Сантехника (математика)

редактировать

В математической области геометрической топологии, среди техник, известных как теория хирургии, процесс водопровода - это способ создания новых коллекторов из. Впервые он был описан Джоном Милнором и впоследствии широко использовался в теории хирургии для создания многообразий и карт нормалей с заданными хирургическими препятствиями.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Водопровод по дереву
2 Многообразие Милнора
3 Теорема водопровода
4 Ссылки

Определение

Пусть $ξ i = (E i, M i, pi) {\ displaystyle \ xi _ {i} = (E_ {i}, M_ {i}, p_ {i})}$ ${\ displaystyle \ xi _ {i} = (E_ {i}, M_ {i}, p_ {i})}$ быть рангом n векторное расслоение над n-мерным гладким многообразием $M i {\ displaystyle M_ {i}}$ $M_ {i}$ для i = 1,2. Обозначим через $D (E i) {\ displaystyle D (E_ {i})}$ ${\ displaystyle D (E_ {i})}$ общее пространство связанного (закрытого) дискового пакета $D (ξ i) {\ displaystyle D (\ xi _ {i})}$ ${\ displaystyle D ( \ xi _ {i})}$ и предположим, что $ξ i, M i {\ displaystyle \ xi _ {i}, M_ {i}}$ ${\ displaystyle \ xi _ {i}, M_ {i}}$ и $D (E i) {\ displaystyle D (E_ {i})}$ ${\ displaystyle D (E_ {i})}$ ориентированы совместимым образом. Если мы выберем две точки $xi ∈ M i {\ displaystyle x_ {i} \ in M_ {i}}$ ${\ displaystyle x_ { i} \ in M_ {i}}$ , i = 1,2, и рассмотрим окрестность шара $xi { \ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ in $M i {\ displaystyle M_ {i}}$ $M_ {i}$ , тогда мы получаем окрестности $D in × D in {\ displaystyle D_ {i} ^ {n} \ times D_ {i} ^ {n}}$ ${\ displaystyle D_ {i} ^ {n} \ times D_ {i} ^ {n}}$ волокна по $xi {\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ в $D (Е я) {\ Displaystyle D (E_ {i})}$ ${\ displaystyle D (E_ {i})}$ . Пусть $h: D 1 n → D 2 n {\ displaystyle h: D_ {1} ^ {n} \ rightarrow D_ {2} ^ {n}}$ ${\ displaystyle h: D_ {1} ^ {n} \ rightarrow D_ {2} ^ {n}}$ и $k: D 2 n → D 1 n {\ displaystyle k: D_ {2} ^ {n} \ rightarrow D_ {1} ^ {n}}$ ${\ displaystyle k: D_ {2} ^ {n} \ rightarrow D_ {1} ^ {n}}$ - два диффеоморфизма (либо сохраняющие ориентацию, либо меняющие ориентацию). сантехника из $D (E 1) {\ displaystyle D (E_ {1})}$ ${\ displaystyle D (E_ { 1})}$ и $D (E 2) {\ displaystyle D (E_ { 2})}$ ${\ displaystyle D (E_ {2})}$ в $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ и $x 2 {\ displaystyle x_ {2}}$ $x_ {2}$ определяется как частное пространство $P = D (E 1) ∪ f D (E 2) {\ displaystyle P = D (E_ {1}) \ cup _ {f} D ( E_ {2})}$ ${\ displaystyle P = D (E_ {1}) \ cup _ {f} D (E_ {2})}$ где $f: D 1 n × D 1 n → D 2 n × D 2 n {\ displaystyle f: D_ {1} ^ {n} \ times D_ { 1} ^ {n} \ rightarrow D_ {2} ^ {n} \ times D_ {2} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f: D_ {1} ^ {n} \ times D_ {1} ^ {n} \ rightarrow D_ {2} ^ {n} \ times D_ {2} ^ {n}}$ определяется как $f (x, y) = (k (y), h (x)) {\ displaystyle f (x, y) = (k (y), h (x))}$ ${\ displaystyle f (x, y) = (k (y), h (x))}$ .

Сантехника по дереву

Если базовое многообразие является n -sphere $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$ , затем повторяя эту процедуру для нескольких векторных пучков на $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$ их можно соединить по дереву . Если $T {\ displaystyle T}$ $T$ - дерево, мы назначаем каждой вершине векторный пучок $ξ {\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ поверх $S n {\ displaystyle S ^ {n}}$ $S ^ {n}$ , и мы соединяем соответствующие связки дисков вместе, если две вершины соединены ребром. Необходимо следить за тем, чтобы окрестности в полных пространствах не перекрывались.

Многообразия Милнора

Пусть $D (τ S 2 k) {\ displaystyle D (\ tau _ {S ^ {2k}})}$ ${\ displaystyle D (\ тау _ {S ^ {2k}})}$ обозначает связка дисков, связанная с касательной связкой 2k-сферы. Если мы перенесем восемь копий $D (τ S 2 k) {\ displaystyle D (\ tau _ {S ^ {2k}})}$ ${\ displaystyle D (\ тау _ {S ^ {2k}})}$ в соответствии с диаграммой $E 8 {\ displaystyle E_ {8}}$ $E_ {8}$ , мы получаем 4k-мерное многообразие, которое некоторые авторы называют многообразием Милнора $MB 4 k {\ displaystyle M_ {B} ^ {4k} }$ ${\ displaystyle M_ {B} ^ {4k}}$ (см. Также E8коллектор ).

Для $k>1 {\ displaystyle k>1}$ $k>1$ , граница $Σ 4 k - 1 = ∂ MB 4 k {\ displaystyle \ Sigma ^ {4k_ {1} = \ partial M B} ^ {4k}}$ ${\ displaystyle \ Sigm a ^ {4k-1} = \ partial M_ {B} ^ {4k}}$ - это гомотопическая сфера, которая порождает $θ 4 k - 1 (∂ π) {\ displaystyle \ theta ^ {4k-1} (\ partial \ pi)}$ ${\ displaystyle \ theta ^ {4k-1} (\ partial \ pi)}$ , группа h-кобордизмов классов гомотопических сфер, которые ограничивают π-многообразия (см. также экзотические сферы для получения дополнительных сведений). Его подпись: $sgn (MB 4 k) = 8 {\ displaystyle sgn (M_ {B} ^ {4k}) = 8}$ ${\ displaystyle sgn ( M_ {B} ^ {4k}) = 8}$ и существует нормальный map $(f, b) {\ displaystyle (f, b)}$ $(f, b)$ такая, что препятствие для операции равно $σ (f, b) = 1 {\ displaystyle \ sigma (f, b) = 1}$ ${\ displaystyle \ sigma (f, b) = 1}$ , где $g: (MB 4 k, ∂ MB 4 k) → (D 4 k, S 4 k - 1) {\ displaystyle g: (M_ {B} ^ {4k}, \ partial M_ {B} ^ {4k}) \ rightarrow (D ^ {4k}, S ^ {4k-1})}$ ${\ displaystyle g: (M_ {B} ^ {4k}, \ partial M_ {B} ^ {4k}) \ rightarrow (D ^ {4k}, S ^ {4k- 1})}$ - этокарта степени 1 и $b: ν MB 4 k → ξ {\ displaystyle b: \ nu _ {M_ {B} ^ {4k}} \ rightarrow \ xi}$ ${\ displaystyle b: \ nu _ {M_ {B} ^ {4k}} \ rightarrow \ xi}$ - это связка из стабильное нормальное расслоение многообразия Милнора на некоторое стабильное векторное расслоение.

Теорема о водопроводе

Ключевой теоремой для развития теории хирургии является так называемая Теорема (представлена здесь в односвязном случае):

Для всех $k>1, l ∈ Z {\ displaystyle k>1, l \ in \ mathbb {Z} }$ $k>1, l \ in \ mathbb {Z}$ существует 2k-мерное многообразие $M {\ displaystyle M}$ $M$ с границей $∂ M {\ displaystyle \ partial M}$ $\ partial M$ и карту нормалей $(g, c) {\ displaystyle (g, c)}$ ${\ displaystyle (g, c)}$ где $g: (M, ∂ M) → (D 2 k, S 2 k - 1) {\ displaystyle g: (M, \ partial M) \ rightarrow (D ^ {2k}, S ^ {2k-1})}$ ${\ displaystyle g: (M, \ частичное M) \ rightarrow (D ^ {2k}, S ^ {2k-1})}$ такое, что $g | ∂ M {\ displaystyle g | _ {\ partial M}}$ ${\ displaystyle g | _ {\ partial M}}$ - гомотопическая эквивалентность, $c {\ displaystyle c}$ $c$ - отображение связки в тривиальный пучок и препятствие операции - $σ (g, c) = l {\ displaystyle \ sigma (g, c) = l}$ ${\ displaystyle \ sigma (g, c) = l}$ .

Доказательство этой теоремы использует многообразие Милнора, определенное выше.

Ссылки

Браудер, Уильям (1972), Хирургия односвязных коллекторов, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-50022-0
Милнор, Джон (1956), Об односвязных 4-многообразиях, Symposium Internal de Topología Algebráica, Мексика
Хирцебрух, Фридрих ; Бергер, Томс; Юнг, Райнер (1994), Многообразия и модульные формы, Springer-Verlag, ISBN 978-3-528-16414-0
Madsen, Ib ; Милграм, Р. Джеймс (1979), Классифицирующие пространства для хирургии и кобордизма многообразий, Princeton University Press, ISBN 978-1-4008-8147-5 Cite имеет пустой неизвестный параметр: | 1 =()
López de Medrano, Santiago (1971), Involutions on Manifolds, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-65014-7