Определенная квадратичная форма

редактировать

В математике, определенная квадратичная форма - это квадратичная форма в некотором вещественном векторном пространстве V, имеющем тот же знак (всегда положительный или всегда отрицательный) для любого ненулевого вектора V. В соответствии с этим знаком квадратичная форма называется положительно-определенным или отрицательно-определенным .

A полуопределенным (или полуопределенным -определенная) квадратичная форма определяется примерно так же, за исключением того, что «всегда положительный» и «всегда отрицательный» заменяются на «всегда неотрицательный» и «всегда неположительный» соответственно. Другими словами, он может принимать нулевые значения.

неопределенная квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения и называется изотропной квадратичной формой.

В более общем смысле эти определения применяются к любому векторному пространству над упорядоченное поле.

Содержание

  • 1 Связанная симметричная билинейная форма
  • 2 Примеры
  • 3 Матричная форма
  • 4 Оптимизация
  • 5 См. также
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки

Связанная симметричная билинейная форма

Квадратичные формы взаимно однозначно соответствуют симметричным билинейным формам в одном и том же пространстве. Симметричная билинейная форма также описывается как определенная, полуопределенная и т. Д. Согласно связанной с ней квадратичной форме. Квадратичная форма Q и связанная с ней симметричная билинейная форма B связаны следующими уравнениями:

Q (x) = B (x, x) B (x, y) = B (y, x) = 1 2 (Q (Икс + Y) - Q (Икс) - Q (Y)) {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} Q (х) = В (х, х) \\ В (х, у) = В (у, x) = {\ frac {1} {2}} (Q (x + y) -Q (x) -Q (y)) \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} Q (x) = B (x, x) \\ B (x, y) = B (y, x) = {\ frac {1} {2}} (Q (x + y) -Q (x) -Q (y)) \ end {align}}}

Последняя формула возникает в результате раскрытия Q (x + y) = B (x + y, x + y) {\ displaystyle Q (x + y) = B (x + y, x + y)}{\ displaystyle Q (x + y) = B (x + y, x + y)} .

Примеры

Как Например, пусть V = R 2 {\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {2}}V = {\ mathbb {R}} ^ {2 } , и рассмотрим квадратичную форму

Q (x) = c 1 x 1 2 + c 2 x 2 2 {\ displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2}}{\ displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2} } ^ {2}}

где x = (x 1, x 2) ∈ V {\ displaystyle \ in V}{\ displaystyle \ in V} и c 1 и c 2 являются константами.Если c 1>0 и c 2>0, квадратичная форма Q положительно определена, поэтому Q принимает положительное число всякий раз, когда (x 1, x 2) ≠ (0, 0). {\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0).}{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0).} Если одна из констант - po sitive, а другой - 0, то Q положительно полуопределено и всегда принимает значение либо 0, либо положительное число. Если c 1>0 и c 2< 0, or vice versa, then Q is indefinite and sometimes evaluates to a positive number and sometimes to a negative number. If c1< 0 and c2< 0, the quadratic form is negative-definite and always evaluates to a negative number whenever (x 1, x 2) ≠ (0, 0). {\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0).}{\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0).} И если одна из констант отрицательна, а другая равна 0, то Q является отрицательным полуопределенным и всегда принимает значение 0 или отрицательное число.

Как правило, квадратичная форма с двумя переменными также включает член перекрестного произведения в x 1x2:

Q (x) = c 1 x 1 2 + c 2 x 2 2 + 2 c 3 x 1 x 2. {\ displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2} + 2c_ {3} x_ {1} x_ {2}.}{\ displaystyle Q (x) = c_ {1} {x_ {1}} ^ {2} + c_ {2} {x_ {2}} ^ {2} + 2c_ {3} x_ {1} x_ {2}.}

Эта квадратичная форма положительно определена, если c 1>0 {\ displaystyle c_ {1}>0}{\displaystyle c_{1}>0} и c 1 c 2 - c 3 2>0, {\ displaystyle c } c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}>0,}{\displaystyle c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0,} negative-definite if c 1 < 0 {\displaystyle c_{1}<0}{\ displaystyle c_ {1} <0} и c 1 c 2 - c 3 2>0, {\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2}>0,}{\displaystyle c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}>0,} и неопределенный, если c 1 c 2 - c 3 2 < 0. {\displaystyle c_{1}c_{2}-{c_{3}}^{2}<0.}{\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} <0.} Положительный или отрицательный полуопределенный, если c 1 c 2 - c 3 2 = 0, {\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0,}{\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0,} с знак s Эмидеконечность, совпадающая со знаком c 1. {\ displaystyle c_ {1}.}{\ displaystyle c_ {1}.}

Эта двумерная квадратичная форма появляется в контексте конических сечений с центром в начале координат. Если приведенная выше общая квадратичная форма приравнивается к 0, результирующее уравнение будет уравнением эллипса, если квадратичная форма положительно или отрицательно определена, гиперболы, если она неопределенная, и a парабола, если c 1 c 2 - c 3 2 = 0. {\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0.}{\ displaystyle c_ {1} c_ {2} - {c_ {3}} ^ {2} = 0.}

Квадрат евклидовой нормы в n-мерном пространстве, наиболее часто используемая мера расстояния, равен

x 1 2 + ⋯ + xn 2. {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}.}{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}.}

В двух измерениях это означает, что расстояние между двумя точками является квадратным корнем из суммы квадратов расстояний вдоль оси x 1 {\ displaystyle x_ {1}}x_ {1} и оси x 2 {\ displaystyle x_ {2}}x_ {2} .

Матричная форма

Квадратичная форма может быть записана в терминах матриц как

x TA x {\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Ax }{\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Ax}

где x - любой n × 1 декартов вектор (x 1, ⋯, xn) T {\ displaystyle (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) ^ { \ text {T}}}{\ displaystyle (x_ {1}, \ cdots, x_ {n}) ^ {\ text {T}}} , в котором не все элементы равны 0, верхний индекс обозначает транспонирование, а A является симметричной матрицей размером n × n . Если A диагональ, это эквивалентно нематричной форме, содержащей только термины, включающие квадрат переменных; но если A имеет какие-либо ненулевые недиагональные элементы, нематричная форма также будет содержать некоторые термины, включающие произведения двух разных переменных.

Положительная или отрицательная определенность, полуопределенность или неопределенность этой квадратичной формы эквивалентна тому же самому свойству A, которое можно проверить, рассматривая все собственные значения A или путем проверки знаков всех его основных миноров.

Оптимизация

Определенные квадратичные формы легко поддаются решению задач оптимизации. Предположим, что матричная квадратичная форма дополнена линейными членами, как

x TA x + 2 b T x, {\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Ax + 2b ^ {\ text {T}} x,}{\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Ax + 2b ^ {\ text {T}} x,}

где b - вектор констант размером n × 1. условия первого порядка для максимума или минимума находятся путем установки производной матрицы на нулевой вектор:

2 A x + 2 b = 0, {\ displaystyle 2Ax + 2b = 0,}{\ displaystyle 2Ax + 2b = 0,}

, что дает

x = - A - 1 b {\ displaystyle x = -A ^ {- 1} b}{\ displaystyle x = -A ^ {- 1} b}

при условии, что A неособое число. Если квадратичная форма и, следовательно, A положительно определена, в этой точке выполняются условия второго порядка для минимума. Если квадратичная форма отрицательно определена, условия максимума второго порядка выполняются.

Важный пример такой оптимизации возникает в множественной регрессии, в которой ищется вектор оцененных параметров, который минимизирует сумму квадратов отклонений от точного соответствия в наборе данных.

См. Также

Примечания

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-17 11:27:57
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте