Карта пентаграммы

В математике карта пентаграммы представляет собой дискретную динамическую систему на пространстве модулей многоугольников в проективной плоскости. Карта пентаграммы берет заданный многоугольник, находит пересечения самых коротких диагоналей многоугольника и строит новый многоугольник из этих пересечений. Ричард Шварц представил карту пентаграммы для общего многоугольника в статье 1992 года, хотя кажется, что частный случай, в котором карта определена только для пятиугольников, восходит к статье 1871 года. Альфреда Клебша и статья 1945 г. Теодора Моцкина. Карта пентаграммы по духу аналогична конструкциям, лежащим в основе теоремы Дезарга и поризмы Понселе. Это перекликается с логикой и конструкцией, лежащей в основе гипотезы Бранко Грюнбаума о диагоналях многоугольника.

Содержание

• 1 Определение карты
  • 1.1 Базовая конструкция
  • 1.2 Условные обозначения
  • 1.3 Скрученные многоугольники
• 2 Элементарные свойства
  • 2.1 Действия с пятиугольниками и шестиугольниками
  • 2.2 Экспоненциальная сжатие
• 3 Мотивирующее обсуждение
• 4 Координаты для пространства модулей
  • 4.1 Перекрестное отношение
  • 4.2 Координаты угла
  • 4.3 (ab) координаты
• 5 Формула для карты пентаграммы
  • 5.1 Как бирациональное отображение
  • 5.2 Как соотношения совместимости сеток
• 6 Инвариантные структуры
  • 6.1 Угловые координаты
  • 6.2 Форма объема
  • 6.3 Инварианты монодромии
  • 6.4 Скобка Пуассона
• 7 Полная интегрируемость
  • 7.1 Интегрируемость Арнольда – Лиувилля
  • 7.2 Алгебро-геометрическая интегрируемость
• 8 Связь с другими темами
  • 8.1 Октаэдрическая повторяемость
  • 8.2 Уравнение Буссинеска
  • 8.3 Проективно естественная эволюция
  • 8.4 Кластер алгебры
• 9 См. также
• 10 Примечания
• 11 Ссылки

Определение карты

Базовая конструкция

Предположим, что t что вершины многоугольника P заданы как $P\; 1,\; P\; 3,\; P\; 5,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{1\},\; P\_\; \{3\},\; P\_\; \{\; 5\},\; \backslash \; ldots\}$Изображение P под картой пентаграммы - это многоугольник Q с вершинами $Q\; 2,\; Q\; 4,\; Q\; 6,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{2\},\; Q\_\; \{4\; \},\; Q\_\; \{6\},\; \backslash \; ldots\}$, как показано на рисунке. Здесь $Q\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{4\}\}$- пересечение диагоналей $(P\; 1\; P\; 5)\; \{\backslash \; displaystyle\; (P\_\; \{1\}\; P\_\; \{5\})\}$и $(P\; 3\; P\; 7)\; \{\backslash \; displaystyle\; (P\_\; \{3\}\; P\_\; \{7\})\}$и т. Д.

На базовом уровне карту пентаграммы можно представить как операцию, определенную на выпуклых многоугольниках в плоскости плоскости. С более сложной точки зрения, карта пентаграммы определяется для многоугольника, содержащегося в проективной плоскости над полем при условии, что вершины находятся в достаточно общая позиция. Карта пентаграммы коммутирует с проективными преобразованиями и тем самым индуцирует отображение в пространстве модулей проективных классов эквивалентности полигонов.

Условные обозначения

Отображение $P\; \to \; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; to\; Q\}$немного проблематично в том смысле, что индексы P- вершины - естественно нечетные целые числа, тогда как индексы Q-вершин естественно - целые четные числа. Более традиционный подход к разметке заключался бы в том, чтобы пометить вершины P и Q целыми числами той же четности. Это можно сделать, прибавляя или вычитая 1 из каждого индекса Q-вершины. Любой выбор одинаково каноничен. Еще более традиционным выбором было бы пометить вершины P и Q последовательными целыми числами, но, опять же, есть два естественных варианта, как выровнять эти пометки: Либо $Q\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{k\}\}$просто по часовой стрелке от $P\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{k\}\}$или просто против часовой стрелки. В большинстве статей по этой теме выбор делается раз и навсегда в начале статьи, а затем формулы настраиваются на этот выбор.

Существует совершенно естественный способ пометить вершины второй итерации карты пентаграммы последовательными целыми числами. По этой причине вторую итерацию карты пентаграммы более естественно рассматривать как итерацию, определенную на помеченных многоугольниках. Смотрите рисунок.

Скрученные многоугольники

Карта пентаграммы также определена на большем пространстве скрученных многоугольников.

Скрученный N-угольник - это би-бесконечная последовательность точек на проективной плоскости, которая N-периодическое по модулю a проективное преобразование То есть некоторое проективное преобразование M переводит $P\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{k\}\}$в $PN\; +\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{N\; +\; k\}\}$для всех k. Отображение M называется монодромией скрученного N-угольника. Когда M - это тождество, скрученный N-угольник можно интерпретировать как обычный N-угольник, вершины которого перечислены неоднократно. Таким образом, скрученный N-угольник является обобщением обычного N-угольника.

Два скрученных N-угольника эквивалентны, если проективное преобразование переносит один в другой. Пространство модулей скрученных N-угольников - это множество классов эквивалентности скрученных N-угольников. Пространство скрученных N-угольников содержит пространство обычных N-угольников как подмножество ковамерности 8.

Элементарные свойства

Действие над пятиугольниками и шестиугольниками

Карта пентаграммы - это тождество в пространстве модулей пятиугольника. Это означает, что всегда существует проективное преобразование, переносящее пятиугольник на его изображение под картой пентаграммы.

Карта $T\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{2\}\}$- это идентификатор на пространстве помеченных шестиугольников. Здесь T - вторая итерация карты пентаграммы, которая естественным образом действует на помеченные шестиугольники, как описано выше. Это означает, что шестиугольники $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$и $T\; 2\; (H)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{2\}\; (H)\}$являются эквивалентно сохраняющим метку проективным преобразованием. Точнее, шестиугольники $H\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \text{'}\}$и $T\; (H)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (H)\}$проективно эквивалентны, где $H\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \text{'}\}$- помеченный шестиугольник, полученный из $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$путем сдвига меток на 3. См. Рисунок. Вполне возможно, что этот факт был известен и в XIX веке.

Действие карты пентаграммы на пятиугольники и шестиугольники аналогично по духу классическим теоремам конфигурации в проективной геометрии, таким как теорема Паскаля, теорема Дезарга и другие.

Экспоненциальное сжатие

Итерации карты пентаграммы сжимают любой выпуклый многоугольник экспоненциально быстро до точки. Это означает, что диаметр n-й итерации выпуклого многоугольника меньше $K\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; Ka\; ^\; \{n\}\}$для констант $K>0\; \{\backslash \; displaystyle\; K>0\}$и , которые зависят от исходного многоугольника. Здесь мы говорим о геометрическом воздействии на сами многоугольники, а не на пространство модулей классов проективной эквивалентности многоугольников.

Мотивирующее обсуждение

Этот раздел предназначен для того, чтобы дать нетехнический обзор большей части оставшейся части статьи. Контекст для карты пентаграммы - проективная геометрия. Проективная геометрия - это геометрия нашего видения. Когда кто-то смотрит на верхняя часть стекла, представляющая собой круг, обычно виден эллипс. Когда кто-то смотрит на прямоугольную дверь, вы видите обычно непрямоугольную четырехугольник. Проективные преобразования преобразуют различные формы, которые можно увидеть, глядя на один и тот же объект с разных точек зрения. Вот почему он играет такую ​​важную роль в старых темах, таких как перспективное рисование, и в новых, таких как компьютерное зрение. Проективная геометрия построена на том факте, что прямая линия выглядит как прямая с любой точки зрения. Прямые линии - это строительные блоки предмета. Карта пентаграммы полностью определяется в терминах точек и прямых линий. Это делает его адаптированным к проективной геометрии. Если вы посмотрите на карту пентаграммы с другой точки зрения (т.е. наклоните бумагу, на которой она нарисована), то вы все равно смотрите на карту пентаграммы. Это объясняет утверждение, что отображение пентаграммы коммутирует с проективными преобразованиями.

Карта пентаграммы плодотворно рассматривается как отображение в пространстве модулей многоугольников. пространство модулей - это вспомогательное пространство, точки которого индексируют другие объекты. Например, в евклидовой геометрии сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам. Вы можете указать треугольник (с точностью до масштаба), задав 3 положительных числа, $x,\; y,\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; x,\; y,\; z\}$таким образом, чтобы $x\; +\; y\; +\; z\; =\; 180.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; +\; y\; +\; z\; =\; 180.\}$Итак, каждая точка $(x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y,\; z)\; \}$, удовлетворяя только что упомянутым ограничениям, индексирует треугольник (до масштаба). Можно сказать, что $(x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y,\; z)\}$- это координаты для пространства модулей классов эквивалентности треугольников. Если вы хотите проиндексировать все возможные четырехугольники, в масштабе или без него, вам потребуются дополнительные параметры. Это привело бы к многомерному пространству модулей. Пространство модулей, относящееся к отображению пентаграммы, - это пространство модулей классов проективной эквивалентности многоугольников. Каждая точка в этом пространстве соответствует многоугольнику, за исключением того, что два многоугольника, которые представляют собой разные виды друг друга, считаются одинаковыми. Поскольку отображение пентаграммы адаптировано к проективной геометрии, как упомянуто выше, оно индуцирует отображение на этом конкретном пространстве модулей. То есть, учитывая любую точку в пространстве модулей, вы можете применить карту пентаграммы к соответствующему многоугольнику и посмотреть, какую новую точку вы получите.

Причина рассмотрения того, что карта пентаграммы делает с пространством модулей, заключается в том, что она дает более характерные особенности карты. Если вы просто наблюдаете геометрически, что происходит с отдельным многоугольником, скажем, с выпуклым многоугольником , затем повторяющееся приложение сжимает многоугольник до точки. Чтобы увидеть вещи более четко, вы можете расширить сжимающееся семейство полигонов так, чтобы все они имели, скажем, одну и ту же площадь . Если вы сделаете это, то обычно вы увидите, что семейство полигонов становится длинным и тонким. Теперь вы можете изменить соотношение сторон , чтобы попытаться получить еще лучший обзор этих многоугольников. Если вы проделаете этот процесс как можно более систематично, вы обнаружите, что просто смотрите, что происходит с точками в пространстве модулей. Попытки увеличить изображение наиболее наглядным способом приводят к введению пространства модулей.

Чтобы объяснить, как отображение пентаграммы действует в пространстве модулей, нужно сказать несколько слов о торе. Один из способов приблизительно определить тор - сказать, что это поверхность идеализированного бублика. Другой способ состоит в том, что это игровое поле для видеоигры Asteroids. Еще один способ описать тор - сказать, что это экран компьютера с обтеканием как слева направо, так и сверху вниз. тор является классическим примером того, что в математике известно как многообразие. Это пространство, которое чем-то похоже на обычное евклидово пространство в каждой точке, но каким-то образом связано друг с другом по-разному. Сфера - еще один пример многообразия. Вот почему людям потребовалось так много времени, чтобы понять, что Земля не была плоской; на малых масштабах сложно отличить сферу от плоскости плоскости. То же самое и с многообразиями типа тора. Существуют и многомерные торы. Вы можете представить, что играете в Asteroids в своей комнате, где вы можете свободно проходить сквозь стены и потолок / пол, выскакивая на противоположной стороне.

Можно проводить эксперименты с картой пентаграммы, где можно посмотреть, как это отображение действует на пространство модулей многоугольников. Каждый начинает с точки и просто отслеживает, что с ней происходит, когда карта применяется снова и снова. Можно увидеть удивительную вещь: кажется, что эти точки выстраиваются вдоль многомерных торов. Эти невидимые торы заполняют пространство модулей примерно так же, как слои луковицы заполняют саму луковицу или как отдельные карты в колоде заполняют колоду. Техническое утверждение состоит в том, что торы образуют слоение пространства модулей. Торы имеют половину размерности пространства модулей. Например, пространство модулей $7\; \{\backslash \; displaystyle\; 7\}$-угольников имеет размер $6\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\}$, а торы в этом случае имеют размер $3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\}$размерный.

Торы - это невидимые подмножества пространства модулей. Они раскрываются только тогда, когда вы делаете карту пентаграммы и наблюдаете, как точка движется по кругу, заполняя один из торов. Грубо говоря, когда динамические системы имеют эти инвариантные торы, они называются интегрируемыми системами. Большинство результатов в этой статье связано с установлением того, что отображение пентаграммы является интегрируемой системой, что эти торы действительно существуют. Обсуждаемые ниже инварианты монодромии оказываются уравнениями для торов. Скобка Пуассона, обсуждаемая ниже, представляет собой более сложный математический гаджет, который как бы кодирует локальную геометрию торов. Что приятно, так это то, что различные объекты точно подходят друг к другу и вместе составляют доказательство того, что движение тора действительно существует.

Координаты для пространства модулей

Перекрестное соотношение

Когда поле, лежащее в основе всех конструкций, равно F, аффинная линия является просто копией F. Аффинная линия - это подмножество проективной прямой . Любой конечный список точек проективной прямой можно переместить в аффинную прямую с помощью подходящего проективного преобразования.

Учитывая четыре точки $t\; 1,\; t\; 2,\; t\; 3,\; t\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{\; 1\},\; t\_\; \{2\},\; t\_\; \{3\},\; t\_\; \{4\}\}$в аффинной строке определяет (обратное) перекрестное отношение

$X\; =\; (t\; 1\; -\; t\; 2)\; (t\; 3\; -\; t\; 4)\; (t\; 1\; -\; t\; 3)\; (t\; 2\; -\; t\; 4).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(t\_\; \{1\}\; -t\_\; \{2\})\; (t\_\; \{3\}\; -t\_\; \{4\})\}\; \{(t\_\; \{1\}\; -t\_\; \{3\})\; (t\_\; \{2\}\; -\; t\_\; \{4\})\}\}.\}$

Большинство авторов считают, что 1 / X является перекрестным отношением, и поэтому X называется обратным перекрестным отношением. Обратное поперечное отношение инвариантно относительно проективных преобразований и, таким образом, имеет смысл для точек проективной прямой. Однако приведенная выше формула имеет смысл только для точек на аффинной прямой.

В немного более общей схеме ниже, перекрестное отношение имеет смысл для любых четырех коллинеарных точек в проективном пространстве Один просто идентифицирует линию, содержащую точки с проективной линией, подходящим проективное преобразование, а затем использует формулу выше. Результат не зависит от выбора, сделанного при идентификации. Обратное поперечное отношение используется для определения системы координат в пространстве модулей многоугольников, как обычных, так и скрученных.

Координаты углов

Инварианты углов - это базовые координаты в пространстве скрученных многоугольников. Предположим, что P - это многоугольник. Флаг P - это пара (p, L), где p - вершина P, а L - смежная линия P. Каждая вершина P участвует в двух флагах, а также каждое ребро P участвует в двух флагах. Флаги P упорядочены в соответствии с ориентацией P, как показано на рисунке. На этом рисунке флаг представлен толстой стрелкой. Таким образом, с N-угольником связано 2N флагов.

Пусть P - N-угольник с флагами $F\; 1,\dots ,\; F\; 2\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; F\_\; \{2N\}\}$К каждому флагу F, мы связываем обратное поперечное отношение точек $t\; 1,\; t\; 2,\; t\; 3,\; t\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\},\; t\_\; \{2\},\; t\_\; \{3\},\; t\_\; \{4\}\}$показано на рисунке слева. Таким образом, числа $x\; 1,\dots ,\; x\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{2n\}\}$связываются с n-угольником. Если два n-угольника связаны проективным преобразованием, они получают одинаковые координаты. Иногда переменные $x\; 1,\; y\; 1,\; x\; 2,\; y\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; y\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; y\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\}$используются вместо $x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3,\; x\; 4,\dots .\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; x\_\; \{3\},\; x\_\; \{4\},\; \backslash \; ldots\; \backslash ,.\}$

Угловые инварианты имеют смысл на пространстве модулей скрученных многоугольников. Когда задаются угловые инварианты скрученного многоугольника, получается 2N-периодическая бибесконечная последовательность чисел. Взяв один период этой последовательности, можно определить скрученный N-угольник с точкой в ​​$F\; 2\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{2N\}\}$, где F - базовое поле. И наоборот, по почти любой (в смысле теории меры ) точке в $F\; 2\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{2N\}\}$можно построить скрученный N-угольник имеющий этот список угловых инвариантов. Из такого списка не всегда получается обычный многоугольник; есть еще 8 уравнений, которым список должен удовлетворять, чтобы образовался обычный N-угольник.

(ab) координаты

Существует второй набор координат для пространства модулей скрученных многоугольников, разработанный Сергеем Табачниковым и Валентином Овсиенко. Один описывает многоугольник на проективной плоскости последовательностью векторов $\dots \; V\; 1,\; V\; 2,\; V\; 3,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ldots\; V\_\; \{1\},\; V\_\; \{2\},\; V\_\; \{\; 3\},\; \backslash \; ldots\}$в $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{3\}\}$так, чтобы каждая последовательная тройка векторов охватывала параллелепипед, имеющий единичный объем. Это приводит к соотношению

$V\; i\; +\; 3\; =\; ai\; V\; i\; +\; 2\; +\; bi\; V\; i\; +\; 1\; +\; V\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{i\; +\; 3\}\; =\; a\_\; \{i\}\; V\_\; \{i\; +\; 2\}\; +\; b\_\; \{\; i\}\; V\_\; \{i\; +\; 1\}\; +\; V\_\; \{i\}\}$

Координаты $a\; 1,\; b\; 1,\; a\; 2,\; b\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\},\; b\_\; \{1\},\; a\_\; \{\; 2\},\; b\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\}$служат координатами для пространства модулей скрученных N-угольников, если N не делится на 3.

Координаты (ab) выявить близкую аналогию между скрученными многоугольниками и решениями линейных обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка, нормированных на единицу Вронскиан.

Формула для отображения пентаграммы

Как бирациональное отображение

Вот формула карты пентаграммы, выраженная в угловых координатах. Уравнения работают более изящно, если рассматривать вторую итерацию карты пентаграммы, благодаря канонической схеме разметки, описанной выше. Вторая итерация карты пентаграммы - это composition $B\; \circ \; A\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; \backslash \; circ\; A\}$. Карты $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$являются бирациональными отображениями порядка 2 и имеют следующие действие.

$A\; (x\; 1,\dots ,\; x\; 2\; N)\; =\; (a\; 1,\dots ,\; a\; 2\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{2N\})\; =\; (a\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; a\_\; \{2N\})\}$

$B\; (x\; 1,\dots ,\; x\; 2\; N)\; =\; (b\; 1,\dots ,\; b\; 2\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{2N)\; \})\; =\; (b\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; b\_\; \{2N\})\}$

где

$a\; 2\; k\; -\; 1\; =\; (1\; -\; x\; 2\; k\; +\; 1\; x\; 2\; k\; +\; 2)\; (1\; -\; x\; 2\; k\; -\; 3\; x\; 2\; k\; -\; 2)\; x\; 2\; k\; +\; 0\; a\; 2\; k\; +\; 0\; =\; (1\; -\; x\; 2\; k\; -\; 3\; x\; 2\; k\; -\; 2)\; (1\; -\; x\; 2\; k\; +\; 1\; x\; 2\; k\; +\; 2)\; x\; 2\; k\; -\; 1\; b\; 2\; k\; +\; 1\; =\; (1\; -\; x\; 2\; k\; -\; 2\; x\; 2\; k\; -\; 1)\; (1\; -\; x\; 2\; k\; +\; 2\; x\; 2\; k\; +\; 3)\; x\; 2\; k\; +\; 0\; b\; 2\; k\; +\; 0\; =\; (1\; -\; Икс\; 2\; К\; +\; 2\; Икс\; 2\; К\; +\; 3)\; (1\; -\; Икс\; 2\; К\; -\; 2\; Икс\; 2\; К\; -\; 1)\; Икс\; 2\; К\; -\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Выровнено\}\; a\_\; \{2k-1\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{(1-x\_\; \{2k\; +\; 1\}\; x\_\; \{2k\; +\; 2\})\}\; \{(1-x\_\; \{2k-3\}\; x\_\; \{2k-2\})\}\}\; x\_\; \{2k\; +\; 0\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; a\_\; \{2k\; +\; 0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(1-x\_\; \{2k-3\}\; x\_\; \{2k-2\})\}\; \{(1-x\_\; \{2k\; +\; 1\}\; x\_\; \{2k\; +\; 2\})\}\}\; x\_\; \{2k\; -1\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; b\_\; \{2k\; +\; 1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(1-x\_\; \{2k-2\}\; x\_\; \{2k-1\})\}\; \{(1-x\_\; \{2k\; +\; 2\}\; x\_\; \{2k\; +3\})\}\}\; x\_\; \{2k\; +\; 0\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; b\_\; \{2k\; +\; 0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(1-x\_\; \{2k\; +\; 2\}\; x\_\; \{2k\; +\; 3\})\}\; \{(1-\; x\_\; \{2k-2\}\; x\_\; \{2k-1\})\}\}\; x\_\; \{2k-1\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

(Примечание: индекс 2k + 0 равен 2k. 0 добавляется для выравнивания формулы.) В этих координатах, карта пентаграммы является бирациональным отображением $F\; 2\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{2N\}\}$

В качестве отношений совместимости сетки

Формула для карты пентаграммы имеет удобную интерпретацию как определенное правило совместимости для метки на краях треугольной сетки, как показано на рисунке. В этой интерпретации угловые инварианты многоугольника P помечают негоризонтальные ребра одной строки, а затем негоризонтальные ребра последующих строк помечаются угловыми инвариантами $A\; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (P)\}$, $В\; (A\; (P))\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (A\; (P))\}$, $A\; (B\; (A\; (P)))\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (B\; (A\; (P)))\}$и так далее. правила совместимости:

$c\; =\; 1\; -\; ab\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; =\; 1-ab\}$

$wx\; =\; yz\; \{\backslash \; displaystyle\; wx\; =\; yz\}$

Эти правила предназначены для всех конфигураций, которые соответствует показанным на рисунке. Другими словами, фигуранты, участвующие в отношениях, могут находиться во всех возможных положениях и ориентациях. Метки на горизонтальных краях - это просто вспомогательные переменные, введенные для упрощения формул. Как только предоставлена ​​одна строка негоризонтальных ребер, оставшиеся строки однозначно определяются правилами совместимости.

Инвариантные структуры

Продукты угловых координат

Из формулы карты пентаграммы в терминах угловых координат непосредственно следует, что две величины

$ON\; =\; x\; 1\; x\; 3\; \cdots \; x\; 2\; N\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{N\}\; =\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{3\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{2N-1\}\}$

$EN\; =\; x\; 2\; x\; 4\; \cdots \; x\; 2\; N\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{N\}\; =\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{4\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{2N\}\}$

инвариантны относительно карты пентаграммы. Это наблюдение тесно связано с работой Джозефа Закса 1991 года о диагоналях многоугольника.

Когда N = 2k четно, функции

$O\; k\; =\; x\; 1\; x\; 5\; x\; 9\; \cdots \; x\; 2\; N\; -\; 3\; +\; x\; 3\; x\; 7\; x\; 11\; \cdots \; x\; 2\; N\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{k\}\; =\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{5\}\; x\_\; \{9\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{2N-3\}\; +\; x\_\; \{3\}\; x\_\; \{7\}\; x\_\; \{11\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{2N-1\}\}$

$E\; К\; знак\; равно\; Икс\; 2\; Икс\; 6\; Икс\; 10\; \cdots \; Икс\; 2\; N\; -\; 2\; +\; Икс\; 4\; Икс\; 8\; Икс\; 12\; \cdots \; Икс\; 2\; N\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\_\; \{k\}\; =\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{6\}\; x\_\; \{10\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{2N\; -2\}\; +\; x\_\; \{4\}\; x\_\; \{8\}\; x\_\; \{12\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{2N\}\}$

аналогично видно, непосредственно из формулы, как инвариантные функции. Все эти произведения оказываются инвариантами Казимира относительно инвариантной скобки Пуассона, обсуждаемой ниже. В то же время функции $O\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{k\}\}$и $E\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{k\}\}$являются простейшими примерами. инвариантов монодромии, определенных ниже.

Наборы уровней функции $f\; =\; ONEN\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; O\_\; \{N\}\; E\_\; \{N\}\}$являются компактными, когда f ограничено пространством модулей вещественных выпуклых многоугольников. Следовательно, каждая орбита карты пентаграммы, действующей в этом пространстве, имеет компактное замыкание.

Форма объема

Карта пентаграммы при воздействии на пространство модулей X выпуклых многоугольников., имеет неизменяемую форму объема . При этом, как уже было сказано, функция $f\; =\; ONEN\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; O\_\; \{N\}\; E\_\; \{N\}\}$имеет compact уровень устанавливает на X. Эти два свойства в сочетании с теоремой Пуанкаре подразумевают, что действие отображения пентаграммы на X является рекуррентным: орбита почти любого класса эквивалентности выпуклого многоугольника P возвращается бесконечно часто в каждую окрестность P. Это означает, что по модулю проективных преобразований каждый обычно видит почти одну и ту же форму снова и снова при повторении карты пентаграммы. (Важно помнить, что мы рассматриваем классы проективной эквивалентности выпуклых многоугольников. Тот факт, что отображение пентаграммы заметно сжимает выпуклый многоугольник, не имеет значения.)

Стоит отметить, что результат рекурсии подпадает под результаты полной интегрируемости обсуждаются ниже.

Инварианты монодромии

Так называемые инварианты монодромии представляют собой набор функций в пространстве модулей, которые являются инвариантен относительно отображения пентаграммы.

С целью определения инвариантов монодромии, скажем, что блок - это либо одно целое, либо тройка последовательных целых чисел, например 1 и 567. Скажем, что блок является нечетным, если он начинается с нечетного целого числа.. Скажем, два блока хорошо разделены, если между ними есть как минимум 3 целых числа. Например, 123 и 567 плохо разделены, но 123 и 789 хорошо разделены. Скажем, что нечетная допустимая последовательность - это конечная последовательность целых чисел, которая распадается на хорошо разделенные нечетные блоки. Когда мы берем эти последовательности из набора 1,..., 2N, понятие разделения скважин подразумевается в циклическом смысле. Таким образом, 1 и 2N - 1 плохо разделены.

Каждая нечетная допустимая последовательность порождает моном в угловых инвариантах. Лучше всего это проиллюстрировано на примере

• 1567 дает начало $-\; x\; 1\; x\; 5\; x\; 6\; x\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; -x\_\; \{1\}\; x\_\; \{5\}\; x\_\; \{6\}\; x\_\; \{7\}\}$
• 123789 рождает $+\; x\; 1\; x\; 2\; x\; 3\; x\; 7\; x\; 8\; x\; 9\; \{\backslash \; displaystyle\; +\; x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; x\_\; \{3\}\; x\_\; \{7\}\; x\_\; \{8\}\; x\_\; \{9\}\}$

Знак определяется четностью количества однозначных блоков в последовательности. Инвариант монодромии $O\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{k\}\}$определяется как сумма всех одночленов, полученных из нечетных допустимых последовательностей, состоящих из k блоков. Инвариант монодромии $E\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{k\}\}$определяется таким же образом, с заменой четного нечетного в определении.

Когда N нечетно, допустимые значения k равны 1, 2,..., (n - 1) / 2. Когда N четно, допустимые значения k равны 1, 2,..., n / 2. Когда k = n / 2, восстанавливаются описанные выше инварианты произведения. В обоих случаях инварианты $ON\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{N\}\}$и $EN\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{N\}\}$считаются инвариантами монодромии, даже хотя они не производятся вышеуказанной конструкцией.

Инварианты монодромии определены на пространстве скрученных многоугольников и ограничены, чтобы дать инварианты на пространстве замкнутых многоугольников. Имеют следующую геометрическую интерпретацию. Монодромия M скрученного многоугольника - это некоторая рациональная функция в угловых координатах. Инварианты монодромии по существу являются однородными частями следа матрицы M. Существует также описание инвариантов монодромии в терминах (ab) координат. В этих координатах инварианты возникают как определенные определители 4-диагональных матриц.

. Всякий раз, когда P имеет все свои вершины на коническом сечении (таком как окружность) имеет $O\; k\; (P)\; =\; E\; k\; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{k\}\; (P)\; =\; E\_\; \{k\}\; (P)\}$для всех k.

Скобка Пуассона

A Скобка Пуассона - это антисимметричный линейный оператор $\{\cdot ,\; \cdot \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \}\}$на пространстве функций, которое удовлетворяет тождеству Лейбница и тождеству Якоби. В статье 2010 года Валентин Овсиенко, Ричард Шварц и Сергей Табачников построили скобку Пуассона на пространстве скрученных многоугольников, которая инвариантна относительно отображения пентаграммы. Они также показали, что инварианты монодромии коммутируют относительно этой скобки. Это означает, что

$\{O\; i,\; O\; j\}\; =\; \{O\; i,\; E\; j\}\; =\; \{E\; i,\; E\; j\}\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{O\_\; \{i\},\; O\_\; \{j\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{O\_\; \{i\},\; E\_\; \{j\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{E\_\; \{i\},\; E\_\; \{j\}\; \backslash \}\; =\; 0\}$

для всех индексов.

Вот описание инвариантной скобки Пуассона в терминах переменных.

$x\; 1,\; y\; 1,\; x\; 2,\; y\; 2,\dots .\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; y\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; y\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\; \backslash ,.\}$

$\{xi,\; xi\; +\; 1\}\; =\; -\; xixi\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\_\; \{i\},\; x\_\; \{i\; +\; 1\}\; \backslash \}\; =\; -\; x\_\; \{i\}\; \backslash ,\; x\_\; \{i\; +\; 1\}\}$

$\{xi,\; xi\; -\; 1\}\; =\; xixi\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\_\; \{i\},\; x\_\; \{i-1\}\; \backslash \}\; =\; x\_\; \{i\}\; \backslash ,\; x\_\; \{i-1\}\}$

$\{yi,\; yi\; +\; 1\}\; =\; yiyi\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{y\_\; \{i\},\; y\_\; \{i\}\; +1\}\; \backslash \}\; =\; y\_\; \{i\}\; \backslash ,\; y\_\; \{i\; +\; 1\}\}$

$\{yi,\; yi\; -\; 1\}\; =\; -\; yiyi\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{y\_\; \{i\},\; y\_\; \{i-1\}\; \backslash \}\; =\; -\; y\_\; \{i\}\; \backslash ,\; y\_\; \{i-1\}\}$

$\{xi,\; xj\}\; =\; \{yi,\; yj\}\; =\; \{xi,\; yj\}\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{x\_\; \{i\},\; x\_\; \{j\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{y\_\; \{i\},\; y\_\; \{j\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{x\_\; \{i\},\; y\_\; \{j\}\; \backslash \}\; =\; 0\}$для всех остальных $i,\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; i,\; j.\}$

Также есть описание в терминах (ab) координат, но оно более сложное.

Вот альтернативное описание инвариантной скобки. Для любой функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в пространстве модулей мы имеем так называемое гамильтоново векторное поле

$H\; (f)\; =\; (xi\; +\; 1\; \partial \; f\; \partial \; xi\; +\; 1\; -\; xi\; -\; 1\; \partial \; f\; \partial \; xi\; -\; 1)\; xi\; \partial \; \partial \; xi\; +\; (yi\; -\; 1\; \partial \; f\; \partial \; yi\; -\; 1\; -\; yi\; +\; 1\; \partial \; f\; \partial \; yi\; +\; 1)\; yi\; \partial \; \partial \; yi\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (f)\; =\; \backslash \; left\; (x\_\; \{i\; +\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\; +\; 1\}\}\}\; -\; x\_\; \{i-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{\; i-1\}\}\}\; \backslash \; right)\; x\_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; +\; \backslash \; left\; (y\_\; \{i-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\_\; \{i-1\}\}\}\; -\; y\_\; \{i\; +\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\_\; \{i\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; right)\; y\_\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; частичное\; y\_\; \{i\}\}\}\}$

, где понимается суммирование по повторяющимся индексам. Тогда

$H\; (f)\; g\; =\; \{f,\; g\}\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (f)\; g\; =\; \backslash \; \{f,\; g\; \backslash \}\}$

Первое выражение - это производная по направлению от $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$в направлении векторного поля $H\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (f)\}$. На практике тот факт, что инварианты монодромии пуассон-коммутируют, означает, что соответствующие гамильтоновы векторные поля определяют коммутирующие потоки.

Полная интегрируемость

Интегрируемость по Арнольду – Лиувиллю

Инварианты монодромии и инвариантная скобка вместе устанавливают интегрируемость по Арнольду – Лиувиллю отображения пентаграммы на пространстве скрученных N-угольников. Ситуацию проще описать для нечетного N. В этом случае два продукта

$O\; n\; =\; x\; 1\; \cdots \; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\; =\; x\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; x\_\; \{n\}\}$

$E\; n\; =\; y\; 1\; \cdots \; yn\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{n\}\; =\; y\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; y\_\; \{n\}\}$

являются инвариантами Казимира для скобки, что означает (в данном контексте), что

$\{O\; n,\; f\}\; =\; \{E\; n,\; f\}\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{O\_\; \{n\},\; f\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{E\_\; \{n\},\; f\; \backslash \}\; =\; 0\}$

для всех функций f. Набор уровней Казимира - это набор всех точек в пространстве, имеющих заданное значение для $O\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; O\_\; \{n\}\}$и $E\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{n\}\}$.

Каждое множество уровней Казимира имеет изомонодромию слоение, а именно разложение на общие множества уровней остальных функций монодромии. Гамильтоновы векторные поля, ассоциированные с остальными инвариантами монодромии, в общем случае покрывают касательное распределение к слоению изомонодромии. Тот факт, что монодромия инвариантна по Пуассону, означает, что эти векторные поля определяют коммутирующие потоки. Эти потоки, в свою очередь, определяют локальные координатные карты на каждом уровне изомонодромии, так что карты переходов являются евклидовыми переводами. То есть гамильтоновы векторные поля придают плоскую евклидову структуру на уровнях изомонодромии, заставляя их быть плоскими торами, когда они являются гладкими и компактными многообразиями. Это происходит почти для каждого набора уровней. Поскольку все, что находится в поле зрения, инвариантно к пентаграмме, отображение пентаграммы, ограниченное листом изомонодромии, должно быть переводом. Этот вид движения известен как квазипериодическое движение. Это объясняет интегрируемость Арнольда-Лиувилля.

С точки зрения симплектической геометрии скобка Пуассона порождает симплектическую форму на каждом множестве уровней Казимира.

Алгебро-геометрическая интегрируемость

В препринте 2011 года Федор Соловьев показал, что отображение пентаграммы имеет представление Лакса со спектральным параметром, и доказал его алгебро-геометрическую интегрируемость. Это означает, что пространство многоугольников (скрученных или обычных) параметризуется в терминах спектральной кривой с отмеченными точками и делителем . Спектральная кривая определяется инвариантами монодромии, а дивизор соответствует точке на торе - многообразию Якоби спектральной кривой. Алгебро-геометрические методы гарантируют, что отображение пентаграммы демонстрирует квазипериодическое движение на торе (как в скрученном, так и в обычном случае), и они позволяют строить явные формулы решений с использованием тета Римана функции (т. е. переменные, которые определяют многоугольник как явные функции времени). Соловьев также получает инвариантную скобку Пуассона из универсальной формулы Кричевера – Фонга.

Связь с другими темами

Октаэдрическое повторение

Октаэдрическое повторение - это динамическая система, определенная на вершинах октаэдрической мозаики пространства. Каждый октаэдр имеет 6 вершин, и эти вершины помечены таким образом, что

$a\; 1\; b\; 1\; +\; a\; 2\; b\; 2\; =\; a\; 3\; b\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; b\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; b\_\; \{2\}\; =\; a\_\; \{3\}\; b\_\; \{3\}\}$

Здесь $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$и $bi\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i\}\}$- метки противоположных вершин. Обычно принято считать, что $a\; 2,\; b\; 2,\; a\; 3,\; b\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\},\; b\_\; \{2\},\; a\_\; \{3\},\; b\_\; \{3\}\}$всегда лгут в центральной горизонтальной плоскости, а a_1, b_1 - верхняя и нижняя вершины. Октаэдрическая повторяемость тесно связана с C. метод уплотнения Л. Доджсона для вычисления определителей. Обычно маркируют два горизонтальных слоя мозаики, а затем используют основное правило, позволяющее меткам распространяться динамически.

Макс Глик использовал формализм кластерной алгебры, чтобы найти формулы для итераций карты пентаграммы в терминах матриц чередующихся знаков. Эти формулы похожи по духу на формулы, найденные Дэвидом П. Роббинсом и Гарольдом Рамси для итераций октаэдрического повторения.

В качестве альтернативы, следующая конструкция связывает октаэдрическое повторение непосредственно с картой пентаграммы. Пусть $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$будет октаэдрическим замощением. Пусть $\pi :\; T\; \to \; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; T\; \backslash \; to\; R\; ^\; \{2\}\}$будет линейной проекцией, которая отображает каждый октаэдр в $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$в конфигурацию из 6 точек, показанную на первом рисунке. Предположим, что адаптированная маркировка $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$является маркировкой, так что все точки в (бесконечном) инверсном изображении любой точки в $G\; =\; \pi \; (T)\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \backslash \; pi\; (T)\}$получить ту же числовую метку. Октаэдрическое повторение, применяемое к адаптированной разметке, такое же, как повторение на $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, в котором то же правило, что и для октаэдрического повторения, применяется к каждой конфигурации точек соответствует конфигурации на первом рисунке. Назовите это повторением плоского октаэдра.

Учитывая маркировку $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, которая подчиняется плоскому октаэдрическому повторению, можно создать маркировку краев $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$, применив правило

$v\; =\; AD\; /\; BC\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; AD\; /\; BC\}$

к каждому краю. Это правило относится к рисунку справа и предназначено для применения к каждой конфигурации, которая конгруэнтна двум показанным. Когда эта разметка выполнена, разметка ребер G удовлетворяет отношениям для карты пентаграммы.

Уравнение Буссинеска

Непрерывный предел выпуклого многоугольника - это параметризованная выпуклая кривая на плоскости. Когда параметр времени выбран надлежащим образом, непрерывный предел карты пентаграммы представляет собой классическое уравнение Буссинеска. Это уравнение является классическим примером интегрируемой e уравнение в частных производных.

Вот описание геометрического действия уравнения Буссинеска. Для локально выпуклой кривой $C:\; R\; \to \; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; C:\; R\; \backslash \; to\; R\; ^\; \{2\}\}$и действительных чисел x и t, мы рассматриваем аккорд, соединяющий $C\; (x\; -\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (xt)\}$с $C\; (x\; +\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (x\; +\; t))\}$. Огибающей всех этих хорд является новая кривая $C\; t\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{t\}\; (x)\}$. Когда t очень мало, кривая $C\; t\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{t\}\; (x)\}$является хорошей моделью для изменения времени t исходной кривой $C\; 0\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{0\}\; (x)\}$по уравнению Буссинеска. Это геометрическое описание делает довольно очевидным, что B-уравнение является непрерывным пределом отображения пентаграммы. В то же время инвариантная скобка пентаграммы представляет собой дискретизацию известной инвариантной скобки Пуассона, связанной с уравнением Буссинеска.

Недавно была проведена некоторая работа по многомерным обобщениям карты пентаграммы и ее связи с дифференциальными уравнениями в частных производных типа Буссинеска

Проективно естественная эволюция

Карта пентаграммы и уравнение Буссинеска являются примерами проективно естественных геометрических эволюционных уравнений. Такие уравнения возникают в различных областях математики, таких как проективная геометрия и компьютерное зрение.

Кластерные алгебры

В статье 2010 года Макс Глик определил карту пентаграммы как особый случай. кластерной алгебры.

См. также

• Комбинаторика
• Периодическая таблица форм

Примечания

Ссылки

• Беффа, Глория Маро. «Об обобщениях карты пентаграммы: дискретность потоков AGD» (PDF). Мэдисон, Висконсин: Университет Висконсина. Cite journal требует | journal =()
• Bruckstein, Alfred M.; Shaked, Doron (1997). «Проективное инвариантное сглаживание и Эволюция плоских кривых и многоугольников ». Journal of Mathematical Imaging and Vision. 7 (3): 225–240. doi : 10.1023 / A: 1008226427785. S2CID 2262433.
• Глик, Макс (2010). «Карта пентаграммы и Y-образные формы». arXiv : 1005.0598v2 [math.CO ]. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | 1 =()
• Motzkin, Theodore (1945). " пятиугольник в проективной плоскости, с комментарием к правилу Непьера ». Bull. Amer. Math. Soc. 51 (12): 985–989. doi : 10.1090 / S0002-9904-1945-08488-2.
• Олвер, Питер Дж.; Сапиро, Гильермо; Танненбаум, Аллен (1993). «Дифференциальные инвариантные сигнатуры и потоки в компьютерном зрении. : Подход группы симметрии ". Миннесотский университет Миннеаполис Математика. Проверено 12 февраля 2010 г. Cite journal требует | journal =()
• Валентин Овсиенко; Серж Табачников. «Дискретные интегрируемые системы в проективной геометрии» (PDF). Проверено 12 февраля 2010 г. Cite journal требует | journal =()
• Валентин Овсиенко; Шварц Ричард Эван; Табачников Серж (2010)). «Карта пентаграммы, дискретная интегрируемая система» (PDF). Comm. Math. Phys. 299 (2): 409–446. arXiv : 0810.5605. Bibcode : 2010CMaPh.299..409O. doi : 10.1007 / s00220-010-1075-y. S2CID 2616239. Проверено 26 июня 2011 г.
• Овсиенко, Валентин; Шварц, Ричард Эван; Табачников, Серж (2009). "Квазипериодическое движение для карты пентаграммы ». Электронные сообщения об исследованиях в области математических наук. 16 : 1–8. arXiv : 0901.1585. Bibcode : 2009arXiv0901.1585O. doi : 10.3934 / era.2009.16.1. S 2CID 10821671. Архивировано с оригинального (pdf) 30 сентября 2011 г. Проверено 28 июня 2011 г.
• Шварц, Ричард Эван (1992). "Карта пентаграммы". Экспериментальная математика. 1 : 90–95.
• Шварц, Ричард Эван (2001). «Повторение карты пентаграммы» (PDF). Экспериментальная математика. 10 (4): 519–528. doi : 10.1080 / 10586458.2001.10504671. S2CID 4454793. Архивировано с оригинального (PDF) 27 сентября 2011 г. Получено 30 июня 2011 г.
• Шварц, Ричард Эван (2008). «Дискретная монодромия, пентаграммы и метод конденсации». Журнал теории и приложений фиксированной точки. 3 (2): 379–409. arXiv : 0709.1264. doi : 10.1007 / s11784-008-0079-0. S2CID 17099073.
• Шварц, Ричард Эван; Табачников, Серж (2010). «Интегралы пентаграммы для вписанных многоугольников». Электронный журнал комбинаторики. arXiv : 1004.4311. Bibcode : 2010arXiv1004.4311S.
• Шварц, Ричард Эван; Табачников, Серж (2009). «Элементарные сюрпризы в проективной геометрии». arXiv : 0910.1952 [math.DG ].
• Соловьев, Федор (2011). «Интегрируемость карты пентаграммы». Математический журнал герцога. 162 (15): 2815–2853. arXiv : 1106.3950. doi : 10.1215 / 00127094-2382228. S2CID 119586878.
• Закс, Джозеф (1996). «О произведении соотношений на диагонали многоугольников». Geometriae Dedicata. 60(2): 145–151. doi : 10.1007 / BF00160619. S2CID 123626706.