Аксиомы вероятности

Аксиомы Колмогорова являются фундаментом теории вероятностей, введенной Андреем Колмогоровым в 1933. Эти аксиомы остаются центральными и имеют непосредственный вклад в математику, физические науки и реальные вероятностные случаи. Альтернативный подход к формализации вероятности, одобренный некоторыми байесианцами, дается теоремой Кокса.

Содержание

• 1 Аксиомы
  • 1.1 Первая аксиома
  • 1.2 Вторая аксиома
  • 1.3 Третья аксиома
• 2 Последствия
  • 2.1 Монотонность
    • 2.1.1 Доказательство монотонности
  • 2.2 Вероятность пустого множества
    • 2.2.1 Доказательство вероятности пустого множества
  • 2.3 Правило дополнения
    • 2.3.1 Доказательство правила дополнения
  • 2.4 Числовая граница
    • 2.4.1 Доказательство числовой границы
• 3 Дальнейшие следствия
• 4 Простой пример: подбрасывание монеты
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Аксиомы

Допущения относительно установки аксиом можно резюмировать следующим образом: Пусть (Ω, F, P) будет измерить пространство, где $P\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (E)\}$является вероятностью некоторого события E, и $P\; (\Omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; Omega)\}$= 1. Тогда (Ω, F, P) - это вероятностное пространство, с пространством отсчетов Ω, пространством событий F и проблема мера способности P.

Первая аксиома

Вероятность события - неотрицательное вещественное число:

$P\; (E)\; \in \; R,\; P\; (E)\; \ge \; 0\; \forall \; E\; \in \; F\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (E)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\},\; P\; (E)\; \backslash \; geq\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; E\; \backslash \; in\; F\}$

где $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$- это пространство событий. Отсюда следует, что $P\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (E)\}$всегда конечно, в отличие от более общей теории меры. Теории, которые присваивают отрицательную вероятность, ослабляют первую аксиому.

Вторая аксиома

Это допущение для единичной меры : вероятность того, что хотя бы одно из элементарных событий во всем пространстве выборки будет 1

$P\; (\Omega )\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; Omega)\; =\; 1.\}$

Третья аксиома

Это предположение σ-аддитивности :

Любая счетная последовательность непересекающихся наборов (синоним взаимоисключающих событий) $E\; 1,\; E\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{1\},\; E\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\}$удовлетворяет

$P\; (\bigcup \; i\; =\; 1\; \infty \; E\; i)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; \infty \; P\; (E\; i).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; left\; (\backslash \; bigcup\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; E\_\; \{i\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; P\; (E\_\; \{i\}).\}$

Некоторые авторы рассматривают просто конечно-аддитивные вероятностные пространства, и в этом случае нужна просто алгебра множеств, а не σ-алгебра. Распределения квазивероятностей в целом ослабляют третью аксиому.

Последствия

Из аксиом Колмогорова можно вывести другие полезные правила для изучения вероятностей. Доказательства этих правил - очень проницательная процедура, которая иллюстрирует силу третьей аксиомы и ее взаимодействие с остальными двумя аксиомами. Четыре из непосредственных следствий и их доказательства показаны ниже:

Монотонность

$если\; A\; \subseteq \; B,\; то\; P\; (A)\; \le \; P\; (B).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; \backslash \; quad\; A\; \backslash \; substeq\; B\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{then\}\}\; \backslash \; quad\; P\; (A)\; \backslash \; leq\; P\; (B).\}$

Если A является подмножеством, или равна B, то вероятность A меньше или равна вероятности B.

Доказательство монотонности

Для проверки свойства монотонности мы устанавливаем $E\; 1\; =\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{1\}\; =\; A\}$и $E\; 2\; =\; B\; \setminus \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{2\}\; =\; B\; \backslash \; setminus\; A\}$, где $A\; \subseteq \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; substeq\; B\}$и $E\; i\; =\; \varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; varnothing\}$для $я\; \ge \; 3\; \{\backslash \; Displaystyle\; я\; \backslash \; GEQ\; 3\}$. Легко видеть, что множества $E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{i\}\}$попарно не пересекаются и $E\; 1\; \cup \; E\; 2\; \cup \; \cdots \; =\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{1\}\; \backslash \; чашка\; E\_\; \{2\}\; \backslash \; cup\; \backslash \; cdots\; =\; B\}$. Следовательно, из третьей аксиомы получаем, что

$P\; (A)\; +\; P\; (B\; \setminus \; A)\; +\; \sum \; i\; =\; 3\; \infty \; P\; (E\; i)\; =\; P\; (B).\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (A)\; +\; P\; (B\; \backslash \; setminus\; A)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 3\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; P\; (E\_\; \{i\})\; =\; P\; (B).\}$

Поскольку первая аксиома, левая часть этого уравнения представляет собой серию неотрицательных чисел, и поскольку она сходится к $P\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (B)\}$, который конечен, мы получаем как $P\; (A)\; \le \; P\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A)\; \backslash \; leq\; P\; (B)\}$, так и $P\; (\varnothing )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\; \backslash \; varnothing)\; =\; 0\}$.

Вероятность пустого множества

$P\; (\varnothing )\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; varnothing)\; =\; 0.\}$

В некоторых случаях $\varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varnothing\}$- не единственное событие с вероятностью 0.

Доказательство вероятности пустого множества

Как показано в предыдущем доказательстве, $P\; (\; \varnothing )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; varnothing)\; =\; 0\}$. Однако это утверждение рассматривается как противоречие: если $P\; (\varnothing )\; =\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; varnothing)\; =\; a\}$, то левая часть $[P\; (A)\; +\; П\; (В\; \setminus \; A)\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 3\; \infty \; п\; (E\; я)]\; \{\backslash \; displaystyle\; [P\; (A)\; +\; P\; (B\; \backslash \; setminus\; A)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 3\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; P\; (\; E\_\; \{i\})]\}$не меньше бесконечности; $i\; =\; 3\; \infty \; P\; (E\; i)\; =\; \sum \; i\; =\; 3\; \infty \; P\; (\varnothing )\; =\; \sum \; i\; =\; 3\; \infty \; a\; =\; \{0,\; если\; a\; =\; 0,\; \infty ,\; если\; a>0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 3\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; P\; (E\_\; \{я\})\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 3\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; P\; (\backslash \; varnothing)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 3\; \}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 0\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; a\; =\; 0,\; \backslash \backslash \backslash \; infty\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; a>0.\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Если $a>0\; \{\backslash \; displaystyle\; a>0\}$тогда мы получаем противоречие, потому что сумма не превышает $P\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (B)\}$, что конечно. Таким образом, $a\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 0\}$. В качестве побочного продукта доказательства монотонности мы показали, что $P\; (\varnothing )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; varnothing)\; =\; 0\}$.

Правило дополнения

$P\; (A\; c)\; =\; P\; (\Omega \; \setminus \; A)\; =\; 1\; -\; P\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{c\}\; \backslash \; right)\; =\; P\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; setminus\; A)\; =\; 1-P\; (A)\}$

Доказательство правила дополнения

Учитывая $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $A\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{c\}\}$, являются взаимоисключающими, и что $A\; \cup \; A\; c\; =\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; cup\; A\; ^\; \{c\}\; =\; \backslash \; Omega\}$:

$P\; (A\; \cup \; A\; c)\; =\; P\; (A)\; +\; P\; (A\; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; чашка\; A\; ^\; \{c\})\; =\; P\; (A)\; +\; P\; (A\; ^\; \{c\})\}$... (по аксиоме 3)

и, $P\; (A\; \cup \; A\; c)\; знак\; равно\; P\; (\Omega )\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; cup\; A\; ^\; \{c\})\; =\; P\; (\backslash \; Omega)\; =\; 1\}$... (по аксиоме 2)

$\Rightarrow \; P\; (A)\; +\; P\; (A\; c)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\; P\; (A)\; +\; P\; (A\; ^\; \{c\})\; =\; 1\}$

$\therefore \; P\; (A\; c)\; =\; 1\; -\; P\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; следовательно,\; P\; (A\; ^\; \{c\})\; =\; 1-P\; (A)\}$

Числовая граница

Из свойства монотонности сразу следует, что

$0\; \le \; P\; (E)\; \le \; 1\; \forall \; E\; \in \; F.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; P\; (E)\; \backslash \; leq\; 1\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; E\; \backslash \; in\; F.\}$

Доказательство числовой границы

Учитывая правило дополнения $P\; (E\; c)\; =\; 1\; -\; P\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (E\; ^\; \{c\})\; =\; 1-P\; (E)\}$и аксиома 1 $P\; (E\; c)\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (E\; ^\; \{c\})\; \backslash \; geq\; 0\}$:

$1\; -\; P\; (E)\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-P\; (E)\; \backslash \; geq\; 0\}$

$\Rightarrow \; 1\; \ge \; P\; (E)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Rightarrow\; 1\; \backslash \; geq\; P\; (E)\}$

$\therefore \; 0\; \le \; P\; (E)\; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; следовательно,\; 0\; \backslash \; leq\; P\; (E)\; \backslash \; leq\; 1\}$

Дальнейшие последствия

Еще одно важное свойство:

$P\; (A\; \cup \; B)\; =\; P\; (A)\; +\; P\; (B)\; -\; P\; (A\; \cap \; B).\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; cup\; B)\; =\; P\; (A)\; +\; P\; (B)\; -P\; (A\; \backslash \; cap\; B).\}$

Это называется законом сложения вероятностей или правилом сумм. То есть вероятность того, что произойдет A или B, - это сумма вероятностей того, что произойдет A и произойдет B, за вычетом вероятности того, что произойдет и A, и B. Доказательство этого заключается в следующем:

Во-первых,

$P\; (A\; \cup \; B)\; =\; P\; (A)\; +\; P\; (B\; \setminus \; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; cup\; B)\; =\; P\; (\; A)\; +\; P\; (B\; \backslash \; setminus\; A)\}$... (по аксиоме 3)

Итак,

$P\; (A\; \cup \; B)\; =\; P\; (A)\; +\; P\; (B\; \setminus \; (\; A\; \cap \; B))\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (A\; \backslash \; чашка\; B)\; =\; P\; (A)\; +\; P\; (B\; \backslash \; setminus\; (A\; \backslash \; cap\; B))\}$(по $B\; \setminus \; A\; =\; B\; \setminus \; (A\; \cap \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; setminus\; A\; =\; B\; \backslash \; setminus\; (A\; \backslash \; cap\; B)\}$).

Кроме того,

$P\; (B)\; =\; P\; (B\; \setminus \; (A\; \cap \; B))\; +\; P\; (\; A\; \cap \; B)\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\; (B)\; =\; P\; (B\; \backslash \; setminus\; (A\; \backslash \; cap\; B))\; +\; P\; (A\; \backslash \; cap\; B)\}$

и исключив $P\; (B\; \setminus \; (A\; \cap \; B))\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (B\; \backslash \; setminus\; (A\; \backslash \; cap\; B))\}$из обоих уравнений дает нам желаемый результат.

Распространение закона сложения на любое количество наборов принцип включения-исключения.

Установка B в дополнение A к A в законе сложения дает

$P\; (A\; c)\; =\; P\; (\Omega \; \setminus \; A)\; =\; 1\; -\; P\; (A)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; left\; (A\; ^\; \{c\}\; \backslash \; right)\; =\; P\; (\backslash \; Omega\; \backslash \; setminus\; A)\; =\; 1-P\; (A)\}$

То есть вероятность того, что какое-либо событие не произойдет (или дополнительные элементы события t ) равно 1 минус вероятность того, что это произойдет.

Простой пример: подбрасывание монеты

Рассмотрим одно подбрасывание монеты и предположим, что монета выпадет орлом (H) или решкой (T) (но не обоими сразу). Не делается никаких предположений относительно того, честная ли монета.

Мы можем определить:

$\Omega \; =\; \{H,\; T\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; \backslash \; \{H,\; T\; \backslash \}\}$

$F\; =\; \{\varnothing ,\; \{H\},\; \{T\},\; \{H,\; T\}\}\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \backslash \; \{\backslash \; varnothing,\; \backslash \; \{H\; \backslash \},\; \backslash \; \{T\; \backslash \},\; \backslash \; \{H,\; T\; \backslash \}\; \backslash \}\}$

аксиомы Колмогорова подразумевают, что:

$P\; (\varnothing )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; varnothing)\; =\; 0\}$

Вероятность того, что ни орла, ни решки не выпадет, равна 0.

$P\; (\{H,\; T\}\; c)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; \{H,\; T\; \backslash \}\; ^\; \{c\})\; =\; 0\}$

Вероятность выпадения орла или решки равна 1.

$P\; (\{H\})\; +\; P\; (\{T\})\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (\backslash \; \{H\; \backslash \})\; +\; P\; (\backslash \; \{T\; \backslash \})\; =\; 1\}$

Сумма вероятности выпадения решки и вероятности решки равна 1.

См. Также

• Борель алгебра
• σ-алгебра
• теория множеств
• Условная вероятность
• Квазивероятность
• Полностью вероятностный план

Ссылки

Дополнительная литература

• ДеГрут, Моррис Х. (1975). Вероятность и статистика. Читает: Эддисон-Уэсли. Стр. 12–16. ISBN 0-201-01503-X.
• McCord, James R.; Морони, Ричард М. (1964). «Аксиоматическая вероятность». Введение в теорию вероятностей. Нью-Йорк: Макмиллан. Стр. 13–28.
• Формальное определение вероятности в системе Мицара и список теорем, формально доказанных по этому поводу.