Проконечное целое число

редактировать

В математике проконечное целое число является элементом кольца (иногда произносится как зи-хет или зед-шляпа)

Z ^ = lim ← ⁡ Z / n Z = ∏ p Z p {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} = \ varprojlim \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} = \ prod _ {p} \ mathbb {Z} _ {p}}{\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} = \ varprojlim \ mathbb {Z } / п \ mathbb {Z} = \ prod _ {p} \ mathbb {Z} _ {p}}

где

lim ← ⁡ Z / n Z {\ displaystyle \ varprojlim \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}{\ displaystyle \ varprojlim \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}

указывает бесконечное завершение из Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} , индекс p {\ displaystyle p}p пробегает все простые числа, а Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}\ mathbb {Z} _ {p} равно кольцо целых p-адических чисел. Эта группа важна из-за ее связи с теорией Галуа, Этальной теорией гомотопии и кольцом Адель. Кроме того, он представляет собой простой послушный пример проконечной группы.

Содержание

  • 1 Конструкция и отношения
    • 1.1 Топологические свойства
    • 1.2 Связь с аделями
    • 1.3 Приложения в теории Галуа и теории гомотопий Etale
      • 1.3.1 Связь с фундаментальными группами Etale алгебраических торов
    • 1.4 Теория поля классов и проконечные целые числа
  • 2 См. Также
  • 3 Примечания
  • 4 Ссылки
  • 5 Внешние ссылки

Конструкция и отношения

Конкретно проконечные целые числа будут быть набором последовательностей υ {\ displaystyle \ upsilon}\ upsilon таких, что υ (n) ∈ Z / n Z {\ displaystyle \ upsilon (n) \ in \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}{\ displaystyle \ upsilon (n) \ in \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}} и m | n ⟹ υ (м) ≡ υ (п) мод м {\ Displaystyle м \ | \ п \ подразумевает \ ипсилон (м) \ эквив \ ипсилон (п) {\ bmod {м}}}{\ displaystyle m \ | \ n \ подразумевает \ upsilon (m) \ Equiv \ upsilon (n) {\ bmod {m}}} . Поточечное сложение и умножение делают его коммутативным кольцом. Если последовательность целых чисел сходится по модулю n для каждого n, тогда предел будет существовать как проконечное целое число. Существует вложение целых чисел в кольцо проконечных целых чисел, поскольку существует каноническая инъекция

Z ↪ Z ^ {\ displaystyle \ mathbb {Z} \ hookrightarrow {\ widehat {\ mathbb {Z }}}}{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ hookrightarrow {\ widehat {\ mathbb {Z}}}} где n ↦ (n по модулю 1, n по модулю 2,…). {\ displaystyle n \ mapsto (n {\ bmod {1}}, n {\ bmod {2}}, \ dots).}{\ displaystyle n \ mapsto (п {\ bmod {1}}, п {\ bmod {2}}, \ точки).}

Топологические свойства

Набор проконечных целых чисел имеет индуцированную топологию в котором это компакт хаусдорфово пространство, исходя из того факта, что его можно рассматривать как замкнутое подмножество бесконечного произведения

Z ^ ⊂ ∏ n Z / n Z {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {Z}}} \ subset \ prod _ {n} \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {Z}}} \ subset \ prod _ {n} \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}

, который компактен со своей топологией продукта от Тихонова Теорема. Обратите внимание, что топология каждой конечной группы Z / n Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} задана как дискретная топология. Поскольку сложение проконечных целых чисел непрерывно, Z ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}{\ widehat {\ mathbb {Z}}} является компактной хаусдорфовой абелевой группой, и, следовательно, ее двойственная по Понтрягину должна быть дискретной абелевой группой. Фактически, двойственная по Понтрягина к Z ^ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}{\ widehat {\ mathbb {Z}}} является дискретной абелевой группой Q / Z {\ displaystyle \ mathbb {Q } / \ mathbb {Z}}{\ mathbb {Q}} / {\ mathbb {Z}} . Этот факт демонстрируется объединением

Q / Z × Z ^ → U (1), (q, a) ↦ χ (qa) {\ displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} \ times {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ к U (1), \, (q, a) \ mapsto \ chi (qa)}{\ mathbb {Q}} / {\ mathbb {Z}} \ times \ widehat {{\ mathbb {Z}}} \ в U ( 1) \, (q, a) \ mapsto \ chi (qa)

где χ {\ displaystyle \ chi}\ chi является символом AQ, f {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}, f}}{\ mathbf {A}} _ {{{\ mathbb {Q}}, f}} , индуцированного Q / Z → U (1), α ↦ е 2 π я α {\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z} \ к U (1), \, \ alpha \ mapsto e ^ {2 \ pi i \ alpha}}{\ mathbb {Q}} / {\ mathbb {Z}} \ к U (1), \, \ alpha \ mapsto e ^ {{2 \ pi i \ alpha}} .

