Войти
В математике, и более конкретно в геометрии, параметризация (или параметризация ; также параметризация, параметризация ) является процессом поиска параметрических уравнений из более кривого, на поверхности, или, в более общем смысле, в коллекторе или различном, определенные с помощью неявного уравнения. Обратный процесс называется неявной реализацией. «Параметризовать» само по себе означает «выразить через параметры ».
Параметризация - это математический процесс, состоящий в выражении состояния системы, процесса или модели как функции некоторых независимых величин, называемых параметрами. Состояние системы обычно определяется конечным набором координат, и параметризация, таким образом, состоит из одной функции нескольких действительных переменных для каждой координаты. Количество параметров - это количество степеней свободы системы.
Например, положение точки, которая движется по кривой в трехмерном пространстве, определяется временем, необходимым для достижения точки при запуске из фиксированной исходной точки. Если x, y, z - координаты точки, движение описывается параметрическим уравнением
где t - параметр и обозначает время. Такое параметрическое уравнение полностью определяет кривую без необходимости какой-либо интерпретации t как времени и, таким образом, называется параметрическим уравнением кривой (иногда его сокращают, говоря, что у него есть параметрическая кривая ). Аналогичным образом можно получить параметрическое уравнение поверхности, рассматривая функции двух параметров t и u.
Параметризации, как правило, не уникальны. Обычный трехмерный объект может быть параметризован (или "координирован") одинаково эффективно с помощью декартовых координат ( x, y, z ), цилиндрических полярных координат ( ρ, φ, z ), сферических координат ( r, φ, θ) или других системы координат.
Точно так же цветовое пространство трихроматического цветового зрения человека может быть параметризовано с точки зрения трех цветов: красного, зеленого и синего, RGB, или голубого, пурпурного, желтого и черного, CMYK.
Как правило, минимальное количество параметров, необходимых для описания модели или геометрического объекта, равно его размеру, а объем параметров - в пределах их допустимых диапазонов - представляет собой пространство параметров. Хотя хороший набор параметров позволяет идентифицировать каждую точку в пространстве объектов, может случиться так, что для данной параметризации разные значения параметров могут относиться к одной и той же точке. Такие отображения сюръективны, но не инъективны. Примером может служить пара цилиндрических полярных координат (ρ, φ, z ) и (ρ, φ + 2π, z ).
Как указывалось выше, существует произвол в выборе параметров данной модели, геометрического объекта и т. Д. Часто требуется определить внутренние свойства объекта, которые не зависят от этого произвола и поэтому не зависят от какого-либо конкретного выбора параметры. Это особенно актуально в физике, где параметризационная инвариантность (или «репараметризационная инвариантность») является руководящим принципом в поисках физически приемлемых теорий (особенно в общей теории относительности ).
Например, в то время как местоположение фиксированной точки на некоторой изогнутой линии может быть задано набором чисел, значения которых зависят от того, как параметризуется кривая, длина (определенная соответствующим образом) кривой между двумя такими фиксированными точками не будет зависеть от конкретный выбор параметризации (в данном случае: метод, с помощью которого произвольная точка на линии однозначно индексируется). Таким образом, длина кривой является параметризационно-инвариантной величиной. В таких случаях параметризация представляет собой математический инструмент, используемый для извлечения результата, значение которого не зависит от деталей параметризации и не ссылается на них. В более общем смысле, параметризационная инвариантность физической теории подразумевает, что размерность или объем пространства параметров больше, чем необходимо для описания рассматриваемой физики (количества, имеющего физическое значение).
Хотя общая теория относительности может быть выражена без ссылки на систему координат, вычисления физических (то есть наблюдаемых) величин, таких как кривизна пространства-времени, неизменно включают введение конкретной системы координат, чтобы ссылаться на точки пространства-времени, участвующие в вычислениях.. Таким образом, в контексте общей теории относительности выбор системы координат можно рассматривать как метод `` параметризации '' пространства-времени, а нечувствительность результата вычисления физически значимой величины к этому выбору можно рассматривать как пример. параметризации инвариантности.
В качестве другого примера, физические теории, наблюдаемые величины которых зависят только от относительных расстояний (отношения расстояний) между парами объектов, называются масштабно-инвариантными. В таких теориях любая ссылка в ходе вычислений на абсолютное расстояние будет означать введение параметра, относительно которого теория инвариантна.
