Войти
15-й моноэдрический выпуклый пятиугольный тип, обнаруженный в 2015 году В геометрии , пятиугольная мозаика - это мозаика плоскости, где каждая отдельная часть имеет форму пятиугольника.
A правильного пятиугольника мозаика на евклидовой плоскости невозможна, потому что внутренний угол правильного пятиугольника , 108 °, не является делителем 360 °, угловой меры весь оборот. Однако правильные пятиугольники могут перекрывать гиперболическую плоскость и сферу ; последний создает мозаику, топологически эквивалентную додекаэдру .
Пример пятиугольной плитки с метками углов A, B, C, D и E и метками длины ребер a, b, c, d и e Пятнадцать типов выпуклых пятиугольников Известно, что плоскость моноэдрально (т.е. с одним типом плитки). Самый последний из них был обнаружен в 2015 году. Этот список показал полный Рао (2017) ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFRao2017 (help ) (результат подлежит экспертной оценке). Багина (2011) показал, что существует только восемь сквозных выпуклых типов, результат, полученный независимо Сугимото (2012).
из École normale supérieure de Lyon 1 мая 2017 г. заявила, что нашла доказательство того, что на самом деле нет выпуклых пятиугольников, выходящих за пределы этих 15 типов. Статья Рао доступна для рецензирования. По состоянию на 11 июля 2017 года первая половина доказательства Рао была независимо проверена (имеется компьютерный код) Томасом Хейлзом, профессором математики в Университете Питтсбурга. По состоянию на декабрь 2017 года доказательства еще не прошли полную рецензию.
Каждое перечислимое семейство листов содержит пятиугольники, не принадлежащие ни к какому другому типу; однако некоторые отдельные пятиугольники могут принадлежать к нескольким типам. Кроме того, некоторые из пятиугольников в известных типах листов также допускают альтернативные шаблоны мозаики помимо стандартной мозаики, представленной всеми членами этого типа.
Стороны длины a, b, c, d, e повернуты прямо по часовой стрелке от углов в вершинах A, B, C, D, E соответственно. (Таким образом, A, B, C, D, E противоположны d, e, a, b, c соответственно.)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
 . B + C = 180 °. A + D + E = 360 ° |  . c = e. B + D = 180 ° |  . a = b, d = c + e. A = C = D = 120 ° |  . b = c, d = e. B = D = 90 ° |  . a = b, d = e. A = 60 °, D = 120 ° | |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
 . a = d = e, b = c. B + D = 180 °, 2B = E |  . b = c = d = e. B + 2E = 2C + D = 360 ° |  . b = c = d = e. 2B + C = D + 2E = 360 ° |  . b = c = d = e. 2A + C = D + 2E = 360 ° |  . a = b = c + e. A = 90 °, B + E = 180 °, B + 2C = 360 ° | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
 . 2a + c = d = e. A = 90 °, 2B + C = 360 °. C + E = 180 ° |  . 2a = d = c + e. A = 90 °, 2B + C = 360 °. C + E = 180 ° |  . d = 2a = 2e. B = E = 90 °, 2A + D = 360 ° |  . 2a = 2c = d = e. A = 90 °, B ≈ 145,34 °, C ≈ 69,32 °,. D ≈ 124,66 °, E ≈ 110,68 °. ( 2B + C = 360 °, C + E = 180 °). |  . a = c = e, b = 2a. A = 150 °, B = 60 °, C = 135 °, D = 105 °, E = 90 ° | |
Многие из этих типов одногранных плиток имеют степени свободы. Эти свободы включают изменения внутренних углов и длин кромок. В пределе края могут иметь длину, приближающуюся к нулю, или углы, приближающиеся к 180 °. Типы 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 позволяют параметрические возможности с невыпуклыми прототипами.
Периодические мозаики характеризуются своей симметрией группы обоев, например, p2 (2222) определяется четырьмя точками 2-кратного вращения. Эта номенклатура используется на диаграммах ниже, где плитки также окрашены в соответствии с их k-изоэдральными положениями в пределах симметрии.
A примитивная единица - это часть мозаики, которая генерирует всю мозаику, используя только переводы, и является как можно меньше.
Рейнхардт (1918) ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFReinhardt1918 (help ) нашел первые пять типов пятиугольной плитки. Все пять могут создавать изоэдральные мозаики, что означает, что симметрии мозаики могут привести любую плитку к любой другой плитке (более формально, группа автоморфизмов действует транзитивно на плитки).
Б. Грюнбаум и Г. К. Шепард показали, что существует ровно двадцать четыре различных «типа» равногранных мозаик плоскости пятиугольниками в соответствии с их классификационной схемой. Все используют плитки Рейнхардта, обычно с дополнительными условиями, необходимыми для облицовки. Есть две мозаики всех плиток типа 2 и по одной плитки всех остальных четырех типов. Пятнадцать из остальных восемнадцати плиток относятся к частным случаям плиток типа 1. Девять из двадцати четырех мозаик являются смежными.
Существуют также 2-равногранные мозаики частными случаями плиток типа 1, типа 2 и типа 4, а также 3-равногранные мозаики, все ребра до края, частными случаями плиток типа 1. Не существует верхней границы k для k-изоэдральных мозаик определенными плитками, которые относятся как к типу 1, так и к типу 2, и, следовательно, ни на количество плиток в примитивной единице.
Симметрия группы обоев для каждого мозаичного покрытия дана с орбифолдной нотацией в скобках. Вторая группа более низкой симметрии дается, если существует хиральность плитки, где зеркальные изображения считаются различными. В таких случаях они отображаются желтыми и зелеными плитками.
Существует много топологий листов, содержащих пятиугольники типа 1. Ниже приведены пять примеров топологий.
| p2 (2222) | cmm (2 * 22) | cm (* ×) | pmg (22 *) | pgg (22 ×) | p2 (2222) | cmm (2 * 22) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| p1 (°) | p2 (2222) | p2 (2222) | ||||
 |  |  |  |  |  |  |
| 2-элементный примитивный блок | 4-элементный элементарный элемент | |||||
 . B + C = 180 °. A + D + E = 360 ° |  . a = c, d = e. A + B = 180 °, C + D + E = 360 ° |  . a = c. A + B = 180 °, C + D + E = 360 ° |  . a = e. B + C = 180 °, A + D + E = 360 ° |  . d = c + e. A = 90 °, C + D = 180 °. 2B + C = 360 °. B + E = 270 ° | ||
Эти примеры типа 2 являются изоэдральными. Второй вариант - от края до края. Оба они обладают симметрией pgg (22 ×). Если зеркальные отражающие плитки (желтые и зеленые) считаются разными, симметрия равна p2 (2222).
| pgg (22 ×) | |
|---|---|
| p2 (2222) | |
 |  |
| 4-элементный примитивный блок | |
 . c = e. B + D = 180 ° |  . c = e, d = b. B + D = 180 ° |
| Тип 3 | Тип 4 | Тип 5 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| p3 (333) | p31m (3 * 3) | p4 (442) | p4g (4 * 2) | p6 (632) | ||
 |  |  |  |  |  |  |
 |  | |||||
| 3-элементный примитив | 4-элементный примитив блок | Примитивный блок с 6 фрагментами | Примитивный блок с 18 фрагментами | |||
 . a = b, d = c + e. A = C = D = 120 ° |  . b = c, d = e. B = D = 90 ° |  . a = b, d = e. A = 60 °, D = 120 ° |  . a = b = c, d = e. A = 60 °, B = 120 °, C = 90 °. D = 120 °, E = 150 ° | |||
Кершнер (1968) нашли еще три типа пятиугольной плитки, в результате чего общее количество достигло восьми. Он ошибочно утверждал, что это был полный список пятиугольников, которые могут выложить плоскость.