Связь с adeles

Тензорное произведение Z ^ ⊗ ZQ {\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q}}\ widehat {{\ mathbb {Z}}} \ otimes _ {{{\ mathbb {Z}}}} {\ math bb {Q}} - кольцо конечных аделей

AQ, f = ∏ p ′ Q p {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}, f} = \ prod _ {p} { } ^ {'} \ mathbb {Q} _ {p}}{\mathbf {A}}_{{{\mathbb {Q}},f}}=\prod _{p}{}^{{'}}{\mathbb {Q}}_{p}

из Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}\ mathbb {Q} , где символ ′ {\ displaystyle'}'означает ограниченный продукт. Есть изоморфизм

AQ ≅ R × (Z ^ ⊗ ZQ) {\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}} \ cong \ mathbb {R} \ times ({\ hat {\ mathbb { Z}}} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q})}{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {\ mathbb {Q}} \ cong \ mathbb {R} \ times ({\ hat {\ mathbb {Z}}} \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Q})}

Приложения в теории Галуа и этальной теории гомотопий

Для алгебраического замыкания F ¯ q {\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {F}}} _ {q}}\ overline {{\ mathbf {F}}} _ {q} из конечного поля F q {\ displaystyle \ mathbf { F} _ {q}}\ mathbf {F} _q порядка q, группа Галуа может быть вычислена явно. Из факта Гал (F qn / F q) ≅ Z / n Z {\ displaystyle {\ text {Gal}} (\ mathbf {F} _ {q ^ {n}} / \ mathbf {F} _ {q}) \ cong \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}{\ displaystyle {\ text {Gal}} (\ mathbf {F} _ {q ^ {n}} / \ mathbf {F} _ {q}) \ cong \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}} где автоморфизмы задаются эндоморфизмом Фробениуса, группой Галуа алгебраического замыкания F q {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {q}}\ mathbf {F} _q задается обратным пределом групп Z / n Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} , поэтому его группа Галуа изоморфна группе проконечных целых чисел

Gal ⁡ (F ¯ q / F q) ≅ Z ^ {\ displaystyle \ operatorname {Gal} ({ \ overline {\ mathbf {F}}} _ {q} / \ mathbf {F} _ {q}) \ cong {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}{\ displaystyle \ operatorname {Gal} ({\ overline {\ mathbf { F}}} _ {q} / \ mathbf {F} _ {q}) \ cong {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}

, который дает вычисление абсолютная группа Галуа конечного поля.

Связь с этале фундаментальными группами алгебраических торов

Эту конструкцию можно по-разному интерпретировать. Один из них взят из теории гомотопии Etale, который определяет фундаментальную группу Etale π 1 et (X) {\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (X)}{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (X)} как проконечное пополнение автоморфизмов

π 1 et (X) = lim i ∈ I Aut (X i / X) {\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (X) = \ lim _ {я \ in I} {\ text {Aut}} (X_ {i} / X)}{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (X) = \ lim _ {i \ in I} {\ text {Aut}} (X_ {i} / X)}

где X i → X {\ displaystyle X_ {i} \ to X}{\ displaystyle X_ {i} \ к X} - это обложка Etale. Тогда проконечные целые числа изоморфны группе

π 1 et (Spec (F q)) ≅ Z ^ {\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} ({\ text {Spec}} (\ mathbf {F} _ {q})) \ cong {\ hat {\ mathbb {Z}}}}{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} ({\ text {Spec}} (\ mathbf {F} _ {q})) \ cong {\ hat {\ mathbb {Z}}}}

из предыдущего вычисления проконечной группы Галуа. Кроме того, проконечные целые числа встраиваются в фундаментальную группу Этале алгебраического тора

Z ^ ↪ π 1 et (G m) {\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {Z}}} \ hookrightarrow \ pi _ {1} ^ {et} (\ mathbb {G} _ {m})}{\ displaystyle {\ hat {\ mathbb {Z}}} \ hookrightarrow \ pi _ {1} ^ {et} (\ mathbb {G} _ {m})}

