Наблюдаемость

редактировать

В теории управления, наблюдаемость - это мера того, насколько хорошо внутренние состояния система может быть выведена из информации о ее внешних выходах. Наблюдаемость и управляемость линейной системы математически двойственны . Понятие наблюдаемости было введено венгерско-американским инженером Рудольфом Э. Кальманом для линейных динамических систем. Динамическая система, предназначенная для оценки состояния системы на основе измерений выходных сигналов, называется наблюдателем состояния или просто наблюдателем для этой системы.

Содержание

1 Определение
2 Линейные неизменяющиеся во времени системы
- 2.1 Матрица наблюдаемости
- 2.2 Понятия, связанные с данным
  - 2.2.1 Индекс наблюдаемости
  - 2.2.2 Ненаблюдаемое подпространство
  - 2.2.3 Обнаруживаемость
3 Линейные нестационарные системы
- 3.1 Обобщение матрицы наблюдаемости
  - 3.1.1 Пример
4 Нелинейные системы
5 Статические системы и общие топологические пространства
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Определение

Рассмотрим физическую систему, смоделированную в представлении пространства состояний. Система называется наблюдаемой, если для любой возможной эволюции векторов состояния и управления текущее состояние может быть оценено с использованием только информации с выходов (физически это обычно соответствует информация, полученная датчиками ). Другими словами, можно определить поведение всей системы по ее выходным данным. С другой стороны, если система не является наблюдаемой, существуют траектории состояний, которые нельзя различить, измеряя только выходы.

Линейные неизменяющиеся во времени системы

Для неизменных во времени линейных систем в представлении пространства состояний существуют удобные тесты для проверки того, является ли система наблюдаемой. Рассмотрим систему SISO с $n {\ displaystyle n}$ $n$ переменными состояния (см. пространство состояний для получения подробной информации о системах MIMO ) задано как

Икс ˙ (T) = A Икс (T) + В U (T) {\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (T) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t)}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = \ mathbf {A} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {B} \ mathbf {u} (t)}

y (t) = C x (t) + D u (t) {\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {C} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {D} \ mathbf {u} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = \ mathbf {C} \ mathbf {x} (t) + \ mathbf {D} \ mathbf {u} (t)}

Матрица наблюдаемости

Если строка ранг матрица наблюдаемости, определенная как

O = [CCACA 2 ⋮ CA n - 1] {\ displaystyle {\ mathcal {O}} = {\ begin {bmatrix} C \\ CA \\ CA ^ {2} \\\ vdots \\ CA ^ {n-1} \ end {bmatrix}}}

{\ mathcal {O}} = {\ begin {bmatrix} C \\ CA \\ CA ^ {2} \\\ vdots \\ CA ^ {n-1} \ end {bmatrix}}

равно $n {\ displaystyle n}$ $n$ , тогда система является наблюдаемой. Обоснование этого теста состоит в том, что если $n {\ displaystyle n}$ $n$ строки линейно независимы, то каждая из $n {\ displaystyle n}$ $n$ переменных состояния является можно просматривать с помощью линейных комбинаций выходных переменных $y {\ displaystyle y}$ $y$ .

Понятия, связанные с данным

Индекс наблюдаемости

Индекс наблюдаемости $v {\ displaystyle v}$ $v$ линейной постоянной дискретной системы - это наименьшее натуральное число, для которого выполняется следующее: $rank (O v) = rank (O v + 1) {\ displaystyle {\ text {rank}} {({\ mathcal {O}} _ {v})} = {\ text {rank}} {({\ mathcal {O}} _ {v + 1})}}$ ${\ displaystyle {\ text {rank}} {({\ mathcal {O}} _ {v })} = {\ text {rank}} {({\ mathcal {O}} _ {v + 1})}}$ , где

O v = [CCACA 2 ⋮ CA v - 1]. {\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {v} = {\ begin {bmatrix} C \\ CA \\ CA ^ {2} \\\ vdots \\ CA ^ {v-1} \ end {bmatrix} }.}

{\ mathcal {O}} _ {v} = {\ begin {bmatrix} C \\ CA \\ CA ^ {2} \\\ vdots \\ CA ^ {{v-1}} \ end {bmatrix}}.

Ненаблюдаемое подпространство

Ненаблюдаемое подпространство $N {\ displaystyle N}$ $N$ линейной системы является ядром линейной карты $G {\ displaystyle G}$ $G$ , задаваемый

$G: R n → C (R; R n) x (0) ↦ C e A tx (0) {\ displaystyle {\ begin {align} G \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow {\ mathcal {C}} (\ mathbb {R}; \ mathbb {R} ^ {n}) \\ x (0) \ mapsto Ce ^ {At} x (0) \\\ конец {выровнен}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} G \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow {\ mathcal {C}} (\ mathbb {R}; \ mathbb {R} ^ {n}) \\ x (0) \ mapsto Ce ^ {At} x (0) \\\ end { выровнено}}}$

где $C (R; R n) {\ displaystyle {\ mathcal {C}} (\ mathbb {R}; \ mathbb {R} ^ { n})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (\ mathbb {R}; \ mathbb {R} ^ {n})}$ - это набор непрерывных функций от $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ до $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {n}$ . $N {\ displaystyle N}$ $N$ также можно записать как

N = ⋂ k = 0 n - 1 ker ⁡ (CA k) = ker ⁡ O {\ displaystyle N = \ bigcap _ {k = 0} ^ {n-1} \ ker (CA ^ {k}) = \ ker {\ mathcal {O}}}

{\ displaystyle N = \ bigcap _ {k = 0} ^ {n-1} \ ker (CA ^ {k}) = \ k э {\ mathcal {O}}}

Поскольку система наблюдаема тогда и только тогда, когда $ранг ⁡ (O) = n {\ display style \ mathop {\ mathrm {rank}} ({\ mathcal {O}}) = n}$ ${\ displaystyle \ mathop {\ mathrm {rank} } ({\ mathcal {O}}) = n}$ , система наблюдаема тогда и только тогда, когда $N {\ displaystyle N}$ $N$ - нулевое подпространство.

Следующие свойства ненаблюдаемого подпространства действительны:

$N ⊂ K e (C) {\ displaystyle N \ subset Ke (C)}$ ${\ displaystyle N \ subset Ke (C)}$
$A (N) ⊂ N {\ displaystyle A (N) \ подмножество N}$ ${\ displaystyle A (N) \ subset N}$
$N = ⋃ {S ⊂ R n ∣ S ⊂ K e (C), A (S) ⊂ N} {\ displaystyle N = \ bigcup {\ {S \ subset R ^ { n} \ mid S \ subset Ke (C), A (S) \ subset N \}}}$ ${\ displaystyle N = \ bigcup {\ {S \ subset R ^ {n} \ mid S \ subset Ke (C), A (S) \ subset N \}}}$

Обнаруживаемость

Обнаруживаемость несколько более слабое понятие, чем наблюдаемость. Система обнаруживается, если все ненаблюдаемые состояния стабильны.

Условия обнаруживаемости важны в контексте сенсорных сетей.

Нелинейных наблюдателей

скользящий режим, и кубические наблюдатели могут применяться для оценки состояния линейных систем, инвариантных во времени, если система наблюдаема и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.

Линейные нестационарные системы

Рассмотрим непрерывную линейную изменяющуюся во времени систему

x ˙ (t) = A (T) Икс (T) + В (T) U (T) {\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (t) = A (t) \ mathbf {x} (t) + B (t) \ mathbf {u} (t) \,}

{\ dot {{\ mathbf {x}}}} (t) = A (t) {\ mathbf {x}} (t) + B (t) {\ mathbf {u}} (t) \,

y (t) = C (t) x (t). {\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = C (t) \ mathbf {x} (t). \,}

{\ mathbf {y}} (t) = C (t) {\ mathbf {x}} (t). \,

Предположим, что матрицы $A {\ displaystyle A}$ $A$ , $B {\ displaystyle B}$ $B$ и $C {\ displaystyle C}$ $C$ , а также входы и выходы $u {\ displaystyle u}$ $u$ и $y {\ displaystyle y}$ $y$ для всех $t ∈ [t 0, t 1]; {\ displaystyle t \ in [t_ {0}, t_ {1}];}$ ${\ displaystyle t \ in [t_ {0}, t_ {1 }];}$ тогда можно определить $x (t 0) {\ displaystyle x (t_ {0})}$ $x (t_ {0})$ с точностью до аддитивного постоянного вектора, который находится в нулевом пространстве из $M (t 0, t 1) {\ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1}))}$ $M (t_ {0}, t_ {1})$ определяется как

M (t 0, t 1) = ∫ t 0 t 1 ϕ (t, t 0) TC (t) TC (t) ϕ (t, t 0) dt {\ Displaystyle М (т_ {0}, т_ {1}) = \ int _ {т_ {0}} ^ {т_ {1}} \ phi (т, т_ {0}) ^ {Т} С (т) ^ {T} C (t) \ phi (t, t_ {0}) dt}

M (t_ {0}, t_ {1}) = \ int _ {{t_ {0}}} ^ {{t_ {1 }}} \ phi (t, t_ {0}) ^ {{T}} C (t) ^ {{T}} C (t) \ phi (t, t_ {0}) dt

где $ϕ {\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ - матрица перехода между состояниями.

Можно определить уникальный $x (t 0) {\ displaystyle x (t_ {0})}$ $x (t_ {0})$ , если $M (t 0, t 1) {\ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ $M (t_ {0}, t_ {1})$ является несингулярным. Фактически, невозможно отличить начальное состояние для $x 1 {\ displaystyle x_ {1}}$ $x_ {1}$ от состояния $x 2 {\ displaystyle x_ {2}}$ $x_ {2}$ , если $x 1 - x 2 {\ displaystyle x_ {1} -x_ {2}}$ $x_ {1} -x_ {2}$ находится в пустом пространстве $M (t 0, t 1) { \ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ $M (t_ {0}, t_ {1})$ .

Обратите внимание, что матрица $M {\ displaystyle M}$ $M$ , определенная, как указано выше, имеет следующие свойства:

$M ( t 0, t 1) {\ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ $M (t_ {0}, t_ {1})$ является симметричным
$M (t 0, t 1) {\ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ $M (t_ {0}, t_ {1})$ является положительным полуопределенным для $t 1 ≥ t 0 {\ displaystyle t_ {1} \ geq t_ {0}}$ $t_ {1} \ geq t_ {0}$
$M (t 0, t 1) {\ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ $M (t_ {0}, t_ {1})$ удовлетворяет линейному матричному дифференциальному уравнению

ddt M (t, t 1) = - A (t) TM (t, t 1) - M (t, t 1) A (t) - C (t) TC (t), M (t 1, t 1) = 0 {\ displaystyle { \ frac {d} {dt}} M (t, t_ {1}) = - A (t) ^ {T} M (t, t_ {1}) - M (t, t_ {1}) A (t) -C (t) ^ {T} C (t), \; M (t_ {1}, t_ {1}) = 0}

{\ frac {d} {dt}} M (t, t_ {1}) = - A (t) ^ {{T}} M (t, t_ {1}) - M (t, t_ {1}) A (t) -C (t) ^ {{T}} C (t), \; M (t_ {1}, t_ {1}) = 0

$M (t 0, t 1) {\ display стиль M (t_ {0}, t_ {1})}$ $M (t_ {0}, t_ {1})$ удовлетворяет уравнению

M (t 0, t 1) = M (t 0, t) + ϕ (t, t 0) TM (t, t 1) ϕ (t, t 0) {\ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1}) = M (t_ {0}, t) + \ phi (t, t_ {0}) ^ {T} M (t, t_ {1}) \ phi (t, t_ {0})}

M (t_ {0}, t_ {1}) = M ( t_ {0}, t) + \ phi (t, t_ {0}) ^ {T} M (t, t_ {1}) \ phi (t, t_ {0})

Обобщение матрицы наблюдаемости

Система наблюдаема в [ $t 0 {\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , $t 1 {\ displaystyle t_ {1}}$ $t_ {1}$ ] тогда и только тогда, когда существует интервал [ $t 0 {\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , $t 1 {\ displaystyle t_ {1}}$ $t_ {1}$ ] в $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ такой, что матрица $M (t 0, t 1) {\ displaystyle M (t_ {0}, t_ {1})}$ $M (t_ {0}, t_ {1})$ неособое число.

Если $A (t), C (t) {\ displaystyle A (t), C (t)}$ ${\ displaystyle A (t), C (t)}$ являются аналитическими, то система является наблюдаемой в интервале [ $t 0 {\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , $t 1 {\ displaystyle t_ {1}}$ $t_ {1}$ ], если существует $t ¯ ∈ [t 0, t 1] { \ displaystyle {\ bar {t}} \ in [t_ {0}, t_ {1}]}$ ${\ displaystyle {\ bar {t}} \ in [t_ {0}, t_ {1}]}$ и положительное целое число k такое, что

rank [N 0 (t ¯) N 1 ( t ¯): N К (t ¯)] = n, {\ displaystyle rank {\ begin {bmatrix} N_ {0} ({\ bar {t}}) \\ N_ {1} ({\ bar {t }}) \\ : \\ N_ {k} ({\ bar {t}}) \ end {bmatrix}} = n,}

{\ displaystyle rank {\ begin {bmatrix} N_ {0} ({\ bar {t}}) \\ N_ {1} ({\ bar {t}}) \\ : \\ N_ {k} ({\ bar {t}}) \ end {bmatrix}} = n,}

где $N 0 (t): = C (t) {\ displaystyle N_ {0} (t): = C (t)}$ ${\ displaystyle N_ { 0} (t): = C (t)}$ и $N i (t) {\ displaystyle N_ {i} (t)}$ $N_ {i} (t)$ определяется рекурсивно как

N i + 1 (t): = N i (t) A (t) + ddt N i (t), i = 0,…, k - 1 {\ displaystyle N_ {i +1} (t): = N_ {i} (t) A (t) + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} N_ {i} (t), \ i = 0, \ ldots, k-1}

{\ displaystyle N_ {i + 1} (t): = N_ {i} (t) A (t) + { \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} N_ {i} (t), \ i = 0, \ ldots, k-1}

Пример

Рассмотрим систему, меняющуюся аналитически в $(- ∞, ∞) {\ displaystyle (- \ infty, \ infty)}$ ${\ displaystyle (- \ infty, \ infty)}$ и матрицы

$A (t) = [t 1 0 0 t 3 0 0 0 t 2] {\ displaystyle A (t) = {\ begin {bmatrix} t 1 0 \\ 0 t ^ {3} 0 \\ 0 0 t ^ {2} \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle A (t) = {\ begin {bmatrix} t 1 0 \\ 0 t ^ {3} 0 \\ 0 0 t ^ {2} \ end {bmatrix} }}$ , $C (t) = [1 0 1]. {\ displaystyle C (t) = {\ begin {bmatrix} 1 0 1 \ end {bmatrix}}.}$ ${\ displaystyle C (t) = {\ begin {bmatrix} 1 0 1 \ end {bmatrix}}.}$

Тогда $[N 0 (0) N 1 (0) N 2 (0)] = [1 0 1 0 1 0 1 0 0] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} N_ {0} (0) \\ N_ {1} (0) \\ N_ {2} (0) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 1 \\ 0 1 0 \\ 1 0 0 \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} N_ {0} (0) \\ N_ {1} (0) \\ N_ {2} (0) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 1 \\ 0 1 0 \\ 1 0 0 \ end {bmatrix}}}$ , и поскольку эта матрица имеет ранг = 3, система наблюдаема на каждом нетривиальном интервале $R { \ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ .

Нелинейные системы

Учитывая систему $x ˙ = f (x) + ∑ j = 1 mgj (x) uj {\ displaystyle {\ dot {x) }} = е (х) + \ сумма _ {j = 1} ^ {m} g_ {j} (x) u_ {j}}$ ${\ dot { х}} = е (х) + \ сумма _ {{j = 1}} ^ {m} g_ {j} (x) u_ {j}$ , $yi = hi (x), i ∈ p {\ displaystyle y_ { i} = h_ {i} (x), i \ in p}$ $y_ {i} = h_ {i} (x), i \ in p$ . Где $x ∈ R n {\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ n$ вектор состояния, $u ∈ R m {\ displaystyle u \ in \ mathbb { R} ^ {m}}$ $u \ in {\ mathbb {R}} ^ {m}$ вектор входа и $y ∈ R p {\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ $y \ in {\ mathbb {R}} ^ {p}$ вектор вывода. $f, g, h {\ displaystyle f, g, h}$ $f, g, h$ должны быть гладкими векторными полями.

Определите пространство наблюдения $O s {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {s}}$ ${\ mathcal {O}} _ {s}$ как пространство, содержащее все повторяющиеся производные Ли, то система наблюдаема в $x 0 {\ displaystyle x_ {0}}$ $x_ {0}$ тогда и только тогда, когда $dim (d O s (x 0)) = n {\ displaystyle { \ textrm {dim}} (d {\ mathcal {O}} _ {s} (x_ {0})) = n}$ ${\ textrm {dim}} (d {\ mathcal {O}} _ {s} (x_ {0})) = n$ .

Примечание: $d O s (x 0) = span (dh 1 ( x 0),…, dhp (x 0), d L vi L vi - 1,…, L v 1 hj (x 0)), j ∈ p, k = 1, 2,…. {\ displaystyle d {\ mathcal {O}} _ {s} (x_ {0}) = \ mathrm {span} (dh_ {1} (x_ {0}), \ ldots, dh_ {p} (x_ {0}) }), dL_ {v_ {i}} L_ {v_ {i-1}}, \ ldots, L_ {v_ {1}} h_ {j} (x_ {0})), \ j \ in p, k = 1,2, \ ldots.}$ $d {\ mathcal {O}} _ {s} (x_ {0}) = {\ mathrm {span}} (dh_ {1} (x_ {0}), \ ldots, dh_ {p} (x_ {0})), dL _ {{v_ {i}}} L _ {{v _ {{i-1}}}}, \ ldots, L _ {{v_ {1}}} h_ {j} (x_ {0})), \ j \ in p, k = 1,2, \ ldots.$

Ранние критерии наблюдаемости в нелинейных динамических системах были открыты Гриффитом и Кумаром, Ку, Эллиотом и Тарном и Сингхом.

Статические системы и общие топологические пространства

Наблюдаемость также может быть охарактеризована для систем в установившемся состоянии (системы, обычно определяемые в терминах алгебраических уравнений и неравенств) или, в более общем плане, для множеств в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Так же, как критерии наблюдаемости используются для прогнозирования поведения фильтров Калмана или других наблюдателей в случае динамической системы, критерии наблюдаемости для множеств в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} }$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ используются для прогнозирования поведения согласования данных и других статических оценщиков. В нелинейном случае наблюдаемость может быть охарактеризована для отдельных переменных, а также для поведения локальной оценки, а не только для глобального поведения.