Теория представлений симметрической группы

В математике, то теория представлений симметрической группы является частным случаем теории представлений конечных групп, для которых могут быть получены конкретные и подробно теория. У этого есть большая область потенциальных приложений, от теории симметричных функций до задач квантовой механики для ряда идентичных частиц.

Симметричная группа S п имеет порядок п !. Его классы сопряженности помечены перегородками из п. Следовательно, согласно теории представлений конечной группы, количество неэквивалентных неприводимых представлений над комплексными числами равно количеству разбиений n. В отличие от общей ситуации для конечных групп, на самом деле существует естественный способ параметризации неприводимых представлений тем же множеством, которое параметризует классы сопряженности, а именно разбиением n или, что эквивалентно, диаграмм Юнга размера n.

Каждое такое неприводимое представление фактически может быть реализовано над целыми числами (каждая перестановка действует матрицей с целыми коэффициентами); его можно явно построить, вычислив симметризаторы Юнга, действующие в пространстве, порожденном таблицами Юнга формы, заданной диаграммой Юнга. Размер изображения, соответствующего диаграмме Юнга, определяется формулой длины крюка. ${\ displaystyle d _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$

Каждому неприводимому представлению р можно сопоставить неприводимый характер ^хр. Чтобы вычислить χ ^ρ (π), где π - перестановка, можно использовать комбинаторное правило Мурнагана – Накаямы. Заметим, что χ ^ρ постоянно на классах сопряженности, то есть χ ^ρ (π) = χ ^ρ (σ ⁻¹ πσ) для всех перестановок σ.

По другим месторождениям ситуация может значительно усложниться. Если поле К имеет характерное равен нулю или больше, чем п то по Машке теореме групповая алгебра K S п полупрост. В этих случаях неприводимые представления, определенные над целыми числами, дают полный набор неприводимых представлений (после редукции по модулю характеристики, если это необходимо).

Однако неприводимые представления симметрической группы в произвольной характеристике неизвестны. В этом контексте чаще используется язык модулей, а не представлений. Представление, полученное из неприводимого представления, определенного над целыми числами путем сведения по модулю характеристики, в общем случае не будет неприводимым. Построенные таким образом модули называются модулями Шпехта, и всякое неприводимое действительно возникает внутри некоторого такого модуля. Сейчас меньше неприводимых, и, хотя их можно классифицировать, они очень плохо изучены. Например, вообще не известны даже их размеры.

Определение неприводимых модулей для симметрической группы над произвольным полем считается одной из важнейших открытых проблем теории представлений.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Низкоразмерные представления
  • 1.1 Симметричные группы
  • 1.2 Чередующиеся группы
• 2 Тензорные произведения представлений
  • 2.1 Коэффициенты Кронекера
  • 2.2 Приведенные коэффициенты Кронекера
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 ссылки

Низкоразмерные представления

Симметричные группы

Представления симметрических групп наинизшей размерности можно описать явно, как это сделано в ( Burnside 1955, p. 468). Эта работа была распространена на наименьшие k степеней (явно для k = 4 и k = 7) в ( Rasala 1977) и на произвольные поля в ( James 1983). Здесь описаны две наименьшие степени нулевой характеристики:

Каждая симметрическая группа имеет одномерное представление, называемое тривиальным представлением, где каждый элемент действует как одна за другой единичной матрицей. Для n ≥ 2 существует другое неприводимое представление степени 1, называемое знаковым представлением или знакопеременным символом, которое переводит перестановку в матрицу поочередно с элементом ± 1 на основе знака перестановки. Это единственные одномерные представления симметрических групп, поскольку одномерные представления абелевы, а абелианизация симметрической группы - это C 2, циклическая группа порядка 2.

Для всех n существует n -мерное представление симметрической группы порядка n!, называется представление естественной перестановки, состоящее из перестановокnкоординат. Это тривиальное подпредставление, состоящее из векторов, все координаты которых равны. Ортогональное дополнение состоит из тех векторов, сумма координат которых равна нулю, и когда n ≥ 2, представление на этом подпространстве является( n - 1)-мерным неприводимым представлением, называемымстандартным представлением. Другое( n - 1)-мерное неприводимое представление находится тензорным методом со знаковым представлением. Приусловии, что внешняя сила стандартного представлениянесводима(Fulton amp; Harris 2004). ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} V}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle 0 \ Leq К \ Leq N-1}$

При n ≥ 7 это неприводимые представления S n наименьшей размерности - все остальные неприводимые представления имеют размерность не менее n. Однако для n = 4 сюръекция от S 4 к S 3 позволяет S 4 наследовать двумерное неприводимое представление. При n = 6 исключительное транзитивное вложение S 5 в S 6 дает еще одну пару пятимерных неприводимых представлений.

