В математике проконечное целое число является элементом кольца (иногда произносится как зи-хет или зед-шляпа)
где
указывает бесконечное завершение из , индекс пробегает все простые числа, а равно кольцо целых p-адических чисел. Эта группа важна из-за ее связи с теорией Галуа, Этальной теорией гомотопии и кольцом Адель. Кроме того, он представляет собой простой послушный пример проконечной группы.
Содержание
- 1 Конструкция и отношения
- 1.1 Топологические свойства
- 1.2 Связь с аделями
- 1.3 Приложения в теории Галуа и теории гомотопий Etale
- 1.3.1 Связь с фундаментальными группами Etale алгебраических торов
- 1.4 Теория поля классов и проконечные целые числа
- 2 См. Также
- 3 Примечания
- 4 Ссылки
- 5 Внешние ссылки
Конструкция и отношения
Конкретно проконечные целые числа будут быть набором последовательностей таких, что и . Поточечное сложение и умножение делают его коммутативным кольцом. Если последовательность целых чисел сходится по модулю n для каждого n, тогда предел будет существовать как проконечное целое число. Существует вложение целых чисел в кольцо проконечных целых чисел, поскольку существует каноническая инъекция
- где
Топологические свойства
Набор проконечных целых чисел имеет индуцированную топологию в котором это компакт хаусдорфово пространство, исходя из того факта, что его можно рассматривать как замкнутое подмножество бесконечного произведения
, который компактен со своей топологией продукта от Тихонова Теорема. Обратите внимание, что топология каждой конечной группы задана как дискретная топология. Поскольку сложение проконечных целых чисел непрерывно, является компактной хаусдорфовой абелевой группой, и, следовательно, ее двойственная по Понтрягину должна быть дискретной абелевой группой. Фактически, двойственная по Понтрягина к является дискретной абелевой группой . Этот факт демонстрируется объединением
где является символом , индуцированного .
Связь с adeles
Тензорное произведение - кольцо конечных аделей
из , где символ означает ограниченный продукт. Есть изоморфизм
Приложения в теории Галуа и этальной теории гомотопий
Для алгебраического замыкания из конечного поля порядка q, группа Галуа может быть вычислена явно. Из факта где автоморфизмы задаются эндоморфизмом Фробениуса, группой Галуа алгебраического замыкания задается обратным пределом групп , поэтому его группа Галуа изоморфна группе проконечных целых чисел
, который дает вычисление абсолютная группа Галуа конечного поля.
Связь с этале фундаментальными группами алгебраических торов
Эту конструкцию можно по-разному интерпретировать. Один из них взят из теории гомотопии Etale, который определяет фундаментальную группу Etale как проконечное пополнение автоморфизмов
где - это обложка Etale. Тогда проконечные целые числа изоморфны группе
из предыдущего вычисления проконечной группы Галуа. Кроме того, проконечные целые числа встраиваются в фундаментальную группу Этале алгебраического тора
так как покрывающие карты происходят из полиномиальных отображений
из карты коммутативных колец
отправка
с . Если алгебраический тор рассматривается над полем , то фундаментальная группа Etale содержит действие , а также из фундаментальной точной последовательности в этальной теории гомотопии.
Теория поля классов и проконечные целые числа
Теория поля классов - это раздел теории алгебраических чисел, изучающий абелевы полевые расширения поля. Учитывая глобальное поле , абелианизация его абсолютной группы Галуа
тесно связано с соответствующим кольцом аделей и группа проконечных целых чисел. В частности, есть карта, которая называется карта Артина
что является изоморфизмом. Это частное можно явно определить как
с указанием желаемое отношение. Аналогичное утверждение существует для теории полей локальных классов, поскольку каждое конечное абелево расширение индуцируется из конечного поля extension .
См. также
Примечания
Ссылки
- Конн, Ален; Консани, Катерина (2015). «Геометрия арифметического узла». arXiv : 1502.05580.
- Милн, Дж. С. (2013-03-23). "Теория поля классов" (PDF). Архивировано из оригинального (PDF) 19.06.2013. Проверено 07.06.2020.
Внешние ссылки