В теории управления и теории устойчивости, то критерий устойчивости Найквиста или критерий устойчивости Стрекер-Найквиста, независимо друг от друга обнаружили, немецким инженером - электриком Феликса Штрекера [ де ] в Siemens в 1930 и шведско-американский инженер - электрик Гарри Найквиста в Bell Telephone Laboratories в 1932 году, представляет собой графический метод для определения стабильности в виде динамической системы. Поскольку он смотрит только на график Найквиста для систем с разомкнутым контуром, его можно применять без явного вычисления полюсов и нулей замкнутой или разомкнутой системы (хотя количество сингулярностей в правой полуплоскости каждого типа должно быть известно). В результате его можно применять к системам, определяемым нерациональными функциями, например к системам с задержками. В отличие от графиков Боде, он может обрабатывать передаточные функции с особенностями правой полуплоскости. Кроме того, существует естественное обобщение для более сложных систем с множеством входов и выходов, таких как системы управления самолетами.
Критерий Найквиста широко используется в электронике и проектировании систем управления, а также в других областях для проектирования и анализа систем с обратной связью. Хотя Найквист является одним из наиболее общих тестов на стабильность, он по-прежнему ограничен линейными инвариантными во времени (LTI) системами. Нелинейные системы должны использовать более сложные критерии устойчивости, такие как критерий Ляпунова или критерий круга. Хотя Найквист представляет собой графический метод, он дает лишь ограниченное представление о том, почему система является стабильной или нестабильной, или как изменить нестабильную систему, чтобы сделать ее стабильной. Такие методы, как графики Боде, хотя и менее общие, иногда являются более полезным инструментом проектирования.
Афчх представляет собой параметрическое участок частотного отклика, используемый в автоматическом управлении и обработке сигналов. Чаще всего графики Найквиста используются для оценки стабильности системы с обратной связью. В декартовой системе координат, то действительная часть из передаточной функции строится на X оси Оу. Мнимая часть нанесена на Y оси. Частота качается как параметр, в результате чего получается график для каждой частоты. Тот же график можно описать с помощью полярных координат, где усиление передаточной функции - это радиальная координата, а фаза передаточной функции - соответствующая угловая координата. Сюжет Найквиста назван в честь Гарри Найквиста, бывшего инженера Bell Laboratories.
Оценка устойчивости замкнутой системы отрицательной обратной связи выполняется путем применения критерия устойчивости Найквиста к графику Найквиста разомкнутой системы (то есть той же системы без ее обратной связи ). Этот метод легко применим даже для систем с задержками и другими нерациональными передаточными функциями, которые могут оказаться трудными для анализа другими методами. Устойчивость определяется по количеству окружностей точки (−1, 0). Диапазон коэффициентов усиления, в котором система будет стабильной, можно определить, глядя на пересечения реальной оси.
График Найквиста может предоставить некоторую информацию о форме передаточной функции. Так, например, участок содержит информацию о разности между числом нулей и полюсов в передаточной функции на угол, при котором кривая приближается к началу координат.
При рисовании от руки иногда используется мультяшная версия графика Найквиста, которая показывает линейность кривой, но где координаты искажены, чтобы показать больше деталей в интересующих областях. При построении графиков с помощью вычислений нужно быть осторожным, чтобы охватить все интересующие частоты. Обычно это означает, что параметр изменяется логарифмически, чтобы охватить широкий диапазон значений.
Мы рассматриваем систему, передаточная функция которой: при размещении в замкнутом контуре с отрицательной обратной связью, то функция замкнутой петли передачи (CLTF) становится. Стабильность можно определить, исследуя корни полинома коэффициента нечувствительности, например, используя массив Рауса, но этот метод несколько утомителен. Выводы также можно сделать, исследуя передаточную функцию разомкнутого контура (OLTF), используя ее графики Боде или, как здесь, ее полярный график с использованием критерия Найквиста, как показано ниже.
Любую передаточную функцию области Лапласа можно выразить как отношение двух полиномов :
Корни называются нулями из, и корней являются полюсами из. Полюса также называют корнями характеристического уравнения.
Устойчивость определяется значениями его полюсов: для устойчивости действительная часть каждого полюса должна быть отрицательной. Если формируется путем замыкания контура обратной связи с отрицательной единицей вокруг передаточной функции разомкнутого контура, то корни характеристического уравнения также являются нулями или просто корнями.
Из комплексного анализа контур, нарисованный на комплексной плоскости, охватывающий, но не проходящий через какое-либо количество нулей и полюсов функции, может быть отображен функцией на другую плоскость (названную плоскость). Точнее, каждая сложная точка контура сопоставляется с точкой на новой плоскости, образуя новый контур.
Найквиста участок, который является контур будет окружать точку из плоскости времени, где по принципу аргумента Коши. Здесь и - соответственно количество нулей и полюсов внутри контура. Обратите внимание, что мы считаем окружности на плоскости в том же смысле, что и контур, и что окружения в противоположном направлении являются отрицательными окружностями. То есть мы считаем окружности по часовой стрелке положительными, а окружности против часовой стрелки - отрицательными.
Вместо принципа аргумента Коши в оригинальной статье Гарри Найквиста 1932 года используется менее элегантный подход. Подход, описанный здесь, аналогичен подходу, используемому Лерой Макколлом (Фундаментальная теория сервомеханизмов, 1945) или Хендриком Боде (Сетевой анализ и конструкция усилителя с обратной связью, 1945), оба из которых также работали в Bell Laboratories. Этот подход встречается в большинстве современных учебников по теории управления.
Сначала мы построим контур Найквиста, контур, охватывающий правую половину комплексной плоскости:
Контур Найквиста, отображаемый с помощью функции, дает график в комплексной плоскости. Согласно принципу аргумента, количество окружностей начала координат по часовой стрелке должно быть количеством нулей в правой половине комплексной плоскости минус количество полюсов в правой половине комплексной плоскости. Если вместо этого, контура отображается через передаточную функцию разомкнутого контура, результат является афчм из. Подсчитывая окружности результирующего контура, равные −1, мы находим разницу между количеством полюсов и нулей в правой половине комплексной плоскости. Вспоминая, что нули являются полюсами замкнутой системы, и отмечая, что полюсы такие же, как и полюсы, мы формулируем критерий Найквиста:
Для данного контура Найквиста, пусть будет количество полюсов в окружении, и быть количеством нулей в окружении. В качестве альтернативы, что более важно, если - количество полюсов замкнутой системы в правой полуплоскости, а - количество полюсов передаточной функции разомкнутого контура в правой полуплоскости, результирующий контур в -плоскости, должен обвести (по часовой стрелке) точку так, чтобы.
Если система изначально нестабильна с разомкнутым контуром, необходима обратная связь для стабилизации системы. Полюса правой полуплоскости (RHP) представляют эту нестабильность. Для обеспечения устойчивости системы с обратной связью количество корней с обратной связью в правой половине s- плоскости должно быть равно нулю. Следовательно, количество окружностей вокруг против часовой стрелки должно быть равно количеству полюсов разомкнутого контура в RHP. Любое окружение критической точки по часовой стрелке частотной характеристикой разомкнутого контура (при оценке от низкой частоты к высокой) будет указывать на то, что система управления с обратной связью будет дестабилизировать, если контур будет замкнут. (Использование нулей RHP для «нейтрализации» полюсов RHP не устраняет нестабильность, а скорее гарантирует, что система останется нестабильной даже при наличии обратной связи, поскольку корни замкнутого контура перемещаются между полюсами разомкнутого контура и нулями в присутствии обратной связи. Фактически, нулевое значение RHP может сделать нестабильный полюс ненаблюдаемым и, следовательно, не стабилизируемым посредством обратной связи.)
Вышеупомянутое рассмотрение проводилось с предположением, что передаточная функция разомкнутого контура не имеет полюса на мнимой оси (т. Е. Полюсов формы). Это вытекает из требования принципа аргумента, что контур не может проходить через какой-либо полюс функции отображения. Чаще всего встречаются системы с интеграторами (полюсы в нуле).
Чтобы иметь возможность анализировать системы с полюсами на воображаемой оси, контур Найквиста может быть изменен, чтобы избежать прохождения через точку. Один из способов сделать это - построить полукруглую дугу с радиусом вокруг, которая начинается и движется против часовой стрелки до. Такая модификация означает, что вектор движется по дуге бесконечного радиуса на, где - кратность полюса на мнимой оси.
Наша цель состоит в том, чтобы посредством этого процесса проверить стабильность передаточной функции нашей единичной системы обратной связи с коэффициентом усиления k, который определяется выражением
То есть, мы хотели бы проверить, действительно ли характеристическое уравнение указанной выше передаточной функции, заданное формулой
имеет нули за пределами открытой левой полуплоскости (обычно инициализируется как OLHP).
Мы предполагаем, что у нас есть контур по часовой стрелке (т. Е. Отрицательно ориентированный), охватывающий правую полуплоскость, с необходимыми углублениями, чтобы избежать прохождения нулей или полюсов функции. Принцип аргумента Коши гласит, что
Где обозначает количество нулей, заключенных по контуру, а обозначает количество полюсов по одному контуру. Переставляя, мы имеем, то есть
Затем отметим, что имеет точно такие же полюсы, как. Таким образом, мы можем найти, посчитав полюса, которые появляются внутри контура, то есть внутри открытой правой полуплоскости (ORHP).
Теперь переставим указанный выше интеграл с помощью подстановки. То есть, установив, мы имеем
Затем мы производим дальнейшую замену, установив. Это дает нам
Теперь отметим, что это дает нам изображение нашего контура под, то есть нашего графика Найквиста. Мы можем дополнительно уменьшить интеграл
применяя интегральную формулу Коши. Фактически, мы обнаруживаем, что указанный выше интеграл точно соответствует тому, сколько раз график Найквиста обводит точку по часовой стрелке. Таким образом, мы можем окончательно сказать, что
Таким образом, мы находим, что, как определено выше, соответствует стабильной системе с единичной обратной связью, когда, как оценено выше, равна 0.