Неприводимое представление ${\ displaystyle S_ {n}}$	Измерение	Диаграмма Юнга размера${\ displaystyle n}$
Тривиальное представление	${\ displaystyle 1}$	${\ Displaystyle (п)}$
Знаковое представление	${\ displaystyle 1}$	${\ Displaystyle (1 ^ {п}) = (1,1, \ точки, 1)}$
Стандартное представление ${\ displaystyle V}$	${\ displaystyle n-1}$	${\ Displaystyle (п-1,1)}$
Внешняя мощность ${\ displaystyle \ Lambda ^ {k} V}$	${\ Displaystyle {\ binom {п-1} {к}}}$	${\ displaystyle (nk, 1 ^ {k})}$

Чередующиеся группы

Соединение пяти тетраэдров, на которых А 5 действует, что дает 3-мерное представление.

Теория представлений знакопеременных групп аналогична, но знаковое представление исчезает. При n ≥ 7 неприводимые представления наименьшей размерности - это тривиальное представление в размерности один и ( n - 1) -мерное представление из другого слагаемого представления перестановки, причем все другие неприводимые представления имеют более высокую размерность, но есть исключения для меньших n.

Знакопеременные группы при n ≥ 5 имеют только одно одномерное неприводимое представление - тривиальное представление. Для n = 3, 4 есть два дополнительных одномерных неприводимых представления, соответствующих отображениям в циклическую группу порядка 3: A 3 ≅ C 3 и A 4 → A 4 / V ≅ C 3.

• При n ≥ 7 существует только одно неприводимое представление степени n - 1, и это наименьшая степень нетривиального неприводимого представления.
• Для n = 3 очевидный аналог ( n - 1) -мерного представления приводим - представление перестановки совпадает с регулярным представлением и, таким образом, распадается на три одномерных представления, поскольку A 3 ≅ C 3 абелево; см. дискретное преобразование Фурье для теории представлений циклических групп.
• Для n = 4 существует только одно неприводимое представление n - 1, но есть исключительные неприводимые представления размерности 1.
• Для n = 5 существуют два двойственных неприводимых представления размерности 3, соответствующие его действию как икосаэдрической симметрии.
• При n = 6 существует дополнительное неприводимое представление размерности 5, соответствующее исключительному транзитивному вложению A 5 в  A 6.

Тензорные произведения представлений

Коэффициенты Кронекера

Тензорное произведение двух представлений, соответствующих диаграмм Юнга представляет собой комбинацию неприводимых представлений, ${\ displaystyle S_ {n}}$${\ displaystyle \ lambda, \ mu}$${\ displaystyle S_ {n}}$

${\ displaystyle V _ {\ lambda} \ otimes V _ {\ mu} \ cong \ sum _ {\ nu} C _ {\ lambda, \ mu, \ nu} V _ {\ nu}}$

Коэффициенты называются коэффициентами Кронекера симметрической группы. Их можно вычислить по символам представлений ( Fulton amp; Harris 2004): ${\ displaystyle C _ {\ lambda \ mu \ nu} \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle C _ {\ lambda, \ mu, \ nu} = \ sum _ {\ rho} {\ frac {1} {z _ {\ rho}}} \ chi _ {\ lambda} (C _ {\ rho}) \ chi _ {\ mu} (C _ {\ rho}) \ chi _ {\ nu} (C _ {\ rho})}$

Сумма над перегородками из, с соответствующими классами сопряженности. Значения символов можно вычислить с помощью формулы Фробениуса. Коэффициенты равны ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle C _ {\ rho}}$${\ displaystyle \ chi _ {\ lambda} (C _ {\ rho})}$ ${\ displaystyle z _ {\ rho}}$

${\ displaystyle z _ {\ rho} = \ prod _ {j = 0} ^ {n} j ^ {i_ {j}} i_ {j}! = {\ frac {n!} {| C _ {\ rho} | }}}$

где - количество появлений в, так что. ${\ displaystyle i_ {j}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ sum i_ {j} j = n}$

Несколько примеров, написанных в терминах диаграмм Юнга ( Hamermesh 1989):

${\ Displaystyle (п-1,1) \ otimes (п-1,1) \ cong (п) + (п-1,1) + (п-2,2) + (п-2,1,1) }$

${\ Displaystyle (п-1,1) \ otimes (п-2,2) {\ underset {пgt; 4} {\ cong}} (п-1,1) + (п-2,2) + (п -2,1,1) + (n-3,3) + (n-3,2,1)}$

${\ Displaystyle (п-1,1) \ otimes (п-2,1,1) \ cong (п-1,1) + (п-2,2) + (п-2,1,1) + ( п-3,2,1) + (п-3,1,1,1)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} (n-2,2) \ otimes (n-2,2) \ cong amp; (n) + (n-1,1) +2 (n-2,2) + ( п-2,1,1) + (п-3,3) \\ amp; + 2 (п-3,2,1) + (п-3,1,1,1) + (п-4,4) + (п-4,3,1) + (п-4,2,2) \ конец {выровнено}}}$

Существует простое правило вычислений для любой диаграммы Юнга ( Hamermesh 1989): результат представляет собой сумму всех диаграмм Юнга, полученных путем удаления одного прямоугольника и последующего добавления одного прямоугольника, где коэффициенты равны единице, за исключением самого себя, коэффициент которого есть, т. е. количество строк разной длины минус один. ${\ displaystyle (п-1,1) \ otimes \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ # \ {\ lambda _ {i} \} - 1}$

Ограничение на неприводимые составляющие есть ( Джеймс и Кербер, 1981) ${\ displaystyle V _ {\ lambda} \ otimes V _ {\ mu}}$

${\ displaystyle C _ {\ lambda, \ mu, \ nu}gt; 0 \ подразумевает | d _ {\ lambda} -d _ {\ mu} | \ leq d _ {\ nu} \ leq d _ {\ lambda} + d _ {\ mu }}$

где глубина диаграммы Юнга - это количество ящиков, не принадлежащих первой строке. ${\ displaystyle d _ {\ lambda} = n- \ lambda _ {1}}$

Приведенные коэффициенты Кронекера

Для диаграммы Молодой и, это диаграмма Юнга размера. Тогда - ограниченная неубывающая функция от и ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle n \ geq \ lambda _ {1}}$${\ Displaystyle \ лямбда [п] = (п- | \ лямбда |, \ лямбда)}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle С _ {\ лямбда [п], \ му [п], \ ню [п]}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{\ lambda, \ mu, \ nu} = \ lim _ {n \ to \ infty} C _ {\ lambda [n], \ mu [n], \ nu [n ]}}$

называется приведенным коэффициентом Кронекера или стабильным коэффициентом Кронекера. Известны границы значения where, которое достигает своего предела. Приведенные коэффициенты Кронекера являются структурными константами категорий Делиня представлений с. ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle С _ {\ лямбда [п], \ му [п], \ ню [п]}}$${\ displaystyle S_ {n}}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {C} - \ mathbb {N}}$

В отличие от коэффициентов Кронекера, приведенные коэффициенты Кронекера определены для любой тройки диаграмм Юнга, не обязательно одинакового размера. Если, то совпадает с коэффициентом Литтлвуда-Ричардсона. Уменьшенные коэффициенты Кронекера могут быть записаны как линейные комбинации коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона через замену базисов в пространстве симметричных функций, что приводит к выражениям, которые явно являются целочисленными, хотя и не явно положительными. Приведенные коэффициенты Кронекера также могут быть записаны в терминах коэффициентов Кронекера и Литтлвуда-Ричардсона по формуле Литтлвуда ${\ Displaystyle | \ ню | = | \ лямбда | + | \ му |}$${\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{\ lambda, \ mu, \ nu}}$ ${\ displaystyle c _ {\ lambda, \ mu} ^ {\ nu}}$${\ displaystyle c _ {\ alpha \ beta \ gamma} ^ {\ lambda}}$

${\ displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{\ lambda, \ mu, \ nu} = \ sum _ {\ lambda ', \ mu', \ nu ', \ alpha, \ beta, \ gamma} C _ {\ лямбда ', \ mu', \ nu '} c _ {\ lambda' \ beta \ gamma} ^ {\ lambda} c _ {\ mu '\ alpha \ gamma} ^ {\ mu} c _ {\ nu' \ alpha \ beta } ^ {\ nu}}$

И наоборот, можно восстановить коэффициенты Кронекера как линейные комбинации приведенных коэффициентов Кронекера.

Приведенные коэффициенты Кронекера реализованы в системе компьютерной алгебры SageMath.

Смотрите также

• Чередующиеся многочлены
• Симметричные многочлены
• Функтор Шура
• Переписка Робинсона – Шенстеда
• Двойственность Шура – ​​Вейля
• Элемент Джусис-Мерфи

Примечания

использованная литература

• Бернсайд, Уильям (1955), Теория групп конечного порядка, Нью-Йорк: Dover Publications, MR   0069818
• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (2004). «Теория представлений». Тексты для выпускников по математике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9. ISBN   978-3-540-00539-1. ISSN   0072-5285.
• Хамермеш М. (1989). Теория групп и ее приложение к физическим задачам. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN   0-486-66181-4. OCLC   20218471.
• Джеймс, Гордон; Кербер, Адальберт (1981), Теория представлений симметрической группы, Энциклопедия математики и ее приложений, 16, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN   978-0-201-13515-2, Руководство по ремонту   0644144
• Джеймс, Г.Д. (1983), "О минимальных размерностях неприводимых представлений симметрических групп", Математические слушания Кембриджского философского общества, 94 (3): 417–424, Bibcode : 1983MPCPS..94..417J, doi : 10.1017 / S0305004100000803, ISSN   0305-0041, MR   0720791
• Rasala, Ричард (1977), "О минимальных степеней характеров Sn", журнал алгебры, 45 (1): 132-181, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (77) 90366-0, ISSN   0021-8693, Руководство по ремонту   0427445