Орбитальные элементы

редактировать
Параметры, которые однозначно идентифицируют конкретную орбиту

Орбитальные элементы - это параметры, необходимые для однозначного идентифицировать конкретную орбиту. В небесной механике эти элементы рассматриваются в системах двух тел с использованием орбиты Кеплера. Существует много разных способов математического описания одной и той же орбиты, но определенные схемы, каждая из которых состоит из набора из шести параметров, обычно используются в астрономии и орбитальной механике.

Реальная орбита и ее элементы меняются со временем из-за гравитационных возмущений других объектов и эффектов общей теории относительности. Орбита Кеплера - это идеализированная математическая аппроксимация орбиты в определенный момент времени.

Содержание

  • 1 Кеплеровские элементы
    • 1.1 Необходимые параметры
    • 1.2 Альтернативные параметризации
      • 1.2.1 Преобразования угла Эйлера
  • 2 Прогнозирование орбиты
  • 3 Возмущения и элементная дисперсия
  • 4 Два -строчные элементы
  • 5 Переменные Делоне
  • 6 См. также
  • 7 Ссылки
  • 8 Внешние ссылки

Кеплеровские элементы

На этой диаграмме плоскость орбиты (желтый) пересекает базовую плоскость (серый). Для спутников на околоземной орбите базовой плоскостью обычно является экваториальная плоскость Земли, а для спутников на солнечных орбитах - это плоскость эклиптики. Пересечение называется линией узлов, поскольку оно соединяет центр масс с восходящим и нисходящим узлами. Базовая плоскость вместе с точкой начала координат (♈︎) устанавливает систему координат.

Традиционными элементами орбиты являются шесть кеплеровских элементов после Иоганна Кеплера и его законы движения планет.

Если смотреть из инерциальной системы, два движущихся по орбите тела прослеживают различные траектории. Каждая из этих траекторий имеет фокус в общем центре масс. Если смотреть из неинерциальной системы отсчета, центрированной на одном из тел, видна только траектория противоположного тела; Кеплеровы элементы описывают эти неинерциальные траектории. Орбита имеет два набора кеплеровских элементов в зависимости от того, какое тело используется в качестве точки отсчета. Справочное тело называется первичным, другое тело называется вторичным. Первичный элемент не обязательно обладает большей массой, чем вторичный, и даже когда тела имеют равную массу, элементы орбиты зависят от выбора первичного.

Два элемента определяют форму и размер эллипса:

  • Эксцентриситет (e) - форма эллипса, описывающая, насколько он удлинен по сравнению с кругом (не отмечен на диаграмме).
  • Большая полуось (a) - сумма расстояний периапсиса и апоапсиса, деленная на два. Для классических орбит двух тел большая полуось - это расстояние между центрами тел, а не расстояние между телами от центра масс.

Два элемента определяют ориентацию плоскости орбиты в который встроен эллипс:

  • Наклон (i) - вертикальный наклон эллипса относительно плоскости отсчета, измеренный в восходящем узле (где орбита проходит вверх через точку отсчета. плоскости, зеленый угол i на схеме). Угол наклона измеряется перпендикулярно линии пересечения плоскости орбиты и плоскости отсчета. Любые три точки на эллипсе будут определять плоскость орбиты эллипса. Плоскость и эллипс являются двухмерными объектами, определенными в трехмерном пространстве.
  • Долгота восходящего узла (Ω) - горизонтально ориентирует восходящий узел эллипса (где Орбита проходит вверх через плоскость отсчета, обозначенную) относительно точки весенней точки системы отсчета (обозначенной ♈︎). Он измеряется в базовой плоскости и показан на диаграмме как зеленый угол Ω.

Остальные два элемента следующие:

  • Аргумент перицентра (ω) определяет ориентацию эллипса в плоскость орбиты, как угол, измеренный от восходящего узла к перицентру (ближайшая точка, в которой объект-спутник подходит к основному объекту, вокруг которого он вращается, синий угол ω на диаграмме).
  • Истинная аномалия ( ν, θ или f) в эпоху (t0) определяет положение движущегося по эллипсу тела в конкретное время («эпоху»).