так как покрывающие карты происходят из полиномиальных отображений

(⋅) n: G m → G m {\ displaystyle (\ cdot) ^ {n}: \ mathbb {G} _ {m} \ to \ mathbb {G} _ {m}}{\ displaystyle (\ cdot) ^ {n}: \ mathbb {G} _ {m } \ to \ mathbb {G} _ {m}}

из карты коммутативных колец

е: Z [x, x - 1] → Z [x, x - 1] {\ displaystyle f: \ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}] \ to \ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}]}{\ displaystyle f: \ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}] \ to \ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}]} отправка x ↦ xn {\ displaystyle x \ mapsto x ^ {n}}{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {n}}

с G m = Spec (Z [x, x - 1]) {\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m} = {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}])}{\ displaystyle \ mathbb {G} _ {m } = {\ text {Spec}} (\ mathbb {Z} [x, x ^ {- 1}])} . Если алгебраический тор рассматривается над полем k {\ displaystyle k}k , то фундаментальная группа Etale π 1 et (G m / Spec (k)) {\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (\ mathbb {G} _ {m} / {\ text {Spec (k)}})}{\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {et} (\ mathbb {G} _ {m} / {\ text {Spec (k)}})} содержит действие Gal (k ¯ / k) {\ displaystyle {\ text {Gal}} ({\ overline {k}} / k)}{\ displaystyle {\ text {Gal}} ({\ overline {k}} / k)} , а также из фундаментальной точной последовательности в этальной теории гомотопии.

Теория поля классов и проконечные целые числа

Теория поля классов - это раздел теории алгебраических чисел, изучающий абелевы полевые расширения поля. Учитывая глобальное поле Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}\ mathbb {Q} , абелианизация его абсолютной группы Галуа

Gal (Q ¯ / Q) ab {\ displaystyle {\ text {Gal}} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q}) ^ {ab}}{\ displaystyle {\ text {Gal}} ({\ overline {\ mathbb {Q }}} / \ mathbb {Q}) ^ {ab}}

тесно связано с соответствующим кольцом аделей AQ {\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}}}{\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}}} и группа проконечных целых чисел. В частности, есть карта, которая называется карта Артина

Ψ Q: AQ × / Q × → Gal (Q ¯ / Q) ab {\ displaystyle \ Psi _ {\ mathbb {Q}}: \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ times} / \ mathbb {Q} ^ {\ times} \ to {\ text {Gal}} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q}) ^ {ab}}{\ displaystyle \ Psi _ {\ mathbb {Q}}: \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ times} / \ mathbb {Q} ^ {\ times } \ to {\ text {Gal}} ({\ overline {\ mathbb {Q}}} / \ mathbb {Q}) ^ {ab}}

что является изоморфизмом. Это частное можно явно определить как

AQ × / Q × ≅ (R × Z ^) / Z = lim ← (R / m Z) = lim x ↦ xm S 1 = Z ^ {\ displaystyle {\ begin { выровнено} \ mathbb {A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ times} / \ mathbb {Q} ^ {\ times} \ cong (\ mathbb {R} \ times {\ hat {\ mathbb {Z }}}) / \ mathbb {Z} \\ = {\ underset {\ leftarrow} {\ lim}} \ mathbb {(} {\ mathbb {R}} / m \ mathbb {Z}) \\ = {\ underset {x \ mapsto x ^ {m}} {\ lim}} S ^ {1} \\ = {\ hat {\ mathbb {Z}}} \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb { A} _ {\ mathbb {Q}} ^ {\ times} / \ mathbb {Q} ^ {\ times} \ cong (\ mathbb {R} \ times {\ hat {\ mathbb {Z}}}) / \ mathbb {Z} \\ = {\ underset {\ leftarrow} {\ lim}} \ mathbb {(} {\ mathbb {R}} / m \ mathbb {Z}) \\ = {\ underset {x \ mapsto x ^ {m}} {\ lim}} S ^ {1} \\ = {\ hat {\ mathbb {Z}}} \ end {align}}}

с указанием желаемое отношение. Аналогичное утверждение существует для теории полей локальных классов, поскольку каждое конечное абелево расширение K / Q p {\ displaystyle K / \ mathbb {Q} _ {p}}{\ displaystyle K / \ mathbb {Q} _ {p}} индуцируется из конечного поля extension F pn / F p {\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}} / \ mathbb {F} _ {p}}{\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p ^ {n}} / \ mathbb {F} _ {p}} .

См. также

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-02 07:45:15
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте