Теорема Пуанкаре – Хопфа

редактировать

Подсчитывает нули векторного поля на дифференцируемом многообразии, используя его эйлерову характеристику

В математике, Пуанкаре – Хопфа теорема (также известная как формула индекса Пуанкаре – Хопфа, теорема Пуанкаре – Хопфа или теорема об индексе Хопфа ) является важной теоремой, которая является используется в дифференциальной топологии. Он назван в честь Анри Пуанкаре и Хайнца Хопфа.

Теорема Пуанкаре – Хопфа часто иллюстрируется частным случаем теоремы о волосатом шарике, который просто заявляет, что нет гладкого векторного поля на четномерной n-сфере, не имеющей источников или стоков.

Согласно теореме Пуанкаре-Хопфа, замкнутые траектории могут окружать два центра и одно седло или один центр, но не только седло. (Здесь для случая гамильтоновой системы )

Содержание

1 Формальное утверждение
2 Значение
3 Набросок доказательства
4 Обобщение
5 См. Также
6 Ссылки

Формальный оператор

Пусть $M {\ displaystyle M}$ $M$ будет дифференцируемым многообразием размерности $n {\ displaystyle n}$ $n$ , и $v {\ displaystyle v}$ $v$ векторное поле на $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Предположим, что $x {\ displaystyle x}$ $x$ является изолированным нулем $v {\ displaystyle v}$ $v$ и фиксирует некоторые локальные координаты рядом с $x {\ displaystyle x}$ $x$ . Выберите замкнутый шар $D {\ displaystyle D}$ $D$ с центром в точке $x {\ displaystyle x}$ $x$ так, чтобы $x {\ displaystyle x}$ $x$ - единственный ноль в $v {\ displaystyle v}$ $v$ в $D {\ displaystyle D}$ $D$ . Тогда index из $v {\ displaystyle v}$ $v$ в $x {\ displaystyle x}$ $x$ , $index x ⁡ (v) {\ displaystyle \ operatorname {index} _ {x} ( v)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {index} _ {x} (v)}$ , может быть определено обозначен как градус карты $u: ∂ D → S n - 1 {\ displaystyle u: \ partial D \ to \ mathbb {S} ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle u: \ partial D \ to \ mathbb {S} ^ {n-1}}$ от границы из $D {\ displaystyle D}$ $D$ до $(n - 1) {\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ -сфера, заданная как $u (z) = v (z) / ‖ v (z) ‖ {\ displaystyle u (z) = v (z) / \ | v (z) \ |}$ ${\ displaystyle u (z) = v (z) / \ | v (z) \ |}$ .

Теорема. Пусть $M {\ displaystyle M}$ $M$ будет компактным дифференцируемым многообразием. Пусть $v {\ displaystyle v}$ $v$ будет векторным полем на $M {\ displaystyle M}$ $M$ с изолированными нулями. Если $M {\ displaystyle M}$ $M$ имеет границу, то мы настаиваем на том, чтобы $v {\ displaystyle v}$ $v$ указывал во внешней нормали. направление по границе. Тогда у нас есть формула

∑ i index xi ⁡ (v) = χ (M) {\ displaystyle \ sum _ {i} \ operatorname {index} _ {x_ {i}} (v) = \ chi (M) \,}

\ sum _ {i} \ operatorname {index} _ {x_ {i}} (v) = \ chi (M) \,

, где сумма индексов берется по всем изолированным нулям $v {\ displaystyle v}$ $v$ и $χ (M) {\ displaystyle \ chi (M)}$ $\ chi (M)$ - характеристика Эйлера для $M {\ displaystyle M}$ $M$ . Особенно полезное следствие - это когда имеется ненулевое векторное поле, подразумевающее эйлерову характеристику 0.

Теорема была доказана для двух измерений Анри Пуанкаре, а затем обобщена на более высокие измерения Хайнц Хопф.

Значимость

Эйлерова характеристика замкнутой поверхности является чисто топологической концепцией, тогда как индекс векторного поля является чисто аналитическим. Таким образом, эта теорема устанавливает глубокую связь между двумя, казалось бы, не связанными областями математики. Возможно не менее интересно, что доказательство этой теоремы в значительной степени опирается на интегрирование и, в частности, на теорему Стокса, которая утверждает, что интеграл от внешней производной дифференциальной формы равно интегралу этой формы по границе. В частном случае многообразия без границы это означает, что интеграл равен 0. Но, исследуя векторные поля в достаточно малой окрестности источника или стока, мы видим, что вклад источников и стоков составляет целое число составляет (известное как индекс) к общей сумме, и все они должны в сумме равняться 0. Этот результат можно считать одним из самых ранних из целого ряда теорем, устанавливающих глубокую взаимосвязь между геометрическим и аналитические или физические концепции. Они играют важную роль в современных исследованиях обеих областей.

Эскиз доказательства

1. Вложить M в какое-нибудь евклидово пространство большой размерности. (Используйте теорему вложения Уитни.)

2. Возьмем небольшую окрестность M в этом евклидовом пространстве, N ε. Расширьте векторное поле до этой окрестности, чтобы в нем остались те же нули, а нули имели те же индексы. Кроме того, убедитесь, что расширенное векторное поле на границе N ε направлено наружу.

3. Сумма индексов нулей старого (и нового) векторного поля равна степени отображения Гаусса от границы N ε до (n – 1) -мерная сфера. Таким образом, сумма индексов не зависит от реального векторного поля и зависит только от многообразия M. Методика: вырезать все нули векторного поля с небольшими окрестностями. Затем воспользуйтесь тем фактом, что степень отображения границы n-мерного многообразия на (n – 1) -мерную сферу, которая может быть продолжена на все n-мерное многообразие, равна нулю.

4. Наконец, идентифицируйте эту сумму индексов как эйлерову характеристику M. Для этого постройте очень конкретное векторное поле на M, используя триангуляцию M, для которой ясно, что сумма индексов равна эйлерова характеристика.

Обобщение

Еще можно определить индекс для векторного поля с неизолированными нулями. Построение этого индекса и расширение теоремы Пуанкаре – Хопфа для векторных полей с неизолированными нулями описано в разделе 1.1.2 документа (Brasselet, Seade Suwa 2009) harv error: no target: CITEREFBrasseletSeadeSuwa2009 (справка ).

См. Также

Литература

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Брасселе, Жан-Поль; Сид, Хосе; Сува, Тацуо (2009). Векторные поля на особых многообразиях. Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-642-05205-7.