Средняя аномалия M представляет собой математически удобный фиктивный «угол», который линейно изменяется со временем, но не соответствует реальному геометрическому углу. Его можно преобразовать в истинную аномалию ν, которая представляет собой реальный геометрический угол в плоскости эллипса между перицентром (ближайший подход к центральному телу) и положением орбитальный объект в любой момент времени. Таким образом, истинная аномалия показана на диаграмме как красный угол ν, а средняя аномалия не показана.

Углы наклона, долготы восходящего узла и аргумента перицентр также может быть описана как углы Эйлера, определяющий ориентацию орбиты по отношению к эталонной системе координат.

Обратите внимание, что неэллиптические траектории также существуют, но они не замкнуты и, следовательно, не являются орбитами. Если эксцентриситет больше единицы, траектория представляет собой гиперболу. Если эксцентриситет равен единице, а угловой момент равен нулю, траектория будет радиальной. Если эксцентриситет равен единице и есть угловой момент, траектория представляет собой параболу.

Требуемые параметры

При инерциальной системе отсчета и произвольной эпохе (заданный момент времени) ровно шесть параметров необходимы для однозначного определения произвольной невозмущенной орбиты.

Это связано с тем, что задача содержит шесть степеней свободы. Они соответствуют трем пространственным измерениям, которые определяют положение (x, y, z в декартовой системе координат ), плюс скорость в каждом из этих измерений. Их можно описать как векторы орбитального состояния, но это часто неудобный способ представления орбиты, поэтому вместо этого обычно используются кеплеровские элементы.

Иногда эпоху считают «седьмым» орбитальным параметром, а не частью системы отсчета.

Если эпоха определяется как момент, когда один из элементов равен нулю, количество неуказанных элементов уменьшается до пяти. (Шестой параметр по-прежнему необходим для определения орбиты; он просто численно устанавливается на ноль по соглашению или "перемещается" в определение эпохи относительно реального времени.)

Альтернативные параметризации

Кеплеровские элементы могут быть получены из векторов орбитального состояния (трехмерный вектор для положения и другой для скорости) путем ручных преобразований или с помощью компьютерного программного обеспечения.

Другое Параметры орбиты могут быть вычислены на основе кеплеровских элементов, таких как период, апоапсис и периапсис. (При движении по орбите вокруг Земли последние два члена известны как апогей и перигей.) Обычно в наборах кеплеровских элементов указывается период вместо большой полуоси, поскольку каждый из них может быть вычислен на основе другого при условии для центрального тела задан стандартный гравитационный параметр GM.

Вместо средней аномалии в эпохе, средней аномалии M, средней долготы, истинно аномалия ν0или (редко) эксцентрическая аномалия может использоваться.

Использование, например, «средней аномалии» вместо «средней аномалии в эпоху» означает, что время t должно быть указано как седьмой элемент орбиты. Иногда предполагается, что средняя аномалия равна нулю в эпоху (путем выбора соответствующего определения эпохи), оставляя только пять других орбитальных элементов, которые необходимо указать.

Для различных астрономических тел используются разные наборы элементов. Эксцентриситет e и либо большая полуось, a, либо расстояние до перицентра, q, используются для определения формы и размера орбиты. Угол восходящего узла, Ω, наклон, i, и аргумент периапсиса, ω, или долгота перицентра,, определяют ориентацию орбиты в ее плоскости. Либо долгота в эпоху, L 0, средняя аномалия в эпоху, M 0, либо время прохождения перигелия, T 0, используются для определения известная точка на орбите. Сделанный выбор зависит от того, используется ли весеннее равноденствие или узел в качестве основного ориентира. Большая полуось известна, если известны среднее движение и гравитационная масса.

Также довольно часто можно увидеть либо среднюю аномалию (M), либо среднюю долготу (L) выражается непосредственно, без либо M 0, либо L 0 в качестве промежуточных шагов, как полиномиальная функция по времени. Этот метод выражения объединит среднее движение (n) в полином как один из коэффициентов. Похоже, что L или M выражаются более сложным образом, но нам понадобится на один элемент орбиты меньше.

Среднее движение также может быть скрыто за указанием периода обращения P.

Наборы орбитальных элементов
ОбъектИспользуемые элементы
Большая планетаe, a, i, Ω, ϖ, L0
Кометаe, q, i, Ω, ω, T 0
Астероидe, a, i, Ω, ω, M0
Двухлинейные элементыe, i, Ω, ω, n, M 0

преобразования углов Эйлера

Углы Ω, i, ω - углы Эйлера (α, β, γ с обозначениями этой статьи), характеризующие ориентацию системы координат

x̂, ŷ, ẑ из инерциальной системы координат Î, Ĵ, K̂

где:

  • Î, Ĵ находится в экваториальной плоскости центрального тела. Î находится в направлении весеннего равноденствия. Перпендикулярно Î и с помощью Î определяет базовую плоскость. K̂ перпендикулярен плоскости отсчета. Орбитальные элементы тел (планет, комет, астероидов,...) в Солнечной системе обычно используют эклиптику в качестве этой плоскости.
  • x̂, ŷ находятся в орбитальной плоскости и с x̂ по направлению к перицентру (перицентру ). ẑ перпендикулярно плоскости орбиты. взаимно перпендикулярно x̂ и ẑ.

Тогда преобразование системы координат Î, Ĵ, K̂ в систему координат x̂, ŷ, ẑ с углами Эйлера Ω, i, ω имеет вид:

x 1 = cos ⁡ Ω ⋅ cos ⁡ ω - sin ⁡ Ω ⋅ cos ⁡ i ⋅ sin ⁡ ω; x 2 = sin ⁡ Ω ⋅ cos ⁡ ω + cos ⁡ Ω ⋅ cos ⁡ i sin ⁡ ω; х 3 = грех ⁡ я ⋅ грех ⁡ ω; y 1 = - cos ⁡ Ω ⋅ sin ⁡ ω - sin ⁡ Ω ⋅ cos ⁡ i ⋅ cos ⁡ ω; y 2 = - sin ⁡ Ω ⋅ sin ⁡ ω + cos ⁡ Ω ⋅ cos ⁡ i ⋅ cos ⁡ ω; y 3 = sin ⁡ i ⋅ cos ⁡ ω; z 1 = sin ⁡ i ⋅ sin ⁡ Ω; z 2 = - sin ⁡ i ⋅ cos ⁡ Ω; z 3 = cos ⁡ i; {\ Displaystyle {\ begin {align} x_ {1} = \ cos \ Omega \ cdot \ cos \ omega - \ sin \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ sin \ omega \; \\ x_ {2} = \ sin \ Omega \ cdot \ cos \ omega + \ cos \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ sin \ omega \; \\ x_ {3} = \ sin i \ cdot \ sin \ omega; \\\, \\ y_ {1} = - \ cos \ Omega \ cdot \ sin \ omega - \ sin \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ cos \ omega \; \\ y_ {2} = - \ sin \ Омега \ cdot \ sin \ omega + \ cos \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ cos \ omega \; \\ y_ {3} = \ sin i \ cdot \ cos \ omega \; \\\, \\ z_ {1} = \ sin i \ cdot \ sin \ Omega \; \\ z_ {2} = - \ sin i \ cdot \ cos \ Omega \; \\ z_ {3} = \ cos i \; \\\, \ end {align}}}{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} x_ {1} = \ cos \ Omega \ cdot \ cos \ omega - \ sin \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ sin \ omega \; \\ x_ {2} = \ sin \ Omega \ cdot \ cos \ omega + \ cos \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ sin \ omega \; \\ x_ {3} = \ sin i \ cdot \ sin \ omega; \\\, \\ y_ {1} = - \ cos \ Omega \ cdot \ sin \ omega - \ sin \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ cos \ омега \; \\ y_ {2} = - \ sin \ Omega \ cdot \ sin \ omega + \ cos \ Omega \ cdot \ cos i \ cdot \ cos \ omega \; \\ y_ {3} = \ sin я \ cdot \ cos \ omega \; \\\, \\ z_ {1} = \ sin i \ cdot \ sin \ Omega \; \\ z_ {2} = - \ sin i \ cdot \ cos \ Omega \; \\ z_ {3} = \ соз я \; \\\, \ end {выровнено}}}
[x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3] = [cos ⁡ ω sin ⁡ ω 0 - sin ⁡ ω cos ⁡ ω 0 0 0 1] [1 0 0 0 cos ⁡ i sin ⁡ i 0 - sin ⁡ i cos ⁡ i] [cos ⁡ Ω sin ⁡ Ω 0 - sin ⁡ Ω cos ⁡ Ω 0 0 0 1]; {\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {ccc} x_ {1} x_ {2} x_ {3} \\ y_ {1} y_ {2} y_ {3} \\ z_ {1} z_ {2} } z_ {3} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {ccc} \ cos \ omega \ sin \ omega 0 \\ - \ sin \ omega \ cos \ omega 0 \\ 0 0 1 \ end {array}} \ right] \, \ left [{\ begin {array} {ccc} 1 0 0 \\ 0 \ cos i \ sin i \\ 0 - \ sin i \ cos i \ end {массив }} \ right] \, \ left [{\ begin {array} {ccc} \ cos \ Omega \ sin \ Omega 0 \\ - \ sin \ Omega \ cos \ Omega 0 \\ 0 0 1 \ end {array} } \ right] \,;}{\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {ccc} x_ {1} x_ {2} x_ {3} \\ y_ {1} y_ {2} y_ {3} \\ z_ {1} } z_ {2} z_ {3} \ end {array}} \ right] = \ left [{\ begin {array} {ccc} \ cos \ omega \ sin \ omega 0 \\ - \ sin \ omega \ cos \ omega 0 \\ 0 0 1 \ end {array}} \ right] \, \ left [{\ begin {array} {ccc} 1 0 0 \\ 0 \ cos i \ sin i \\ 0 - \ sin i \ cos i \ end {array}} \ right] \, \ left [{\ begin {array} {ccc} \ cos \ Omega \ sin \ Omega 0 \\ - \ sin \ Omega \ cos \ Omega 0 \\ 0 0 1 \ конец {массив}} \ right] \,;}

где

x ^ = x 1 I ^ + x 2 J ^ + x 3 K ^; y ^ = y 1 I ^ + y 2 J ^ + y 3 K ^; г ^ знак равно г 1 я ^ + г 2 J ^ + г 3 К ^. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {x}} = x_ {1} {\ hat {I}} + x_ {2} {\ hat {J}} + x_ {3} {\ hat { K}} \; \\ {\ hat {y}} = y_ {1} {\ hat {I}} + y_ {2} {\ hat {J}} + y_ {3} {\ hat {K} } \; \\ {\ hat {z}} = z_ {1} {\ hat {I}} + z_ {2} {\ hat {J}} + z_ {3} {\ hat {K}} \. \\\, \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {x}} = x_ {1} {\ hat {I}} + x_ {2} {\ hat {J}} + x_ {3} {\ hat {K}} \; \\ {\ hat {y}} = y_ { 1} {\ hat {I}} + y_ {2} {\ hat {J}} + y_ {3} {\ hat {K}} \; \\ {\ hat {z}} = z_ {1} {\ hat {I}} + z_ {2} {\ hat {J}} + z_ {3} {\ hat {K}} \. \\\, \ end {align}}}

Обратное преобразование, которое вычисляет 3 координаты в системе IJK с учетом 3 (или 2) координат в системе xyz, представлено обратной матрицей. Согласно правилам алгебры матриц , обратная матрица произведения трех матриц вращения получается путем инвертирования порядка трех матриц и переключения знаков трех углов Эйлера.

