Естественное экспоненциальное семейство

В вероятности и статистике, естественное экспоненциальное семейство (NEF ) - это класс вероятностных распределений, который является частным случаем экспоненциального семейства (EF).

Содержание

• 1 Определение
  • 1.1 Функция распределения вероятностей (PDF) для одномерного случая (скалярная область, скалярный параметр)
  • 1.2 Функция распределения вероятностей (PDF) для общего случая (многомерная область и / или параметр)
  • 1.3 Момент и производящая функция кумулянта
• 2 Примеры
• 3 Свойства
  • 3.1 Одномерный случай
  • 3.2 Многомерный случай
• 4 Натуральные экспоненциальные семейства с квадратичными функциями дисперсии (NEF-QVF)
  • 4.1 Шесть NEF-QVF
  • 4.2 Свойства NEF-QVF
• 5 Ссылки

Определение

Функция распределения вероятностей (PDF) для одномерного случая (скалярная область, скалярный параметр)

Естественные экспоненциальные семейства (NEF) являются подмножеством экспоненциальных семейств. NEF - это экспоненциальное семейство, в котором натуральный параметр η и естественная статистика T (x) идентичны. Распределение в экспоненциальном семействе с параметром θ может быть записано с помощью функции плотности вероятности (PDF)

$f\; X\; (x\; \mid \; \theta )\; =\; h\; (x)\; exp\; \; (\eta \; (\theta )\; T\; (Икс)\; -\; A\; (\theta )),\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\_\; \{X\}\; (х\; \backslash \; mid\; \backslash \; theta)\; =\; h\; (x)\; \backslash \; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; \backslash \; eta\; (\backslash \; theta)\; T\; (\; x)\; -A\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; \{\backslash \; Big)\}\; \backslash ,\; \backslash \; !,\}$

где $h\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (x)\}$и $A\; (\theta )\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (\backslash \; theta)\}$- известные функции. Таким образом, распределение в естественном экспоненциальном семействе с параметром θ можно записать с помощью PDF

$f\; X\; (x\; \mid \; \theta )\; =\; h\; (x)\; exp\; \; (\theta \; x\; -\; A\; (\theta )).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{X\}\; (x\; \backslash \; mid\; \backslash \; theta)\; =\; h\; (x)\; \backslash \; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; \backslash \; theta\; xA\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; \{\backslash \; Big)\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$

[Обратите внимание, что несколько иное обозначение используется создателем NEF, Карлом Моррисом. Моррис использует ω вместо η и ψ вместо A.]

Функция распределения вероятностей (PDF) для общего случая (многомерная область и / или параметр)

Предположим, что $x\; \in \; X\; \subseteq \; R\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{X\}\}\; \backslash \; substeq\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{p\}\}$, тогда естественное экспоненциальное семейство порядка p имеет плотность или функция масс в форме:

$е\; Икс\; (х\; \mid \; \theta )\; =\; h\; (x)\; exp\; \; (\theta \; T\; x\; -\; A\; (\theta )),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{X\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \; mid\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\})\; =\; h\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; \backslash \; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{T\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -A\; (\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\})\; \backslash \; \{\backslash \; Big)\}\; \backslash ,\; \backslash \; !,\}$

где в данном случае параметр $\theta \; \in \; R\; p.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{p\}.\}$

Момент и производящая функция кумулянта

Член естественного экспоненциального семейства имеет момент производящая функция (MGF) вида

$MX\; (t)\; =\; exp\; \; (A\; (\theta \; +\; t)\; -\; A\; (\theta )).\; \{\backslash \; Displaystyle\; M\_\; \{X\}\; (\backslash \; mathbf\; \{t\})\; =\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; A\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{t\})\; -A\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\; \})\; \backslash \; \{\backslash \; Big)\}\; \backslash ,.\}$

кумулянтная производящая функция по определению является логарифмом MGF, поэтому это

$KX\; (t)\; =\; A\; (\theta \; +\; t)\; -\; А\; (\theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{X\}\; (\backslash \; mathbf\; \{t\})\; =\; A\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{t\})\; -A\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\})\; \backslash ,.\}$

Примеры

Пять наиболее важных одномерных случаев:

• нормальное распределение с известной дисперсией
• распределение Пуассона
• гамма-распределение с известным параметром формы α (или k в зависимости от используется набор обозначений)
• биномиальное распределение с известным количеством испытаний, n
• отрицательное биномиальное распределение с известным $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$

Эти пять примеров - пуассоновское, биномиальное, отрицательный бином, нормальный и гамма - это специальное подмножество NEF, называемое NEF с квадратичной функцией отклонения (NEF-QVF), потому что дисперсию можно записать как квадратичную функцию от среднего. NEF-QVF обсуждаются ниже.

Распределения, такие как экспоненциальное, хи-квадрат, Рэлея, Вейбулла, Бернулли и геометрические распределения являются частными случаями указанных выше пяти распределений. Многие распространенные дистрибутивы являются либо NEF, либо могут быть связаны с NEF. Например: распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения. Распределение Бернулли - это биномиальное распределение с n = 1 испытанием. Экспоненциальное распределение - это гамма-распределение с параметром формы α = 1 (или k = 1). Каждое распределения Рэлея и Вейбулла может быть записано в терминах экспоненциального распределения.

Некоторые экспоненциальные распределения семейств не являются NEF. логнормальное и бета-распределение относятся к экспоненциальному семейству, но не к естественному экспоненциальному семейству.

Параметризация большинства вышеперечисленных распределений была написана иначе, чем параметризация, обычно используемая в учебниках и на указанных выше страницах. Например, приведенная выше параметризация отличается от параметризации в связанной статье в случае Пуассона. Две параметризации связаны следующим образом: $\theta \; =\; log\; \; (\lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; log\; (\backslash \; lambda)\}$, где λ - средний параметр, и поэтому плотность может быть записывается как

$f\; (k;\; \theta )\; =\; 1\; k!\; ехр\; \; (\theta \; К\; -\; ехр\; \; (\theta )),\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (к;\; \backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k!\}\}\; \backslash \; exp\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; \backslash \; theta\; \backslash \; k-\; \backslash \; exp\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; \{\backslash \; Big)\}\; \backslash ,\}$

для $\theta \; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$, поэтому

$h\; (k)\; =\; 1\; к!,\; и\; A\; (\theta )\; =\; exp\; \; (\theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (k)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k!\}\},\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; A\; (\backslash \; theta)\; =\; \backslash \; exp\; (\backslash \; theta)\; \backslash .\}$

Эта альтернативная параметризация может значительно упростить вычисления в математической статистике. Например, в байесовском выводе, апостериорное распределение вероятностей вычисляется как произведение двух распределений. Обычно этот расчет требует записи функций распределения вероятностей (PDF) и интегрирования; Однако с помощью приведенной выше параметризации этого расчета можно избежать. Вместо этого отношения между распределениями можно абстрагировать благодаря свойствам NEF, описанным ниже.

Примером многомерного случая является полиномиальное распределение с известным количеством испытаний.

Свойства

Свойства естественного экспоненциального семейства можно использовать для упрощения вычислений с использованием этих распределений.

Одномерный случай

1. Кумулянты NEF могут быть рассчитаны как производные от кумулянтной производящей функции NEF. N-я кумулянт - это n-я производная кумулянтной производящей функции по t, вычисленная при t = 0.

кумулянтная производящая функция равна

$KX\; (t)\; =\; A\; (\theta \; +\; t)\; -\; A\; (\theta ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; K\_\; \{X\}\; (t)\; =\; A\; (\backslash \; theta\; +\; t)\; -A\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,.\}$

Первый кумулянт

$\kappa \; 1\; =\; K\; X\; \prime \; (t)\; |\; t\; =\; 0\; =\; d\; d\; t\; A\; (\theta \; +\; t)\; |\; т\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{1\}\; =\; K\_\; \{X\}\; \text{'}(t)\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; A\; (\backslash \; theta\; +\; t)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; \backslash ,.\}$

Среднее значение - это первый момент и всегда равно первому кумулянту, поэтому

$\mu \; 1\; =\; \kappa \; 1\; =\; E\; \; [X]\; =\; KX\; \prime \; (0)\; =\; A\; \prime \; (\theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{1\}\; =\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [X]\; =\; K\; \text{'}\_\; \{X\}\; (0)\; =\; A\text{'}\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,.\}$

дисперсия всегда является вторым кумулянтом, и она всегда связана с первым и вторым моментами следующим образом:

$Var\; \; [X]\; =\; \kappa \; 2\; =\; \mu \; 2\; -\; \mu \; 1\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [X]\; =\; \backslash \; kappa\; \_\; \{2\}\; =\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; -\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; \backslash ,,\}$

так, чтобы

$Var\; \; [X]\; =\; KX\; ″\; (0)\; =\; A\; ″\; (\theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; [X]\; =\; K\; \text{'}\text{'}\; \_\; \{X\}\; (0)\; =\; A\; \text{'}\text{'}\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,.\}$

Аналогично, n-й кумулянт равен

$\kappa \; n\; =\; A\; (п)\; (\theta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; kappa\; \_\; \{n\}\; =\; A\; ^\; \{(n)\}\; (\backslash \; theta)\; \backslash ,.\}$

2. Естественные экспоненциальные семейства (NEF) закрываются при свертке.

Дано независимое одинаково распределенное (iid) $X\; 1,\dots ,\; X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}\}$с распределением из NEF, тогда $\sum \; i\; =\; 1\; n\; X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; X\_\; \{i\}\; \backslash ,\; \}$- это NEF, но не обязательно оригинальный NEF. Это следует из свойств производящей функции кумулянта.

3. Дисперсионная функция для случайных величин с распределением NEF может быть записана в терминах среднего.

$Var\; \; (X)\; =\; V\; (\mu ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; (X)\; =\; V\; (\backslash \; mu).\}$

4. Первые два момента распределения NEF однозначно определяют распределение внутри этого семейства распределений.

$X\; \sim \; NEF\; \; [\mu ,\; V\; (\mu )].\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; \backslash \; operatorname\; \{NEF\}\; [\backslash \; mu,\; V\; (\backslash \; mu)].\}$

Многомерный случай

В многомерном случае вектор среднего и ковариационная матрица равны

$E\; \; [X]\; =\; \nabla \; A\; (\theta )\; и\; Cov\; \; [X]\; =\; \nabla \; \nabla \; TA\; (\theta ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{E\}\; [X]\; =\; \backslash \; nabla\; A\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\})\; \{\; \backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{Cov\}\; [X]\; =\; \backslash \; nabla\; \backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{T\}\}\; A\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; theta\}\})\; \backslash ,,\}$

где $\nabla \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\}$- это градиент и $\nabla \; \nabla \; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; \backslash \; nabla\; ^\; \{\backslash \; rm\; \{T\}\}\}$является матрицей Гессе.

Естественные экспоненциальные семейства с квадратичными функциями дисперсии (NEF-QVF)

Частным случаем естественных экспоненциальных семейств являются семейства с квадратичными функциями дисперсии. Шесть NEF имеют квадратичные функции дисперсии (QVF), в которых дисперсия распределения может быть записана как квадратичная функция от среднего. Они называются NEF-QVF. Свойства этих распределений были впервые описаны Карлом Моррисом.

$Var\; \; (X)\; =\; V\; (\mu )\; =\; \nu \; 0\; +\; \nu \; 1\; \mu \; +\; \nu \; 2\; \mu \; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; (X)\; =\; V\; (\backslash \; mu)\; =\; \backslash \; nu\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; nu\; \_\; \{2\}\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}.\}$

Шесть NEF-QVF

Шесть NEF-QVF записаны здесь с возрастающей сложностью взаимосвязи между дисперсией и средним значением.

1. Нормальное распределение с фиксированной дисперсией $X\; \sim \; N\; (\mu ,\; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; N\; (\backslash \; mu,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\})\}$- это NEF-QVF, потому что дисперсия постоянно. Дисперсию можно записать в виде $Var\; \; (X)\; =\; V\; (\mu )\; =\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; (X)\; =\; V\; (\backslash \; mu)\; =\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}$, поэтому дисперсия является функцией среднего значения степени 0.

2. Распределение Пуассона $X\; \sim \; Пуассона\; \; (\mu )\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; \backslash \; operatorname\; \{Poisson\}\; (\backslash \; mu)\}$является NEF-QVF, потому что все распределения Пуассона имеют дисперсию, равную среднему $Var\; \; (X)\; =\; V\; (\mu )\; =\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; (X)\; =\; V\; (\backslash \; mu)\; =\; \backslash \; mu\}$, поэтому дисперсия является линейной функцией жадный.

3. Гамма-распределение $X\; \sim \; Gamma\; \; (r,\; \lambda )\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; \backslash \; operatorname\; \{Gamma\}\; (r,\; \backslash \; lambda)\}$является NEF-QVF, потому что среднее значение гамма-распределения равно $\mu \; =\; r\; \lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; r\; \backslash \; lambda\}$, а дисперсия гамма-распределения равна $Var\; \; (X)\; =\; V\; (\mu )\; =\; \mu \; 2\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; (X)\; =\; V\; (\backslash \; mu)\; =\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; /\; r\}$, поэтому дисперсия является квадратичной функцией среднего.

4. Биномиальное распределение $X\; \sim \; биномиальное\; \; (n,\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; \backslash \; operatorname\; \{Binomial\}\; (n,\; p)\}$является NEF-QVF, потому что среднее значение равно $\mu \; =\; np\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; np\}$, а дисперсия равна $Var\; \; (X)\; =\; np\; (1\; -\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; (X)\; =\; np\; (1\; -p)\}$который может быть записан в терминах среднего как $V\; (X)\; =\; -\; np\; 2\; +\; np\; =\; -\; \mu \; 2\; /\; n\; +\; \mu .\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (X)\; =\; -\; np\; ^\; \{2\}\; +\; np\; =\; -\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; /\; n\; +\; \backslash \; mu.\}$

5. Отрицательное биномиальное распределение $X\; \sim \; NegBin\; \; (n,\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; sim\; \backslash \; operatorname\; \{NegBin\}\; (n,\; p)\}$- это NEF-QVF, потому что среднее значение $\mu \; =\; np\; /\; (1\; -\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; =\; np\; /\; (1-p)\}$, а дисперсия составляет $V\; (\mu )\; =\; \mu \; 2\; /\; n\; +\; \mu .\; \{\backslash \; Displaystyle\; V\; (\backslash \; mu)\; =\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; /\; n\; +\; \backslash \; mu.\}$

6. Распределение (не очень известное), порожденное обобщенным распределением гиперболического секанса (NEF-GHS), имеет $V\; (\mu )\; =\; \mu \; 2\; /\; n\; +\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; V\; (\backslash \; mu)\; =\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\}\; /\; n\; +\; n\}$и $\mu >0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu>0.\}$

Свойства NEF-QVF

Свойства NEF-QVF могут упростить вычисления с использованием этих распределений.

1. Естественные экспоненциальные семейства с квадратичными функциями дисперсии (NEF-QVF) замкнуты относительно сверток линейного преобразования. То есть свертка линейного преобразования NEF-QVF также является NEF-QVF, хотя и не обязательно исходной.

Дано независимое одинаково распределенное (iid) $X\; 1,\dots ,\; X\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; X\_\; \{n\}\}$с распределением из a NEF-QVF. Свертка линейного преобразования NEF-QVF также является NEF-QVF.

Пусть $Y\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; (X\; i\; -\; b)\; /\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (X\_\; \{i\}\; -b)\; /\; c\; \backslash ,\}$- свертка линейного преобразования X. Среднее значение Y равно $\mu \; \ast \; =\; n\; (\mu \; -\; b)\; /\; с\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; ^\; \{*\}\; =\; n\; (\backslash \; mu\; -b)\; /\; c\; \backslash ,\}$. Дисперсия Y может быть записана в терминах функции дисперсии исходного NEF-QVF. Если исходный NEF-QVF имел функцию дисперсии

$Var\; \; (X)\; =\; V\; (\mu )\; =\; \nu \; 0\; +\; \nu \; 1\; \mu \; +\; \nu \; 2\; \mu \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; (X)\; =\; V\; (\backslash \; mu)\; =\; \backslash \; nu\; \_\; \{0\}\; +\; \backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; nu\; \_\; \{2\}\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\},\}$

тогда новый NEF-QVF имеет функцию дисперсии

$Var\; \; (Y)\; =\; V\; \ast \; (\mu \; \ast )\; =\; \nu \; 0\; \ast \; +\; \nu \; 1\; \ast \; \mu \; +\; \nu \; 2\; \ast \; \mu \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Var\}\; (Y)\; =\; V\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; mu\; ^\; \{*\})\; =\; \backslash \; nu\; \_\; \{0\}\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; nu\; \_\; \{1\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; mu\; +\; \backslash \; nu\; \_\; \{2\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; mu\; ^\; \{2\},\}$

где

$\nu \; 0\; \ast \; знак\; равно\; N\; V\; (b)\; /\; c\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{0\}\; ^\; \{*\}\; =\; nV\; (b)\; /\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash ,,\}$

$\nu \; 1\; \ast \; =\; V\; \text{'}(Б)\; /\; с,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; ню\; \_\; \{1\}\; ^\; \{*\}\; =\; V\text{'}\; (б)\; /\; с\; \backslash ,,\}$

$\nu \; 2\; *\; /\; п\; =\; \nu \; 2\; /\; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; \_\; \{2\}\; ^\; \{*\}\; /\; n\; =\; \backslash \; nu\; \_\; \{2\}\; /\; n\; \backslash ,.\}$

2. Пусть $X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\}$и $X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{2\}\}$являются независимыми NEF с одним и тем же параметром θ, и пусть $Y\; =\; X\; 1\; +\; X\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; Y\; =\; X\_\; \{1\}\; +\; X\_\; \{2\}\}$. Тогда условное распределение $X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\}$с заданным $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$имеет квадратичную дисперсию по $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$тогда и только тогда, когда $X\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{1\}\}$и $X\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; X\_\; \{2\}\}$являются NEF-QVF. Примерами таких условных распределений являются нормальное, биномиальное, бета, гипергеометрические и геометрические распределения, которые не все NEF-QVF.

3. NEF-QVF имеют сопряженные априорные распределения по μ в системе распределений Пирсона (также называемой распределением Пирсона, хотя система распределений Пирсона на самом деле является семейством распределений, а не единичным распределением.) Примерами сопряженных априорных распределений распределений NEF-QVF являются нормальный, гамма, обратная гамма, бета, F- и t-. раздачи. Опять же, не все эти конъюгированные приоры являются NEF-QVF.

4. Если $X\; \mid \; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash \; mid\; \backslash \; mu\}$имеет распределение NEF-QVF, а μ имеет сопряженное априорное распределение, то маржинальные распределения являются хорошо известными распределениями.

Эти свойства вместе с указанными выше обозначениями могут упростить вычисления в математической статистике, которые обычно выполняются с использованием сложных вычислений и вычислений.

Ссылки

• Моррис К. (1982) Естественные экспоненциальные семейства с квадратичными функциями дисперсии: статистическая теория. Департамент математики, Институт статистики Техасского университета, Остин.