Эти примеры являются 2-равногранными и сквозными. Типы 7 и 8 имеют хиральные пары плиток, которые окрашены в пары желто-зеленого цвета, а остальные - в два оттенка синего. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными.
| Тип 6 | Тип 6. (Также тип 5) | Тип 7 | Тип 8 | |
|---|---|---|---|---|
| p2 (2222) | pgg (22 ×) | pgg (22 ×) | ||
| p2 (2222) | p2 (2222) | |||
 |  |  |  | |
 |  |  | ||
| . a = d = e, b = c. B + D = 180 °, 2B = E |  . a = d = e, b = c. B = 60 °, A = C = D = E = 120 ° |  . b = c = d = e. B + 2E = 2C + D = 360 ° |  . b = c = d = e. 2B + C = D + 2E = 360 ° | |
 . 4-элементный примитивный блок |  . 4-элементный примитивный элемент |  . Примитивная единица из восьми плиток |  . Примитивная единица из восьми плиток | |
В 1975 году Ричард Э. Джеймс III обнаружил девятый тип, прочитав о результатах Кершнера в Мартин Гарднер в колонке «Mathematical Games » в журнале Scientific American за июль 1975 г. (перепечатано в Gardner (1988)). Он индексируется как тип 10. Мозаика 3-равногранная и не сквозная.
| p2 (2222) | cmm (2 * 22) |
|---|---|
 |  |
 | |
 . a = b = c + e. A = 90, B + E = 180 °, B + 2C = 360 ° |  . a = b = 2c = 2e. A = B = E = 90 °, C = D = 135 ° |
 . 6-элементный примитивный блок | |
Марджори Райс, математик-любитель, открыла четыре новых типа мозаики пятиугольников в 1976 и 1977 годах.
Все четыре мозаики 2-изоэдральны. Хиральные пары плиток окрашены в желтый и зеленый цвета для одного равногранного набора и два оттенка синего для другого набора. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными.
Укладка плиток типа 9 выполняется от края до края, а остальные - нет.
Каждая примитивная единица содержит восемь плиток.
| Тип 9 | Тип 11 | Тип 12 | Тип 13 |
|---|---|---|---|
| pgg (22 ×) | |||
| p2 (2222) | |||
 |  |  |  |
 |  |  |  |
 . b = c = d = e. 2A + C = D + 2E = 360 ° |  . 2a + c = d = e. A = 90 °, 2B + C = 360 °. C + E = 180 ° |  . 2a = d = c + e. A = 90 °, 2B + C = 360 °. C + E = 180 ° |  . d = 2a = 2e. B = E = 90 °, 2A + D = 360 ° |
 . Примитивная единица из 8 фрагментов |  . Примитивная единица из 8 фрагментов |  . Примитивная единица из 8 фрагментов |  . Примитивная единица из 8 фрагментов |
14-й тип выпуклого пятиугольника был обнаружен Рольфом Штайном в 1985 году.
Мозаика 3-равногранная и не прямая. Он имеет полностью определенные плитки без степеней свободы. Вот некоторые точные уравнения: 
Примитивные блоки содержат шесть тайлов соответственно. Он имеет симметрию p2 (2222).
 |  . 2a = 2c = d = e. A = 90 °, B≈145,34 °, C≈69,32 °,. D≈124,66 °, E≈110,68 °. (2B + C = 360 °, C + E = 180 °). |  . Примитивная единица из 6 плиток |
Вашингтонский университет Ботелл математики Кейси Манн, Дженнифер Маклауд-Манн, а Дэвид фон Дерау открыл 15-й моноэдрический мозаичный выпуклый пятиугольник в 2015 году с помощью компьютерного алгоритма . Статья была опубликована в октябре 2015 года и прорецензирована в 2017 году.
Это 3-равногранная и не сквозная линия, нарисованная 6 цветами, 2 оттенками по 3 цвета, представляющими хиральные пары три изоэдральных положения. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными.
Он полностью определил плитки без степеней свободы. Примитивные блоки содержат соответственно двенадцать плиток. Он имеет симметрию pgg (22 ×) и p2 (2222), если киральные пары считаются различными.
В июле 2017 года Микаэль Рао завершил компьютерное доказательство, показывающее, что нет других типов выпуклых пятиугольников, которые могли бы замостить плоскость. Полный список выпуклых многоугольников, которые могут покрывать плоскость, включает указанные выше 15 пятиугольников, три типа шестиугольников и все четырехугольники и треугольники. Следствием этого доказательства является то, что не существует выпуклого многоугольника, который бы мозаично делил плоскость только апериодически, поскольку все вышеперечисленные типы допускают периодическое разбиение.
 . (увеличенное изображение) |  . a = c = e, b = 2a, d = a + √2 / √3-1. A = 150 °, B = 60 °, C = 135 °. D = 105 °, E = 90 ° |  . Примитивная единица из 12 плиток |
Непериодические моноэдральные пятиугольные мозаики также могут быть построены, как в примере ниже с 6 -складная вращательная симметрия Майкла Хиршхорна. Углы: A = 140 °, B = 60 °, C = 160 °, D = 80 °, E = 100 °.
В 2016 году Бернхард Клаассен мог показать, что каждый дискретный тип вращательной симметрии может быть представлен моноэдральным пятиугольным замощением из того же класса пятиугольников. Ниже показаны два примера 5-кратной и 7-кратной симметрии. Такие мозаики возможны для любого типа n-кратной вращательной симметрии с n>2.
 . Пятиугольная симметрия вращения в моноэдральной пятиугольной мозаике |  . Шестикратная поворотная симметрия по Хиршхорну, моноэдральная пятиугольная мозаика |  . Семикратная симметрия вращения в моноэдральной пятиугольной мозаике |
Есть три равногранных пятиугольных мозаики, сгенерированных как двойные однородных мозаик с 5-валентными вершинами. Они представляют собой особые случаи высшей симметрии 15 моноэдральных мозаик, описанных выше. Однородные мозаики и их двойники - все сквозные. Эти двойственные мозаики также называются мозаиками Лавеса. Симметрия однородных двойственных мозаик такая же, как и у равномерных мозаик. Поскольку равномерные мозаики изогональны, двойники равны равногранно.
| cmm (2 * 22) | p4g (4 * 2) | p6 (632) |
|---|---|---|
 |  |  |
| Призматическая пятиугольная мозаика Экземпляр типа 1 | Каирская пятиугольная мозаика Экземпляр типа 4 | Пятиугольная мозаика Floret Экземпляр типов 1, 5 и 6 |
 . 120 °, 120 °, 120 °, 90 °, 90 °. V3.3.3.4.4 |  . 120 °, 120 °, 90 °, 120 °, 90 °. V3.3.4.3.4 |  . 120 °, 120 °, 120 °, 120 °, 60 °. V3.3.3.3.6 |
k -однородные мозаики с вершинами валентности-5 также имеют пятиугольные двойственные мозаики, содержащие те же трехугольные пятиугольники, что и полуправильные парные элементы выше, но содержат смесь пятиугольных типов. K-однородная мозаика имеет k-изоэдральную двойную мозаику и представлена разными цветами и оттенками цветов ниже.
Например, эти 2, 3, 4 и 5-однородные двойники пятиугольные:
| 2-равногранный | 3-равногранный | |||
|---|---|---|---|---|
| p4g (4 * 2) | pgg (22 ×) | p2 (2222) | p6 (* 632) | |
 |  |  |  |  |
  | | |  | |
| 4-изоэдрический | 5-изоэдрический | |||
| pgg ( 22 ×) | p2 (2222) | p6m (* 632) | ||
 |  |  |  |  |
  |  | |   |  |
| 5-равногранный | ||||
| pgg (22 ×) | p2 (2222) | |||
 |  |  |  |  |
| | | | | |
Пятиугольные подразделения шестиугольника Пятиугольники имеют особую взаимосвязь с шестиугольниками. Как показано ниже графически, некоторые типы шестиугольников можно разделить на пятиугольники. Например, правильный шестиугольник делится пополам на два пятиугольника типа 1. Также возможно разделение выпуклых шестиугольников на три (тип 3), четыре (тип 4) и девять (тип 3) пятиугольников.
В расширении этого отношения, плоскость может быть замощена одной пятиугольной формой прототипа способами, которые создают шестиугольные наложения. Например:
 . Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 1) с наложением правильных шестиугольников (каждый из которых состоит из двух пятиугольников). |  . Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 3) с наложением правильных шестиугольников (каждый из которых состоит из трех пятиугольников). |  . Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 4) с наложением полуправильных шестиугольников (каждый из которых состоит из четырех пятиугольников). |  . Планарная мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 3) с наложением двух размеров правильных шестиугольников (содержащих 3 и 9 пятиугольников соответственно). |
Периодическая мозаика сфинксом С пятиугольниками, которые не обязательно должны быть выпуклыми, возможны дополнительные типы мозаики. Примером может служить мозаика сфинкса, апериодическая мозаика, образованная пятиугольной репликационной плиткой. Сфинкс также может периодически размещать мозаику на плоскости, соединяя две плитки сфинкса вместе, чтобы сформировать параллелограмм , а затем мозаику плоскости с помощью сдвигов этого параллелограмма, шаблон, который может быть расширен до любого невыпуклого пятиугольника, имеющего два последовательных угла, добавляемых к 2π, таким образом удовлетворяя условию (ям) выпуклого типа 1 выше.
Можно разделить равносторонний треугольник на три конгруэнтных невыпуклых пятиугольника, встречающихся в центре треугольника, и выложить плоскость мозаикой с полученным трехпятиугольником. Аналогичный метод можно использовать для подразделения квадратов на четыре конгруэнтных невыпуклых пятиугольника или правильных шестиугольников на шесть конгруэнтных невыпуклых пятиугольников, а затем мозаику плоскости с полученной единицей.
A додекаэдр можно рассматривать как правильные мозаики из 12 пятиугольников на поверхности сферы с символом Шлефли {5,3}, имеющий по три пятиугольника вокруг каждой вершины.
В гиперболической плоскости есть мозаики правильных пятиугольников, например, пятиугольник четвертого порядка, {5,4}, имеющий четыре пятиугольника вокруг каждой вершины.. Регулярные мозаики более высокого порядка {5, n} могут быть построены на гиперболической плоскости, заканчивающейся на {5, ∞}.
| Сфера | Гиперболическая плоскость | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
 . {5,3} |  . {5,4} |  . {5,5} |  . {5,6} |  . |  . {5,8} | ... {5, ∞} |
В гиперболической плоскости существует бесконечное количество двойственных однородных мозаик с изогональными неправильными пятиугольными гранями. У них есть конфигурации лица как V3.3.p.3.q.
| 7-3 | 8-3 | 9-3 | ... | 5-4 | 6-4 | 7-4 | ... | 5-5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 . V3.3.3.3.7 |  . V3.3.3.3.8 | V3.3.3.3.9 | ... |  . V3.3.4.3.5 | V3.3.4.3.6 | V3.3.4.3.7 | ... | V3.3.5.3.5 |
Многоугольное гиперболическое двоичное мозаичное покрытие с пятиугольниками 60-120-60-120-120 градусов The бинарное мозаичное покрытие может быть преобразовано в пятиугольное мозаичное покрытие, если орициклические ребра заменить отрезками прямых.
Библиография
 | На Wikimedia Commons есть материалы, связанные с Пятиугольными мозаиками. |
.png){kind=link}