Преобразование из x̂, ŷ, ẑ в углы Эйлера Ω, i, ω:

Ω = arg ⁡ (- z 2, z 1) i = arg ⁡ (z 3, z 1 2 + Z 2 2) ω знак равно ар ⁡ (Y 3, Икс 3) {\ Displaystyle {\ begin {Выровнено} \ Omega = \ OperatorName {arg} \ left (-z_ {2}, z_ {1} \ right) \\ i = \ operatorname {arg} \ left (z_ {3}, {\ sqrt {{z_ {1}} ^ {2} + {z_ {2}} ^ {2}}} \ right) \\\ omega = \ operatorname {arg} \ left (y_ {3}, x_ {3} \ right) \\\, \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ Omega = \ operatorname {arg} \ left (-z_ {2}, z_ {1} \ right) \\ i = \ operatorname {arg} \ left (z_ {3}, { \ sqrt {{z_ {1 }} ^ {2} + {z_ {2}} ^ {2}}} \ right) \\\ omega = \ operatorname {arg} \ left (y_ {3}, x_ {3} \ right) \\ \, \ конец {выровнено}}}

где arg (x, y) обозначает полярный аргумент, который может можно вычислить с помощью стандартной функции atan2(y,x) , доступной во многих языках программирования.

Прогнозирование орбиты

В идеальных условиях идеально сферического центрального тела и нулевых возмущений все элементы орбиты, кроме средней аномалии, являются постоянными. Средняя аномалия изменяется линейно со временем, масштабируемая как среднее движение,

n = μ a 3. {\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}}.}{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}}.}

Следовательно, если в любой момент t 0 параметры орбиты равны [e 0, a 0, i 0, Ω 0, ω 0, M 0 ], то элементы в момент времени t = t 0 + δt задаются как [e 0, a 0, i 0, Ω 0, ω 0, M 0 + n δt]

Возмущения и дисперсия элементов

Невозмущенный, двухчастичные, ньютоновские орбиты всегда являются коническими секциями, поэтому кеплеровские элементы определяют эллипс, параболу или гипербола. Реальные орбиты имеют возмущения, поэтому данный набор кеплеровских элементов точно описывает орбиту только в эпоху. Эволюция орбитальных элементов происходит из-за гравитационного притяжения тел, отличных от первичного, несферичности первичного, атмосферного сопротивления, релятивистские эффекты, радиационное давление, электромагнитные силы и т. Д.

Кеплеровские элементы часто можно использовать для получения полезных предсказаний, иногда близких к эпохе. В качестве альтернативы, реальные траектории могут быть смоделированы как последовательность кеплеровских орбит, которые соприкасаются («целуются» или касаются) реальной траектории. Они также могут быть описаны с помощью так называемых дифференциальных уравнений, которые имеют различные формы, разработанные Лагранж, Гаусс, Делоне, Пуанкаре <162.>или Hill.

Двухстрочные элементы

Параметры кеплеровских элементов могут быть закодированы как текст в нескольких форматах. Наиболее распространенным из них является формат NASA /NORAD «двустрочные элементы» (TLE), изначально разработанный для использования с перфокартами с 80 столбцами, но все еще используется, потому что это наиболее распространенный формат, и с ним легко справляются все современные хранилища данных.

В зависимости от приложения и орбиты объекта данные, полученные из TLE старше 30 дней, могут стать ненадежными. Орбитальные позиции могут быть вычислены из TLE с помощью алгоритмов SGP / SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8.

Пример двухстрочного элемента:

1 27651U 03004A 07083.49636287.00000119 00000-0 30706-4 0 2692 2 27651 039.9951 132.2059 0025931 073.4582 286.9047 14.81909376225249

Переменные Делоне

Переменные Делоне, обычно называемые орбитальными элементами - координаты угла действия, состоящие из аргумента перицентра, средней аномалии и долготы восходящего узла, а также их сопряженные импульсы. Они используются для упрощения пертурбативных вычислений в небесной механике, например, при исследовании колебаний Козая – Лидова в иерархических тройных системах. Они были введены Шарлем-Эженом Делоне во время его изучения движения Луны.

См. Также

Ссылки

  • Gurfil, Pini (2005). «Параметры Эйлера как неособые элементы орбиты в приэкваториальных орбитах». J. Guid. Contrl. Динамика. 28 (5). Bibcode : 2005JGCD... 28.1079G. doi : 10.2514 / 1.14760.

Внешние ссылки

В Викиучебнике есть книга на тему: Астродинамика / Классические элементы орбиты
Последняя правка сделана 2021-06-01 13:57:08
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте