Рядом с многоугольником

В математике около многоугольника - это геометрия инцидентности, введенная Эрнестом Э. Шультом и Артуром Янушкой в ​​1980 году. Шулт и Янушка показали связь между так называемыми тетраэдрически замкнутыми системами линий в евклидовых пространствах и классом точечная геометрия, которую они назвали рядом с полигонами. Эти структуры обобщают понятие обобщенного многоугольника, поскольку каждый обобщенный 2n-угольник является почти 2n-угольником определенного вида. Близкие полигоны широко изучались, и связь между ними и дуальными полярными пространствами была показана в 1980-х и начале 1990-х годов. Некоторые спорадические простые группы, например группа Холла-Янко и группы Матье, действуют как группы автоморфизмов почти многоугольников.

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Правильные близкие многоугольники
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Около 2d -gon - это структура инцидентности ($P,\; L,\; I\; \{\backslash \; displaystyle\; P,\; L,\; I\}$), где $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$- это набор точек, $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$- набор линий и $I\; \subseteq \; P\; \times \; L\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; substeq\; P\; \backslash \; times\; L\}$- это отношение инцидентности, такое, что:

• Максимальное расстояние между двумя точками (так называемый диаметр) равно d.
• Для каждой точки $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и каждой строке $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$существует уникальная точка на $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, который является ближайшим к $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$.

Обратите внимание, что расстояние измеряется на коллинеарности графике точек, т. Е. Графике, образованном путем взятия точек в качестве вершин и соединения пара вершин, если они инцидентны общей прямой. Мы также можем дать альтернативное теоретико-графическое определение: почти 2d-угольник - это связный граф конечного диаметра d со свойством, что для каждой вершины x и каждой максимальной клики M существует единственная вершина x 'в M ближайший к x. Максимальные клики такого графа соответствуют линиям в определении структуры инцидентности. Около 0-угольник (d = 0) - это одна точка, а близкий 2-угольник (d = 1) - это всего лишь одна линия, то есть полный график. Почти четырехугольник (d = 2) аналогичен (возможно, вырожденному) обобщенному четырехугольнику. Фактически, можно показать, что каждый обобщенный 2d-угольник является почти 2d-угольником, который удовлетворяет следующим двум дополнительным условиям:

• Каждая точка инцидентна по крайней мере двум линиям.
• Для каждых двух точек x, y на расстоянии i < d, there exists a unique neighbour of y at distance i − 1 from x.

Ближний многоугольник называется плотным, если каждая линия инцидентна по крайней мере с тремя точками и если каждые две точки на расстоянии два имеют по крайней мере двух общих соседей. Говорят, что он имеет порядок (s, t), если каждая прямая инцидентна ровно s + 1 точкам и каждая точка инцидентна ровно t + 1 прямой. Плотные около полигоны имеют богатую теорию, и несколько их классов (например, тонкие плотные около многоугольники) полностью классифицированы.

• Все связанные двудольные графы находятся около многоугольников. Фактически, любой почти любой многоугольник, у которого ровно две точки на линии, должен быть связным двудольным графом.
• Все конечные обобщенные многоугольники, кроме проективных плоскостей.
• Все двойные полярные пространства.
• Холл-Янко около восьмиугольника, также известный как Коэн- Титс около восьмиугольника, связанный с группой Холла-Янко. Его можно построить, выбрав класс сопряженности из 315 центральных инволюций группы Холла-Янко в виде точек и прямых как трехэлементных подмножеств {x, y, xy} всякий раз, когда x и y коммутируют.
• M 24 около шестиугольника, связанного с группой Матье M24 и расширенным двоичным кодом Голея. Он строится путем взятия 759 октад (блоков) в схеме Витта S (5, 8, 24), соответствующих коду Голея, в качестве точек и тройки из трех попарно непересекающихся октад в качестве линий.
• Возьмите разбивает {1, 2,..., 2n + 2} на n + 1 2-подмножества как точки и разбивает на n - 1 2-подмножества и одно 4-подмножество как строки. Точка инцидентна линии, если как разбиение является ее уточнением. Это дает нам почти 2n-угольник с тремя точками на каждой линии, обычно обозначаемый Hn. Его полная группа автоморфизмов - это симметрическая группа S 2n + 2.

Конечное около $2\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; 2d\}$-угольник S называется регулярным, если он имеет порядок $(s,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s,\; t)\}$и если существуют константы $ti,\; i\; \in \; \{1,\dots ,\; D\}\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\},\; i\; \backslash \; in\; \backslash \; \{1,\; \backslash \; ldots,\; d\; \backslash \}\}$, так что для каждых двух точек $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$на расстоянии $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$, есть ровно $ti\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{i\}\; +1\}$строк через $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, содержащих (обязательно уникальную) точку на расстоянии $i\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; -1\}$из $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Оказывается, что правильные около $2\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; 2d\}$-угольники - это в точности те, которые около $2\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; 2d\}$-угольники, точечный график которых ( также известный как граф коллинеарности ) - это дистанционно-регулярный граф. Обобщенный $2\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; 2d\}$-угольник порядка $(s,\; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s,\; t)\}$является обычным рядом $2\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; 2d\}$-угольник с параметрами $t\; 1\; =\; 0,\; t\; 2\; =\; 0,\dots ,\; td\; =\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}\; =\; 0,\; t\_\; \{2\; \}\; =\; 0,\; \backslash \; ldots,\; t\_\; \{d\}\; =\; t\}$

• Конечная геометрия
• Полярное пространство
• Частичное линейное пространство
• Схема ассоциации
• Граф Холла – Янко

• Brouwer, AE; Коэн, А. М.; Wilbrink, H.A.; Холл, Дж. Дж. (1994), «Около многоугольников и пространства Фишера» (PDF), Geom. Dedicata, 49 (3): 349–368, doi : 10.1007 / BF01264034.

• Брауэр, A.E. ; Cohen, A.M.; Neumaier, A. (1989), Distance Regular Graphs, Berlin, New York: Springer-Verlag., ISBN 3-540-50619-5, MR 1002568.

• Brouwer, AE ; Уилбринк, HA (1983), Две бесконечные последовательности близких к многоугольнику (PDF), Отчет ZW194 / 83, Mathematisch Centrum.

• Кэмерон, Питер Дж. (1982), «Двойные полярные пространства», Геом. Дедиката, 12 : 75–85, doi : 10.1007 / bf00147332, MR 0645040.

• Кэмерон, Питер Дж. (1991), Проективные и полярные пространства, QMW Maths Notes, 13, Лондон: Школа математических наук Колледжа Королевы Марии и Вестфилда, MR 1153019.

• Де Брюн, Барт (2006), Near Polygons, Frontiers in Mathematics, Birkhäuser Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-7643-7553-9, ISBN 3-7643-7552-3, MR 2227553.

• Де Клерк, Ф.; Ван Малдегем, Х. (1995), "Некоторые классы геометрий ранга 2", Справочник по геометрии инцидентности, Амстердам: Северная Голландия, стр. 433–475.
• Шульт, Эрнест Э. (2011), Точки и линии, Universitext, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7.

• Шульт, Эрнест; Янушка, Артур (1980), "Около n-угольников и линейные системы", Геом. Dedicata, 9 : 1–72, doi :10.1007/BF00156473, MR 0566437.