 0} когда t = 0 {\ displaystyle t = 0}t = 0 .

dvydt = - μ vy - g {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} t}} = - \ mu v_ {y} -g}{\ displaystyle {\ гидроразрыв {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ m athrm {d} t}} = - \ mu v_ {y} -g} (2)

dvydt + μ vy = - g {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ { y}} {\ mathrm {d} t}} + \ mu v_ {y} = - g}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y) }} {\ mathrm {d} t}} + \ mu v_ {y} = - g} (2a)

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка может решаться несколькими способами; однако в этом случае будет быстрее подойти к решению с помощью интегрирующего коэффициента e ∫ μ dt {\ displaystyle e ^ {\ int \ mu \, \ mathrm {d} t} }{\ Displaystyle е ^ {\ int \ mu \, \ mathrm {d} t}} ...

е μ t (dvydt + μ vy) = e μ t (- g) {\ displaystyle e ^ {\ mu t} ({\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm { d} t}} + \ mu v_ {y}) = e ^ {\ mu t} (- g)}{\ displaystyle e ^ {\ mu t} ({\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} t}} + \ mu v_ {y}) = e ^ {\ mu t} (- g)} (2c)

(e μ tvy) ′ = e μ t (- g) {\ displaystyle (e ^ {\ mu t} v_ {y}) ^ {\ prime} = e ^ {\ mu t} (- g)}{\ displaystyle (e ^ {\ mu t} v_ {y}) ^ {\ prime} = e ^ {\ mu t} (- g)} (2d)

∫ ( е μ tvy) ′ dt знак равно e μ tvy = ∫ е μ T (- g) dt {\ displaystyle \ int {(e ^ {\ mu t} v_ {y}) ^ {\ prime} \, \ mathrm {d } t} = e ^ {\ mu t} v_ {y} = \ int {e ^ {\ mu t} (- g) \, \ mathrm {d} t}}{\ displaystyle \ int {(e ^ {\ mu t} v_ {y}) ^ {\ prime} \, \ mathrm {d} t} = e ^ {\ mu t} v_ {y} = \ int {e ^ {\ mu t} (- g) \, \ mathrm {d} t}} (2e)

е μ tvy = 1 μ e μ t (- g) + C {\ displaystyle e ^ {\ mu t} v_ {y} = {\ frac {1} {\ mu}} e ^ {\ mu t} (-g) + C}{\ displaystyle e ^ { \ mu t} v_ {y} = {\ frac {1} {\ mu}} e ^ {\ mu t} (- g) + C} (2f)

vy = - g μ + C e - μ t {\ displaystyle v_ {y} = {\ frac {-g} {\ mu}} + Ce ^ {- \ mu t}}{\ displaystyle v_ {y} = {\ frac {-g} {\ mu}} + Ce ^ { - \ mu t}} (2g).. И путем интегрирования находим:..

y = - g μ t - 1 μ (vy 0 + g μ) е - μ T + C {\ displaystyle y = - {\ frac {g} {\ mu}} t - {\ frac {1} {\ mu}} (v_ {y0} + {\ frac {g} {\ mu}}) e ^ {- \ mu t} + C}{\ displaystyle y = - {\ frac {g} {\ mu}} t - {\ frac {1} {\ mu}} (v_ {y0} + {\ frac {g} {\ mu}}) e ^ {- \ mu t} + C} (3)

Решение для наших начальных условий:..

vy (t) = - g μ + (vy 0 + g μ) e - μ t {\ displaystyle v_ {y} (t) = - {\ frac {g} {\ mu}} + (v_ {y0} + {\ frac {g}) {\ mu}}) e ^ {- \ mu t}}{\ displaystyle v_ {y} (t) = - {\ гидроразрыва {g} {\ mu}} + (v_ {y0} + {\ frac {g} {\ mu}}) e ^ {- \ mu t}} (2h)

y (t) = - g μ t - 1 μ (vy 0 + g μ) e - μ t + 1 μ (vy 0 + g μ) {\ displaystyle y (t) = - {\ frac {g} {\ mu}} t - {\ frac {1} {\ mu}} (v_ {y0} + { \ frac {g} {\ mu}}) e ^ {- \ mu t} + {\ frac {1} {\ mu}} (v_ {y0} + {\ frac {g} {\ mu}})}{\ displaystyle y (t) = - { \ frac {g} {\ mu}} t - {\ frac {1} {\ mu}} (v_ {y0} + {\ frac {g} {\ mu}}) e ^ {- \ mu t} + {\ frac {1} { \ mu}} (v_ {y0} + {\ frac {g} {\ mu}})} (3a).. Немного алгебры для упрощения (3a):

y (t) = - g μ t + 1 μ (vy 0 + g μ) (1 - е - μ t) {\ displaystyle y (t) = - {\ frac {g} {\ mu}} t + {\ frac {1} {\ mu}} \ left (v_ {y0} + {\ frac { g} {\ mu}} \ right) \ left (1-e ^ {- \ mu t} \ right)}{\ displaystyle y (t) = - {\ frac {g} {\ mu}} t + {\ frac {1} {\ mu}} \ слева (v_ {y0} + {\ frac {g} {\ mu}} \ right) \ left (1-e ^ {- \ mu t} \ right)} (3b)
Расчет времени полета

Общее время поездки при наличии сопротивления воздуха (точнее, когда F air = - kv {\ displaystyle F_ {air} = - kv}{\ displaystyle F_ {air} = - kv} ) можно рассчитать с помощью той же стратегии, что и выше, а именно решаем уравнение y (t) = 0 {\ displ аистиль y (t) = 0}{\ displaystyle y (t) = 0} . Хотя в случае нулевого сопротивления воздуха это уравнение может быть решено элементарно, здесь нам понадобится функция W Ламберта. Уравнение y (t) = - g μ t + 1 μ (vy 0 + g μ) (1 - e - μ t) = 0 {\ displaystyle y (t) = - {\ frac {g} { \ mu}} t + {\ frac {1} {\ mu}} (v_ {y0} + {\ frac {g} {\ mu}}) (1-e ^ {- \ mu t}) = 0}{\ displaystyle y (t) = - {\ frac {g} {\ mu}} t + { \ frac {1} {\ mu}} (v_ {y0} + {\ frac {g} {\ mu}}) (1-e ^ {- \ mu t}) = 0} имеет вид c 1 t + c 2 + c 3 ec 4 t = 0 {\ displaystyle c_ {1} t + c_ {2} + c_ {3} e ^ {c_ {4 } t} = 0}{\ displaystyle c_ {1} t + c_ {2} + c_ {3} e ^ {c_ {4} t } = 0} , и такое уравнение может быть преобразовано в уравнение, решаемое функцией W {\ displaystyle W}W (см. пример такого преобразования здесь ). Некоторые алгебры показывают, что общее время полета в замкнутой форме дается как

t = 1 μ (1 + μ gvy 0 + W (- (1 + μ gvy 0) e - (1 + μ gvy 0))) {\ displaystyle t = {\ frac {1} {\ mu}} \ left (1 + {\ frac {\ mu} {g}} v_ {y0} + W \ left (- \ left (1+ { \ frac {\ mu} {g}} v_ {y0} \ right) e ^ {- \ left (1 + {\ frac {\ mu} {g}} v_ {y0} \ right)} \ right) \ right)}{\ displaystyle t = {\ frac {1} {\ mu}} \ left (1 + {\ frac {\ mu} {g}} v_ {y0} + W \ left (- \ left (1 + {\ frac {\ mu} {g}} v_ {y0} \ right) e ^ {- \ left (1 + {\ frac {\ mu} {g}} v_ {y0} \ right)} \ right) \ справа)} .

Траектория снаряда с сопротивлением Ньютона

Траектории парашютиста в воздухе с сопротивлением Ньютона

Наиболее типичный случай сопротивления воздуха, для случая из чисел Рейнольдса выше примерно 1000 - это сопротивление Ньютона с силой сопротивления, пропорциональной квадрату скорости, F air = - kv 2 {\ displaystyle F _ {\ mathrm {air}} = - kv ^ { 2}}{\ displaystyle F _ {\ mathrm {air}} = - kv ^ {2}} . В воздухе, который имеет кинематическую вязкость около 0,15 см 2 / с {\ displaystyle 0.15 \, \ mathrm {cm ^ {2} / s}}{\ displaystyle 0.15 \, \ mathrm {cm ^ {2} / s}} , это означает что произведение скорости и диаметра должно быть больше примерно 0,015 м 2 / с {\ displaystyle 0,015 \, \ mathrm {m ^ {2} / s}}{\ displaystyle 0.015 \, \ mathrm {m ^ {2} / s}} .

К сожалению, уравнения движения могут не легко решить аналитически для этого случая. Поэтому численное решение будет рассмотрено.

Сделаны следующие допущения:

FD = - 1 2 c ρ A vv {\ displaystyle \ mathbf {F_ {D}} = - {\ tfrac {1} {2}} c \ rho A \, v \, \ mathbf {v}}{\ displaystyle \ mathbf {F_ {D}} = - {\ tfrac {1 } {2}} c \ rho A \, v \, \ mathbf {v}}
где:

Частные случаи

Хотя общий случай снаряда с сопротивлением Ньютона не может быть решен аналитически, некоторые частные случаи могут. Здесь мы обозначаем предельную скорость в свободном падении как v ∞ = g / μ {\ displaystyle v _ {\ infty} = {\ sqrt {g / \ mu}}}{\ displaystyle v _ {\ infty} = {\ sqrt {g / \ mu}}} и характеристическая постоянная времени установления tf = 1 / g μ {\ displaystyle t_ {f} = 1 / {\ sqrt {g \ mu}}}{ \ displaystyle t_ {f} = 1 / {\ sqrt {g \ mu}}} .

  • Почти горизонтальное движение: если движение почти горизонтально, | v x | ≫ | v y | {\ displaystyle | v_ {x} | \ gg | v_ {y} |}{\ displaystyle | v_ {x} | \ gg | v_ {y} |} , например, для летящей пули, вертикальная составляющая скорости имеет очень небольшое влияние на горизонтальное движение. В этом случае:
v ˙ x (t) = - μ vx 2 (t) {\ displaystyle {\ dot {v}} _ {x} (t) = - \ mu \, v_ {x} ^ { 2} (t)}{\ displaystyle {\ dot {v}} _ {x} (t) = - \ mu \, v_ {x} ^ {2} (t)}
vx (t) = 1 1 / vx, 0 + μ t {\ displaystyle v_ {x} (t) = {\ frac {1} {1 / v_ {x, 0} + \ му \, t}}}{\ displaystyle v_ {x} (t) = {\ frac {1} {1 / v_ {x, 0} + \ mu \, t}}}
x (t) = 1 μ ln ⁡ (1 + μ vx, 0 ⋅ t) {\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {\ mu}} \ ln (1+ \ mu \, v_ {x, 0} \ cdot t)}{\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {\ mu}} \ ln (1+ \ mu \, v_ {x, 0} \ cdot t)}
Тот же самый шаблон применяется для движения с трением вдоль линии в любом направлении, когда сила тяжести незначительна. Это также применяется, когда предотвращается вертикальное движение, например, для движущегося автомобиля с выключенным двигателем.
  • Вертикальное движение вверх:
v ˙ y (t) = - g - μ vy 2 (t) {\ displaystyle { \ dot {v}} _ {y} (t) = - g- \ mu \, v_ {y} ^ {2} (t)}{\ displaystyle {\ dot {v}} _ {y} (t) = - g- \ mu \, v_ {y} ^ {2} (t) }
vy (t) = v ∞ tan ⁡ tpeak - ttf {\ displaystyle v_ {y} (t) = v _ {\ infty} \ tan {\ frac {t _ {\ mathrm {peak}} -t} {t_ {f}}}}{\ displaystyle v_ {y} (t) = v _ {\ infty} \ tan {\ frac {t _ {\ mathrm {peak}} -t} {t_ {f}}}}
y (t) = ypeak + 1 μ ln ⁡ (соз ⁡ tpeak - ttf) {\ displaystyle y (t) = y _ {\ mathrm {peak}} + {\ frac {1} {\ mu}} \ ln \ left (\ cos {\ frac {t_ {\ mathrm {peak}} -t} {t_ {f}}} \ right)}{\ displaystyle y (t) = y _ {\ mathrm {peak}} + {\ frac {1} {\ mu} } \ ln \ left (\ cos {\ frac {t _ {\ mathrm {peak}} -t} {t_ {f}}} \ right)}
Снаряд не может подниматься дольше, чем trise = π 2 tf {\ displaystyle t _ {\ mathrm {rise}} = {\ frac {\ pi} {2}} t_ {f}}{\ displaystyle t _ {\ mathrm {rise}} = {\ frac {\ pi} {2}} t_ {f}} по вертикали до достижения пика.
  • Вертикальное движение вниз:
v ˙ y (t) = - g + μ vy 2 (t) {\ displaystyle {\ dot {v}} _ {y} (t) = - g + \ mu \, v_ {y} ^ {2} (t)}{\ displaystyle { \ точка {v}} _ {y} (t) = - g + \ mu \, v_ {y} ^ {2} (t)}
vy (t) = - v ∞ tanh ⁡ t - tpeaktf {\ displaystyle v_ {y} (t) = - v _ {\ infty} \ tanh {\ frac {t-t _ {\ mathrm {peak}}} {t_ {f}}}}{\ displaystyle v_ {y} (t) = - v _ {\ infty} \ tanh {\ frac {t-t _ {\ mathrm {peak}}} {t_ {f}}}}
y (t) = ypeak - 1 μ ln ⁡ (ch ⁡ t - tpeaktf) {\ displaystyle y (t) = y _ {\ mathrm {peak}} - {\ frac {1} {\ mu}} \ ln \ left (\ cosh {\ frac {t-t _ {\ mathrm {пик}}} {t_ {f}}} \ right)}{\ displaystyle y (t) = y _ {\ mathrm {peak}} - {\ frac {1} {\ mu}} \ ln \ left (\ cosh {\ frac {t-t _ {\ mathrm {peak}}} {t_ {f}}} \ right)}
Через время tf {\ displaystyle t_ {f}}t_ {f} снаряд достигает почти предельной скорости - v ∞ {\ displaystyle -v _ {\ infty}}{\ displaystyle -v _ {\ infty}} .

Интегральные выражения

Подход будет заключаться в формулировании интегральных выражений, которые можно вычислить численно. После этого все переменные будут выражены через параметр Q {\ displaystyle Q}Q .

Вывод интегральных выражений

Снаряд массы m запускается из точки (x 0, y 0) {\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}(x_0, y_0) , с начальной скоростью v 0 {\ displaystyle \ mathbf {v_ {0}}}{\ displaystyle \ mathbf {v_ {0}}} в начальное направление, составляющее угол Ψ 0 {\ displaystyle \ Psi _ {0}}\ Psi _ {0} с горизонталью. Он испытывает сопротивление воздуха, равное F a i r = - k v 2 {\ displaystyle F_ {air} = - kv ^ {2}}F _ {{air}} = - kv ^ {2} , которое действует по касательной к траектории движения в любой точке.

Второй закон движения Ньютона равен F = m a {\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}{\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}} . Применение этого в направлении x дает;

F x = - kv 2 cos ⁡ Ψ = md 2 xdt 2 {\ displaystyle F_ {x} = - kv ^ {2} \ cos \ Psi = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}{\ displaystyle F_ {x} = - kv ^ {2} \ cos \ Psi = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}

(1)

Где, v = vx 2 + vy 2 {\ displaystyle v = {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}}}{\ displaystyle v = {\ sqrt {v_ {x } ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}}} , vx {\ displaystyle v_ {x}}v_x и vy {\ displaystyle v_ {y}}v_y - горизонтальная и вертикальная составляющие скорости v {\ displaystyle v}v соответственно.

Пусть μ = km {\ displaystyle \ mu = {\ frac {k} {m}}}{\ displaystyle \ mu = {\ frac {k} {m}}} , dvxdt = d 2 xdt 2 {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d } v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}{\ displaystyle { \ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}} }} и соз ⁡ Ψ = vxv {\ displaystyle \ cos \ Psi = {\ frac {v_ {x}} {v}}}{\ disp Laystyle \ Cos \ Psi = {\ frac {v_ {x}} {v}}} . Уравнение (1) теперь становится;

dvxdt = - μ vxvx 2 + vy 2 {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} = - \ mu v_ {x} {\ sqrt { v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}}}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} = - \ mu v_ {x} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}}}

(A)

В направлении y;

F y = - kv 2 sin ⁡ Ψ - mg = md 2 ydt 2 {\ displaystyle F_ {y} = - kv ^ {2} \ sin \ Psi -mg = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}{\ displaystyle F_ {y} = - kv ^ {2} \ sin \ Psi -mg = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}

(2)

И снова пусть μ = km {\ displaystyle \ mu = {\ frac {k} {m}}}{\ displaystyle \ mu = {\ frac {k} {m}}} , dvydt = d 2 ydt 2 {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}} и грех ⁡ Ψ = vyv {\ displaystyle \ sin \ Psi = {\ frac {v_ { y}} {v}}}{\ displaystyle \ sin \ Psi = {\ frac { v_ {y}} {v}}} . Уравнение (2) теперь;

dvydt = - μ vyvx 2 + vy 2 - g {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} t}} = - \ mu v_ {y} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}} - g}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} t}} = - \ mu v_ {y} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}} - g}

(B)

Зная, что dvydvx = (dvydt) (dvxdt) {\ displaystyle { \ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} v_ {x}}} = {\ frac {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} { \ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}} {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}}} }{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} v_ {x}}} = {\ frac {{\ Bigl (} {\ frac { \ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}} {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d } t}} {\ Bigr)}}}} мы можем разделить уравнение (B) на уравнение (A), чтобы получить;

dvydvx = vyvx + g μ vxvx 2 + vy 2 {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} v_ {x}}} = {\ frac {v_ { y}} {v_ {x}}} + {\ frac {g} {\ mu v_ {x} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}}}}}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} v_ {x}}} = {\ frac {v_ {y}} {v_ {x}}} + {\ frac {g} {\ mu v_ {x} {\ sqrt {v_ {x) } ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}}}}}

(C)

Введите количество q {\ displaystyle q}q такое, что vy = qvx {\ displaystyle v_ {y} = qv_ {x}}{\ displaystyle v_ {y} = qv_ {x} } , тогда;

dvydvx = ddvx (qvx) = q + vxdqdu {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} v_ {x}}} = {\ frac {\ mathrm { d}} {\ mathrm {d} v_ {x}}} (qv_ {x}) = q + v_ {x} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} u}}}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} v_ {x}}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} v_ {x}}} (qv_ {x}) = q + v_ {x} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} u}}}

(D)

Из уравнений (C) и (D) заметьте, что; vyvx + g μ vxvx 2 + vy 2 = q + vxdqdvx {\ displaystyle {\ frac {v_ {y}} {v_ {x}}} + {\ frac {g} {\ mu v_ {x} { \ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}}}} = q + v_ {x} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} v_ { x}}}}{\ displaystyle {\ frac {v_ {y}} {v_ {x}}} + {\ frac {g} {\ mu v_ {x} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y}) ^ {2}}}}} = q + v_ {x} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} v_ {x}}}}

Следовательно, vxdqdvx = g μ vxvx 2 + vy 2 {\ displaystyle v_ {x} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} v_ {x} }} = {\ frac {g} {\ mu v_ {x} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}}}}}{\ displaystyle v_ {x} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} v_ {x}}} = {\ frac {g} {\ mu v_ {x} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}}}}} который может быть переписано как; vxdqdvx = g μ vx 2 1 + q 2 {\ displaystyle v_ {x} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} v_ {x}}} = {\ frac {g} {\ mu v_ {x} ^ {2} {\ sqrt {1 + q ^ {2}}}}}}{\ displaystyle v_ {x} {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} v_ {x}}} = {\ frac {g} {\ mu v_ {x} ^ {2} {\ sqrt {1) + q ^ {2}}}}}

Разделите переменные и интегрируйте как;

г μ ∫ vx - 3 dvx = ∫ 1 + q 2 dq {\ displaystyle {\ frac {g} {\ mu}} \ int v_ {x} ^ {- 3} \, \ mathrm {d} v_ {x} = \ int {\ sqrt {1 + q ^ {2}}} \, \ mathrm {d} q}{\ displaystyle {\ frac {g} {\ mu}} \ int v_ {x} ^ {- 3} \, \ mathrm {d} v_ {x} = \ int {\ sqrt {1 + q ^ { 2}}} \, \ mathrm {d} q}

(E)

Левая часть уравнения (E) равна ∫ vx - 3 dvx = - 1 2 vx 2 {\ displaystyle \ int v_ {x} ^ {- 3} \, \ mathrm {d} v_ {x} = - {\ frac {1} {2v_ { x} ^ {2}}}{\ displaystyle \ int v_ {x} ^ {- 3 } \, \ mathrm {d} v_ {x} = - {\ frac {1} {2v_ {x} ^ {2}}}}

Для правой части пусть q = sinh ⁡ Q {\ displaystyle q = \ sinh Q}{\ displaystyle q = \ sinh Q} , так что 1 + Q 2 знак равно 1 + зп 2 ⁡ Q знак равно cosh 2 ⁡ Q {\ displaystyle 1 + q ^ {2} = 1 + \ sinh ^ {2} Q = \ cosh ^ {2} Q}{\ displaystyle 1 + q ^ {2} = 1 + \ sinh ^ {2} Q = \ cosh ^ {2} Q} и dq = cosh ⁡ Q d Q {\ displaystyle \ mathrm {d} q = \ cosh Q \, \ mathrm {d} Q}{\ displaystyle \ mathrm {d} q = \ cosh Q \, \ mathrm {d} Q}

Таким образом, ∫ 1 + q 2 dq = ∫ cosh 2 ⁡ Q d Q {\ displaystyle \ int {\ sqrt {1 + q ^ {2}}} \, \ mathrm {d} q = \ int \ cosh ^ {2} Q \, \ mathrm {d} Q}{\ displaystyle \ int {\ sqrt {1 + q ^ {2}}} \, \ mathrm {d} q = \ int \ cosh ^ {2} Q \, \ mathrm {d} Q } . Также cosh 2 ⁡ Q = 1 2 (1 + cosh ⁡ 2 Q) {\ displaystyle \ cosh ^ {2} Q = {\ frac {1} {2}} (1+ \ cosh {2Q})}{\ displaystyle \ cosh ^ { 2} Q = {\ frac {1} {2}} (1+ \ cosh {2Q})}

Следовательно; ∫ сш 2 ⁡ Q d Q = 1 2 {Q + 1 2 sinh ⁡ 2 Q} {\ displaystyle \ int \ cosh ^ {2} Q \, \ mathrm {d} Q = {\ frac {1} {2}} {\ biggl \ {} Q + {\ frac {1} {2}} \ sinh {2Q} {\ biggr \}}}{\ displaystyle \ int \ cosh ^ {2} Q \, \ mathrm {d} Q = {\ frac {1} {2}} {\ biggl \ {} Q + {\ frac {1} {2}} \ sinh {2Q} {\ biggr \}}}

Уравнение (E) теперь; - g 2 μ v x 2 = 1 2 {Q + 1 2 sinh ⁡ 2 Q} - В ~ {\ displaystyle - {\ frac {g} {2 \ mu v_ {x} ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} {\ biggl \ {} Q + {\ frac {1 } {2}} \ sinh {2Q} {\ biggr \}} - {\ tilde {B}}}{\ displaystyle - { \ frac {g} {2 \ mu v_ {x} ^ {2}}} = {\ frac {1} {2}} {\ biggl \ {} Q + {\ frac {1} {2}} \ sinh { 2Q} {\ biggr \}} - {\ tilde {B}}}

Откуда;

vx = г μ 1 {B - (Q + 1 2 sinh ⁡ 2 Q)} {\ displaystyle v_ {x} = {\ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}} {\ frac {1 } {\ sqrt {{\ biggl \ {} B - {\ Bigl (} Q + {\ frac {1} {2}} \ sinh {2Q} {\ Bigr)} {\ biggr \}}}}}}{\ displaystyle v_ {x} = {\ sqrt { \ frac {g} {\ mu}}} {\ frac {1} {\ sqrt {{\ biggl \ {} B - {\ Bigl (} Q + {\ frac {1} {2}} \ sinh {2Q}) {\ Bigr)} {\ biggr \}}}}}}

Поскольку vy = vxq = vx sinh ⁡ Q {\ displaystyle v_ {y} = v_ {x} q = v_ {x} \ sinh {Q}}{\ displaystyle v_ {y} = v_ {x} q = v_ {x} \ sinh {Q}}

vy = g μ sinh ⁡ Q {B - (Q + 1 2 sinh ⁡ 2 Q)} {\ displaystyle v_ {y} = {\ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}} {\ frac {\ sinh {Q}} {\ sqrt {{ \ biggl \ {} B - {\ Bigl (} Q + {\ frac {1} {2}} \ sinh {2Q} {\ Bigr)} {\ biggr \}}}}}}{\ displaystyle v_ {y} = {\ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}} {\ frac {\ sinh {Q }} {\ sqrt {{\ biggl \ {} B - {\ Bigl (} Q + {\ frac {1} {2}} \ sinh {2Q} {\ Bigr)} {\ biggr \}}}}}}

Обозначим λ знак равно В - (Q + 1 2 зп ⁡ 2 Q) {\ displaystyle \ lambda = B - {\ Bigl (} Q + {\ frac {1} {2}} \ зп {2Q} {\ Bigr)}}{\ displaystyle \ lambda = B - {\ Bigl (} Q + {\ frac {1} {2}} \ sinh {2Q} {\ Bigr)}} , такой, что;

vx = г μ 1 λ {\ displaystyle v_ {x} = {\ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ lambda}}}}{\ displaystyle v_ {x} = { \ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ lambda}}}}

(F)

vy = g μ sinh ⁡ Q λ {\ displaystyle v_ {y} = {\ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}} {\ frac {\ sinh {Q}} {\ sqrt {\ lambda}}}}{\ displaystyle v_ {y} = {\ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}} {\ frac {\ sinh {Q}} {\ sqrt {\ лямбда}}}}

(G)

В начале движения, t = 0 {\ displaystyle t = 0}t = 0 и v 0 2 = vx, 0 2 + vy, 0 2 {\ displaystyle v_ {0} ^ {2} = v_ {x, 0} ^ {2} + v_ {y, 0} ^ {2}}{\ displaystyle v_ {0} ^ {2} = v_ {x, 0} ^ {2} + v_ {y, 0} ^ {2}}

Следовательно; загар ⁡ Ψ 0 = vy, 0 vx, 0 = q 0 = sinh ⁡ Q 0 {\ displaystyle \ tan {\ Psi _ {0}} = {\ frac {v_ {y, 0}} {v_ { x, 0}}} = q_ {0} = \ sinh {Q_ {0}}}{\ displaystyle \ tan {\ Psi _ {0}} = {\ frac {v_ {y, 0} } {v_ {x, 0}}} = q_ {0} = \ sinh {Q_ {0}}} , так что; В = г μ vx, 0 2 + {Q 0 + 1 2 sinh ⁡ 2 Q 0} {\ displaystyle B = {\ frac {g} {\ mu v_ {x, 0} ^ {2}}} + {\ biggl \ {} Q_ {0} + {\ frac {1} {2}} \ sinh {2Q_ {0}} {\ biggr \}}}{\ displaystyle B = {\ frac {g} {\ mu v_ { x, 0} ^ {2}}} + {\ biggl \ {} Q_ {0} + {\ frac {1} {2}} \ sinh {2Q_ {0}} {\ biggr \}}}

По мере продвижения движения vx → 0 {\ displaystyle v_ {x} \ rightarrow 0}{\ displaystyle v_ {x} \ rightarrow 0} и vy → (отрицательная константа) {\ displaystyle v_ {y} \ rightarrow (a \, отрицательная \, константа)}{\ displaystyle v_ {y} \ rightarrow (a \, negative \, constant)} , т.е. Q → - ∞ {\ displaystyle q \ rightarrow - \ infty}{\ displaystyle q \ rightarrow - \ infty} и Q → - ∞ {\ displaystyle Q \ rightarrow - \ infty}{\ displaystyle Q \ rightarrow - \ infty}

Это означает, что λ → + ∞ {\ displaystyle \ lambda \ to + \ infty}{\ displaystyle \ lambda \ to + \ infty} и 1 λ → 0 {\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\ \ лямбда}}} \ до 0}{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {\ lambda}}} \ to 0}

Следовательно; lim Q → - ∞ sinh ⁡ Q λ = - 1 {\ displaystyle \ lim _ {Q \ to - \ infty} {\ frac {\ sinh {Q}} {\ sqrt {\ lambda}}} = - 1}{\ displaystyle \ lim _ {Q \ to - \ infty} {\ frac {\ sinh {Q}} {\ sqrt {\ lambda}}} = - 1}

В уравнениях (F) и (G) обратите внимание на следующее;

Как vx → 0 {\ displaystyle v_ {x} \ to 0}{\ displaystyle v_ {x} \ to 0} , vy → g μ {\ displaystyle v_ {y} \ to {\ sqrt {\ frac {g} { \ mu}}}}{\ displaystyle v_ {y} \ to {\ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}}}

Когда состояние динамического равновесия достигается при вертикальном свободном падении, противодействующие силы тяжести и сопротивления уравниваются, т. е. kvy, t 2 = mg {\ displaystyle kv_ {y, t} ^ {2} = mg}{\ displaystyle kv_ {y, t} ^ {2} = mg}

vy, t = g μ {\ displaystyle v_ {y, t} = {\ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}}}{\ displaystyle v_ {y, t } = {\ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}}}

(H)

В уравнении (A) замены для vx {\ displaystyle v_ {x}}v_x и vy {\ displaystyle v_ {y}}v_y из уравнений (F) и (G) выходы;

dvxdt = - g λ cosh ⁡ Q {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {g} {\ lambda}} \ cosh {Q}}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t }} = - {\ frac {g} {\ lambda}} \ cosh {Q}}

Также; dvxd Q = 1 2 λ 3/2 г μ (1 + cosh ⁡ 2 Q) {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} Q}} = { \ frac {1} {2 \ lambda ^ {3/2}}} {\ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}} (1+ \ cosh {2Q})}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} Q}} = {\ frac {1} {2 \ lambda ^ {3/2}}} {\ sqrt {\ frac {g} {\ mu}}} (1+ \ cosh {2Q})}

Зная это; d Q dt = (dvxdt) (dvxd Q) {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}} {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm { d} Q}} {\ Bigr)}}}}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d}) v_ {x}} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}} {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} v_ {x}} {\ mathrm {d} Q}} { \ Bigr)}}}} , мы можем написать

dtd Q = - cosh ⁡ Q g μ λ {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} Q}} = - {\ frac {\ cosh {Q}} {{\ sqrt {g \ mu}} {\ sqrt {\ lambda}}}}}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} Q}} = - {\ frac {\ cosh {Q}} {{\ sqrt {g \ mu}} {\ sqrt {\ lambda}}}}}
t (Q) = - 1 г μ ∫ Q 0 Q cosh ⁡ Q ~ λ d Q ~ {\ displaystyle t (Q) = - {\ frac {1} {\ sqrt {g \ mu}}} \ int _ {Q_ {0}} ^ {Q} {\ frac {\ cosh {\ tilde {Q}}} {\ sqrt {\ lambda}}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}}}{\ displaystyle t (Q) = - {\ frac {1} {\ sqrt {g \ mu}}} \ int _ {Q_ {0}} ^ {Q} {\ frac {\ cosh {\ tilde {Q}}} {\ sqrt {\ lambda }}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}}}

(I)

Также; dxd Q = (dxdt) (d Q dt) = - 1 μ cosh ⁡ Q λ {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} Q}} = {\ frac { {\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}} {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}}} = - {\ frac {1} {\ mu}} {\ frac {\ cosh {Q}} {\ lambda}}}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} Q}} = {\ frac {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}} {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d}) Q} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}}} = - {\ frac {1} {\ mu}} {\ frac {\ cosh {Q}} {\ lambda}}}

x (Q) знак равно Икс 0 - 1 μ ∫ Q 0 Q cosh ⁡ Q ~ λ d Q ~ {\ Displaystyle x (Q) = x_ {0} - {\ frac {1} {\ mu}} \ int _ {Q_ {0} } ^ {Q} {\ frac {\ cosh {\ tilde {Q}}} {\ lambda}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}}}{\ displaystyle x (Q) = x_ {0} - {\ frac {1} {\ mu}} \ int _ {Q_ {0}} ^ {Q} {\ frac {\ ch {\ tilde {Q}}} {\ лямбда}} \, \ mathrm {d} {\ тильда {Q}}}

(J)

И; dyd Q = (dydt) (d Q dt) = - 1 2 μ sinh ⁡ 2 Q λ {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} Q}} = {\ гидроразрыв {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}} {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}}} = - {\ frac {1} {2 \ mu}} {\ frac {\ sinh {2Q}} {\ lambda}}}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} Q}} = {\ frac {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm { d} t}} {\ Bigr)}} {{\ Bigl (} {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} {\ Bigr)}}} = - {\ frac { 1} {2 \ mu}} {\ frac {\ sinh {2Q}} {\ lambda}}}

y (Q) знак равно Y 0 - 1 2 μ ∫ Q 0 Q зп ⁡ 2 Q ~ λ d Q ~ {\ displaystyle y (Q) = y_ {0} - {\ frac {1} {2 \ mu}} \ int _ {Q_ {0}} ^ {Q} {\ frac {\ sinh {2 {\ tilde {Q}}}} {\ lambda}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}}}{\ displaystyle y (Q) = y_ {0} - {\ frac {1} {2 \ mu} } \ int _ {Q_ {0}} ^ {Q} {\ frac {\ sinh {2 {\ tilde {Q}}}} {\ lambda}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}} }

(K)

Определите время полета T {\ displaystyle T}T , установив для y {\ displaystyle y}yзначение 0 { \ displaystyle 0}{\ displaystyle 0} в уравнении (K) выше. Найдите значение переменной Q {\ displaystyle Q}Q .

y 0-1 2 μ ∫ Q 0 QT sinh ⁡ 2 Q ~ λ d Q ~ = 0 {\ displaystyle y_ {0} - {\ frac {1} {2 \ mu}} \ int _ {Q_ {0}} ^ {Q_ {T}} {\ frac {\ sinh {2 {\ tilde {Q}}}} {\ lambda}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}} = 0}{\ displaystyle y_ {0} - {\ frac {1} {2 \ mu}} \ int _ {Q_ {0}} ^ {Q_ {T}} {\ frac {\ sinh {2 {\ tilde {Q}}}} {\ lambda}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}} = 0}

(L)

Уравнение (I) с заменой QT {\ displaystyle Q_ {T}}Q_ {T} для Q {\ displaystyle Q}Q дает;

T = - 1 г μ ∫ Q 0 QT cosh ⁡ Q ~ λ d Q ~ {\ displaystyle T = - {\ frac {1} {\ sqrt {g \ mu}}} \ int _ {Q_ {0 }} ^ {Q_ {T}} {\ frac {\ cosh {\ tilde {Q}}} {\ sqrt {\ lambda}}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}}}{\ displaystyle T = - {\ frac {1} {\ sqrt {g \ mu}}} \ int _ {Q_ {0}} ^ {Q_ {T}} {\ frac {\ cosh {\ tilde {Q) }}} {\ sqrt {\ lambda}}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}}}

(M)

Уравнение (J) дает горизонтальный диапазон R {\ displaystyle R}R как;

R = Икс 0 - 1 μ ∫ Q 0 QT cosh ⁡ Q ~ λ d Q ~ {\ Displaystyle R = x_ {0} - {\ frac {1} {\ mu}} \ int _ {Q_ {0 }} ^ {Q_ {T}} {\ frac {\ cosh {\ tilde {Q}}} {\ lambda}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}}}{\ displaystyle R = x_ {0} - { \ frac {1} {\ mu}} \ int _ {Q_ {0}} ^ {Q_ {T}} {\ frac {\ ch {\ tilde {Q}}} {\ lambda}} \, \ mathrm { d} {\ tilde {Q}}}

(N)

В самой высокой точке траектории снаряда Ψ = 0 {\ displaystyle \ Psi = 0}{\ Displaystyle \ P si = 0} и Q = 0 {\ displaystyle Q = 0}Q = 0 , что дает максимальную высоту H {\ displaystyle H}Hиз уравнения (K) как;

ЧАС = Y 0–1 2 μ ∫ Q 0 0 зп ⁡ 2 Q ~ λ d Q ~ {\ Displaystyle H = Y_ {0} - {\ frac {1} {2 \ mu}} \ int _ { Q_ {0}} ^ {0} {\ frac {\ sinh {2 {\ tilde {Q}}}} {\ lambda}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}}}{\ displaystyle H = y_ {0} - {\ frac {1} {2 \ mu} } \ int _ {Q_ {0}} ^ {0} {\ frac {\ sinh {2 {\ tilde {Q}}}} {\ lambda}} \, \ mathrm {d} {\ tilde {Q}} }

( O)

Численное решение

Движение снаряда с сопротивлением может быть вычислено в общем случае с помощью численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения , например, применяя сокращение до системы первого порядка. Решаемое уравнение:

ddt (xyvxvy) = (vxvy - μ vxvx 2 + vy 2 - g - μ vyvx 2 + vy 2) {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm { d} t}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ v_ {x} \\ v_ {y} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} v_ {x} \\ v_ {y} \\ - \ mu \, v_ {x} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}} \\ - g- \ mu \, v_ {y} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}} \ end {pmatrix}}}{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ v_ {x} \\ v_ {y} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} v_ {x} \\ v_ { y} \\ - \ mu \, v_ {x} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}} \\ - g- \ mu \, v_ {y} { \ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2}}} \ end {pmatrix}}} .

Следующая компьютерная программа в виде сценария Python демонстрирует такой симуляция, где снаряд моделируется как бейсбольный мяч (параметры из). Скрипт использует библиотеки numpy (для массивов), scipy (для численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения и для поиска корней по методом Ньютона ) и matplotlib (для построения графика).

#! / Usr / bin / env python3 from math import * import numpy as np from scipy.integrate import odeint from scipy.optimize import newton import matplotlib.pyplot as plt def projectile_motion (g, mu, xy0, vxy0, tt): # использовать четырехмерную векторную функцию vec = [x, y, vx, vy] def diff (vec, t): # производная по времени всего вектора vec v = sqrt (vec [2] ** 2 + vec [3] ** 2) return [vec [2], vec [3], -mu * v * vec [2], -g - mu * v * vec [3]] # решаем дифференциальное уравнение численно vec = odeint (dif, [xy0 [0], xy0 [1], vxy0 [0], vxy0 [1]], tt) return vec [:, 0], vec [:, 1], vec [:, 2], vec) [:, 3] # return x, y, vx, vy # Параметры снаряда (по образцу бейсбольного мяча) g = 9,81 # Ускорение свободного падения (м / с ^ 2) rho_air = 1,29 # Плотность воздуха (кг / м ^ 3) v0 = 44,7 # Начальная скорость (м / с) alpha0 = радианы (75) # Угол пуска (град.) M = 0,145 # Масса снаряда (кг) cD = 0,5 # Коэффициент лобового сопротивления (сферический снаряд) r = 0,0366 # Радиус снаряда (м) mu = 0,5 * cD * (pi * r ** 2) * rho_air / m # I начальное положение и скорость запуска x0, y0 = 0,0, 0,0 vx0, vy0 = v0 * cos (alpha0), v0 * sin (alpha0) T_peak = newton (lambda t: projectile_motion (g, mu, (x0, y0), (vx0), vy0), [0, t]) [3] [1], 0) y_peak = projectile_motion (g, mu, (x0, y0), (vx0, vy0), [0, T_peak]) [1] [1 ] T = ньютон (lambda t: projectile_motion (g, mu, (x0, y0), (vx0, vy0), [0, t]) [1] [1], 2 * T_peak) t = np.linspace (0, T, 501) x, y, vx, vy = projectile_motion (g, mu, (x0, y0), (vx0, vy0), t) print ("Время полета: {:.1f} s".format ( T)) # возвращает 6,6 с print ("Горизонтальный диапазон: {:.1f} м".format (x [-1])) # возвращает 43,7 м print ("Максимальная высота: {:.1f} м".format ( y_peak)) # возвращает 53,4 м # График траектории fig, ax = plt.subplots () ax.plot (x, y, "r-", label = "Numerical") ax.set_title (r "Путь снаряда") ax.set_aspect ("равно"); ax.grid (b = Истина); ax.legend () ax.set_xlabel ("$ x $ (m)"); ax.set_ylabel ("$ y $ (m)") plt.savefig ("01 Path.png") fig, ax = plt.subplots () ax.plot (t, vx, "b-", label = "$ v_x $ ") ax.set_title (r" Горизонтальная составляющая скорости ") ax.grid (b = True); ax.legend () ax.set_xlabel ("$ t $ (s)"); ax.set_ylabel ("$ v_x $ (m / s)") plt.savefig ("02 Horiz vel.png") fig, ax = plt.subplots () ax.plot (t, vy, "b-", label = "$ v_y $") ax.set_title (r "Вертикальная составляющая скорости") ax.grid (b = True); ax.legend () ax.set_xlabel ("$ t $ (s)"); ax.set_ylabel ("$ v_y $ (m / s)") plt.savefig ("03 Vert vel.png")

Этот подход также позволяет добавлять эффекты зависящего от скорости коэффициента сопротивления и плотности воздуха, зависящего от высоты. и позиционно-зависимое гравитационное поле.

Поднимаемая траектория

Поднимаемая траектория северокорейских ракет Хвасон-14 и Хвасон-15

Частным случаем баллистической траектории ракеты является поднятая траектория, траектория с апогеем , превышающим траекторию с минимальной энергией на тот же диапазон. Другими словами, ракета летит выше и при этом использует больше энергии, чтобы добраться до той же точки приземления. Это может быть сделано по разным причинам, например, для увеличения расстояния до горизонта для увеличения дальности обзора / связи или для изменения угла падения ракеты при приземлении. Лофт-траектории иногда используются как в ракетной технике, так и в космических полетах.

Движение снаряда в планетарном масштабе

Траектория снаряда вокруг планеты по сравнению с движением в однородном поле

Когда снаряд без сопротивления воздуха перемещается на расстояние, значимое по сравнению с радиусом Земли (более ≈100 км), необходимо учитывать кривизну Земли и неоднородное гравитационное поле. Это, например, случай с космическими кораблями или межконтинентальными снарядами. Затем траектория обобщается от параболы до эллипса Кеплера с одним фокусом в центре Земли. Тогда движение снаряда следует законам движения планеты Кеплера.

Параметры траекторий должны быть адаптированы из значений однородного гравитационного поля, указанных выше. радиус земли принимается как R, а gв качестве стандартной поверхностной силы тяжести. Пусть v ~: = v / R g {\ displaystyle {\ tilde {v}}: = v / {\ sqrt {Rg}}}{\ displaystyle {\ tilde {v}}: = v / {\ sqrt {Rg}}} скорость запуска относительно первой космической скорости.

Общий диапазон dмежду запуском и ударом:

d = v 2 sin ⁡ (2 θ) g / 1 - (2 - v ~ 2) v ~ 2 cos 2 ⁡ θ {\ displaystyle d = {\ frac {v ^ {2} \ sin (2 \ theta)} {g}} {\ Big /} {\ sqrt {1- \ left (2 - {\ tilde {v}}) ^ {2} \ right) {\ tilde {v}} ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}}{\ displaystyle d = {\ frac {v ^ {2} \ sin (2 \ theta)} {g}} {\ Big /} {\ sqrt {1- \ left (2 - {\ tilde {v}} ^ {2} \ right) {\ tilde {v}} ^ {2 } \ cos ^ {2} \ theta}}}

Максимальная дальность полета снаряда для оптимального угла пуска (θ = 1 2 arccos ⁡ (v ~ 2 / (2 - v ~ 2)) {\ displaystyle \ theta = {\ tfrac {1} {2}} \ arccos \ left ({\ tilde {v}} ^ {2} / (2- {\ тильда {v}} ^ {2}) \ right)}{\ displaystyle \ theta = {\ tfrac {1} {2}} \ arccos \ left ({\ tilde {v}} ^ {2} / (2 - {\ tilde {v}} ^ {2}) \ right)} ):

dmax = v 2 г / (1 - 1 2 v ~ 2) {\ displaystyle d _ {\ mathrm { max}} = {\ frac {v ^ {2}} {g}} {\ big /} \ left (1 - {\ tfrac {1} {2}} {\ tilde {v}} ^ {2} \ справа)}{\ displaystyle d _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {v ^ {2}} {g}} {\ big /} \ left (1 - {\ tfrac {1} {2}} {\ tilde {v}} ^ {2} \ right)} с v < R g {\displaystyle v<{\sqrt {Rg}}}{\ displaystyle v <{\ sqrt {Rg}}} , первая космическая скорость

Максимальная высота снаряда над поверхностью планеты:

h = v 2 sin 2 ⁡ θ g / (1 - v ~ 2 + 1 - (2 - v ~ 2) v ~ 2 cos 2 ⁡ θ) {\ displaystyle h = {\ frac {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {g}} {\ Большой /} \ left (1 - {\ tilde {v}} ^ {2} + {\ sqrt {1- \ left (2 - {\ tilde {v}} ^ {2} \ right) {\ tilde {v }} ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}} \ right)}{\ displaystyle h = {\ frac { v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta} {g}} {\ Big /} \ left (1 - {\ tilde {v}} ^ {2} + {\ sqrt {1- \ left (2 - {\ тильда {v}} ^ {2} \ right) {\ tilde {v}} ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}} \ right)}

Максим мкм высота снаряда для вертикального пуска (θ = 90 ∘ {\ displaystyle \ theta = 90 ^ {\ circ}}\ theta = 90 ^ {\ circ} ):

hmax = v 2 2 г / (1 - 1 2 v ~ 2) {\ displaystyle h _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {v ^ {2}} {2g}} {\ big /} \ left (1 - {\ tfrac {1} {2 }} {\ tilde {v}} ^ {2} \ right)}{\ displaystyle h _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {v ^ {2}} {2g}} {\ big /} \ left (1 - {\ tfrac {1} {2}} {\ тильда {v}} ^ {2} \ right)} с v < 2 R g {\displaystyle v<{\sqrt {2Rg}}}{\ displaystyle v <{\ sqrt {2Rg}}} , второй космической скоростью

Время полета:

t = 2 v sin ⁡ θ g ⋅ 1 2 - v ~ 2 (1 + 1 2 - v ~ 2 v ~ sin ⁡ θ arcsin ⁡ 2 - v ~ 2 v ~ sin ⁡ θ 1 - (2 - v ~ 2) v ~ 2 cos 2 ⁡ θ) {\ displaystyle t = {\ frac {2v \ sin \ theta} {g}} \ cdot {\ frac {1} {2 - {\ tilde {v}} ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac {1} {{\ sqrt {2 - {\ tilde {v}} ^ {2}}} \, {\ tilde {v}} \ sin \ theta}} \ arcsin {\ frac {{\ sqrt {2 - {\ tilde {v}} ^ {2}}} \, {\ tilde {v}} \ sin \ theta} {\ sqrt {1- \ left (2 - {\ tilde {v}} ^ {2} \ right) {\ tilde {v}} ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}} \ right)}{\ displaystyle t = {\ frac {2v \ sin \ theta} {g}} \ cdot {\ frac {1} {2 - {\ tilde {v}} ^ {2}}} \ left (1 + {\ frac { 1} {{\ sqrt {2 - {\ tilde {v}} ^ {2}}} \, {\ tilde {v}} \ sin \ theta}} \ arcsin {\ frac {{\ sqrt {2- { \ tilde {v}} ^ {2}}} \, {\ tilde {v}} \ sin \ theta} {\ sqrt {1- \ left (2 - {\ tilde {v}} ^ {2} \ right) {\ тильда {v}} ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}} \ right)}

Примечания

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-02 08:01:37
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте