Карта Пуанкаре

редактировать

Двумерный раздел Пуанкаре принудительного уравнения Дуффинга

В математике, в частности в динамических системах, первое рекуррентное отображение или отображение Пуанкаре, названное в честь Анри Пуанкаре, является пересечением периодического орбита в пространстве состояний непрерывной динамической системы с некоторым подпространством более низкой размерности, называемым сечением Пуанкаре, трансверсалью в поток системы. Точнее, рассматривается периодическая орбита с начальными условиями в пределах секции пространства, которая затем покидает эту секцию, и наблюдает за точкой, в которой эта орбита сначала возвращается в секцию. Затем создается карта map, чтобы отправить первую точку второй, отсюда и название карты повторения first. Трансверсальность сечения Пуанкаре означает, что периодические орбиты, начинающиеся на подпространстве, проходят через него, а не параллельно ему.

Отображение Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему с пространством состояний это на одно измерение меньше исходной непрерывной динамической системы. Поскольку он сохраняет многие свойства периодических и квазипериодических орбит исходной системы и имеет пространство состояний меньшей размерности, он часто используется для анализа исходной системы более простым способом. На практике это не всегда возможно, поскольку не существует общего метода построения отображения Пуанкаре.

Карта Пуанкаре отличается от графика повторения тем, что пространство, а не время, определяет, когда наносить точку. Например, местоположение Луны, когда Земля находится в перигелии, представляет собой график повторения; геометрическое место Луны, когда она проходит через плоскость, перпендикулярную орбите Земли, и проходит через Солнце и Землю в перигелии, является картой Пуанкаре. Его использовал Мишель Энон для изучения движения звезд в галактике, потому что путь звезды, проецируемой на плоскость, выглядит как запутанный беспорядок, а карта Пуанкаре показывает структура более четкая.

Содержание

1 Определение
2 Отображение Пуанкаре и анализ устойчивости
3 См. Также
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Определение

В разделе S Пуанкаре показано отображение Пуанкаре P проецирует точку x на точку P (x).

Пусть (R, M, φ) будет глобальной динамической системой, с R действительные числа, M фазовое пространство и φ эволюционная функция. Пусть γ - периодическая орбита, проходящая через точку p, а S - локальное дифференцируемое и трансверсальное сечение φ через точку p, называемое сечением Пуанкаре через точку p.

Учитывая открытое и связанное соседство $U ⊂ S {\ displaystyle U \ subset S}$ $U \ subset S$ из p, функция

P : U → S {\ displaystyle P: U \ to S}

P: U \ to S

называется отображением Пуанкаре для орбиты γ на сечении Пуанкаре S через точку p, если

P (p) = p
P (U) является окрестностью p и P: U → P (U) является диффеоморфизмом
для каждой точки x в U, положительная полуорбита точки x впервые пересекает S в точке P (x)

Отображения Пуанкаре и анализ устойчивости

Отображения Пуанкаре можно интерпретировать как дискретную динамическую систему. Устойчивость периодической орбиты исходной системы тесно связана с устойчивостью неподвижной точки соответствующего отображения Пуанкаре.

Пусть (R, M, φ) - дифференцируемая динамическая система с периодической орбитой γ через p. Пусть

P: U → S {\ displaystyle P: U \ to S}

P: U \ to S

- соответствующее отображение Пуанкаре через p. Мы определяем

P 0: = id U {\ displaystyle P ^ {0}: = \ operatorname {id} _ {U}}

{\ displaystyle P ^ {0}: = \ operatorname {id} _ {U}}

P n + 1: = P ∘ P n {\ displaystyle P ^ { n + 1}: = P \ circ P ^ {n}}

P ^ {n + 1}: = P \ circ P ^ {n}

P - n - 1: = P - 1 ∘ P - n {\ displaystyle P ^ {- n-1}: = P ^ {- 1 } \ circ P ^ {- n}}

P ^ {- n-1}: = P ^ {- 1} \ circ P ^ {- n}

P (n, x): = P n (x) {\ displaystyle P (n, x): = P ^ {n} (x)}

{\ displaystyle P (n, x): = P ^ {n} (x)}

, то (Z, U, P) - это дискретная динамическая система с пространством состояний U и функцией эволюции

P: Z × U → U. {\ displaystyle P: \ mathbb {Z} \ times U \ to U.}

P: \ mathbb {Z} \ times U \ to U.

По определению эта система имеет фиксированную точку в p.

Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы устойчива тогда и только тогда, когда неподвижная точка p дискретной динамической системы устойчива.

Периодическая орбита γ непрерывной динамической системы асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда неподвижная точка p дискретной динамической системы асимптотически устойчива.

См. Также

Литература

Тешль, Джеральд. Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество.

Внешние ссылки

Шивакумар Джолад, Карта Пуанкаре и ее применение к задаче «Вращающийся магнит», (2005)