Рядом с многоугольником

редактировать
Плотный около многоугольника с диаметром d = 2

В математике около многоугольника - это геометрия инцидентности, введенная Эрнестом Э. Шультом и Артуром Янушкой в ​​1980 году. Шулт и Янушка показали связь между так называемыми тетраэдрически замкнутыми системами линий в евклидовых пространствах и классом точечная геометрия, которую они назвали рядом с полигонами. Эти структуры обобщают понятие обобщенного многоугольника, поскольку каждый обобщенный 2n-угольник является почти 2n-угольником определенного вида. Близкие полигоны широко изучались, и связь между ними и дуальными полярными пространствами была показана в 1980-х и начале 1990-х годов. Некоторые спорадические простые группы, например группа Холла-Янко и группы Матье, действуют как группы автоморфизмов почти многоугольников.

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Примеры
  • 3 Правильные близкие многоугольники
  • 4 См. Также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки

Определение

Около 2d -gon - это структура инцидентности (P, L, I {\ displaystyle P, L, I}P, L, I ), где P {\ displaystyle P}P- это набор точек, L {\ displaystyle L}L - набор линий и I ⊆ P × L {\ displaystyle I \ substeq P \ times L}I \ subteq P \ times L - это отношение инцидентности, такое, что:

  • Максимальное расстояние между двумя точками (так называемый диаметр) равно d.
  • Для каждой точки x {\ displaystyle x}x и каждой строке L {\ displaystyle L}L существует уникальная точка на L {\ displaystyle L}L , который является ближайшим к x {\ displaystyle x}x .

Обратите внимание, что расстояние измеряется на коллинеарности графике точек, т. Е. Графике, образованном путем взятия точек в качестве вершин и соединения пара вершин, если они инцидентны общей прямой. Мы также можем дать альтернативное теоретико-графическое определение: почти 2d-угольник - это связный граф конечного диаметра d со свойством, что для каждой вершины x и каждой максимальной клики M существует единственная вершина x 'в M ближайший к x. Максимальные клики такого графа соответствуют линиям в определении структуры инцидентности. Около 0-угольник (d = 0) - это одна точка, а близкий 2-угольник (d = 1) - это всего лишь одна линия, то есть полный график. Почти четырехугольник (d = 2) аналогичен (возможно, вырожденному) обобщенному четырехугольнику. Фактически, можно показать, что каждый обобщенный 2d-угольник является почти 2d-угольником, который удовлетворяет следующим двум дополнительным условиям:

  • Каждая точка инцидентна по крайней мере двум линиям.
  • Для каждых двух точек x, y на расстоянии i < d, there exists a unique neighbour of y at distance i − 1 from x.

Ближний многоугольник называется плотным, если каждая линия инцидентна по крайней мере с тремя точками и если каждые две точки на расстоянии два имеют по крайней мере двух общих соседей. Говорят, что он имеет порядок (s, t), если каждая прямая инцидентна ровно s + 1 точкам и каждая точка инцидентна ровно t + 1 прямой. Плотные около полигоны имеют богатую теорию, и несколько их классов (например, тонкие плотные около многоугольники) полностью классифицированы.

Примеры

  • Все связанные двудольные графы находятся около многоугольников. Фактически, любой почти любой многоугольник, у которого ровно две точки на линии, должен быть связным двудольным графом.
  • Все конечные обобщенные многоугольники, кроме проективных плоскостей.
  • Все двойные полярные пространства.
  • Холл-Янко около восьмиугольника, также известный как Коэн- Титс около восьмиугольника, связанный с группой Холла-Янко. Его можно построить, выбрав класс сопряженности из 315 центральных инволюций группы Холла-Янко в виде точек и прямых как трехэлементных подмножеств {x, y, xy} всякий раз, когда x и y коммутируют.
  • M 24 около шестиугольника, связанного с группой Матье M24 и расширенным двоичным кодом Голея. Он строится путем взятия 759 октад (блоков) в схеме Витта S (5, 8, 24), соответствующих коду Голея, в качестве точек и тройки из трех попарно непересекающихся октад в качестве линий.
  • Возьмите разбивает {1, 2,..., 2n + 2} на n + 1 2-подмножества как точки и разбивает на n - 1 2-подмножества и одно 4-подмножество как строки. Точка инцидентна линии, если как разбиение является ее уточнением. Это дает нам почти 2n-угольник с тремя точками на каждой линии, обычно обозначаемый Hn. Его полная группа автоморфизмов - это симметрическая группа S 2n + 2.

Правильные около многоугольников

Конечное около 2 d {\ displaystyle 2d}2d -угольник S называется регулярным, если он имеет порядок (s, t) {\ displaystyle (s, t)}(s, t) и если существуют константы ti, i ∈ {1,…, D} {\ displaystyle t_ {i}, i \ in \ {1, \ ldots, d \}}t_i, i \ in \ {1, \ ldots, d \} , так что для каждых двух точек x {\ displaystyle x}x и y {\ displaystyle y}y на расстоянии i {\ displaystyle i}i, есть ровно ti + 1 {\ displaystyle t_ {i} +1}t_ {i} +1 строк через y {\ displaystyle y}y , содержащих (обязательно уникальную) точку на расстоянии i - 1 {\ displaystyle i -1}i-1из x {\ displaystyle x}x . Оказывается, что правильные около 2 d {\ displaystyle 2d}2d -угольники - это в точности те, которые около 2 d {\ displaystyle 2d}2d -угольники, точечный график которых ( также известный как граф коллинеарности ) - это дистанционно-регулярный граф. Обобщенный 2 d {\ displaystyle 2d}2d -угольник порядка (s, t) {\ displaystyle (s, t)}(s, t) является обычным рядом 2 d {\ displaystyle 2d}2d -угольник с параметрами t 1 = 0, t 2 = 0,…, td = t {\ displaystyle t_ {1} = 0, t_ {2 } = 0, \ ldots, t_ {d} = t}t_1 = 0, t_2 = 0, \ ldots, t_d = t

См. Также

Примечания

Ссылки

  • Брауэр, A.E. ; Cohen, A.M.; Neumaier, A. (1989), Distance Regular Graphs, Berlin, New York: Springer-Verlag., ISBN 3-540-50619-5, MR 1002568.
  • Де Клерк, Ф.; Ван Малдегем, Х. (1995), "Некоторые классы геометрий ранга 2", Справочник по геометрии инцидентности, Амстердам: Северная Голландия, стр. 433–475.
  • Шульт, Эрнест Э. (2011), Точки и линии, Universitext, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7.
  • Шульт, Эрнест; Янушка, Артур (1980), "Около n-угольников и линейные системы", Геом. Dedicata, 9 : 1–72, doi :10.1007/BF00156473, MR 0566437.
Последняя правка сделана 2021-05-31 13:21:32
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте