Бозон Голдстоуна

редактировать

В физике частиц и конденсированных сред, бозоны Голдстоуна или бозоны Намбу – Голдстоуна (NGBs ) - это бозоны, которые обязательно появляются в моделях, демонстрирующих спонтанное нарушение непрерывной симметрии. Они были обнаружены Йоичиро Намбу в физике элементарных частиц в контексте механизма сверхпроводимости BCS и впоследствии объяснены Джеффри Голдстоуном, и систематически обобщается в контексте квантовой теории поля. В физике конденсированного состояния такие бозоны являются квазичастицами и известны как моды Андерсона-Боголюбова.

Эти бесспиновые бозоны соответствуют спонтанно разрушенным внутренним генераторы симметрии, и характеризуются их квантовыми числами . Они нелинейно трансформируются (сдвигаются) под действием этих генераторов и, таким образом, могут возбуждаться этими генераторами из асимметричного вакуума. Таким образом, их можно рассматривать как возбуждения поля в направлениях нарушенной симметрии в групповом пространстве - и они безмассовые, если спонтанно нарушенная симметрия также не нарушена явно.

Если вместо этого, симметрия неточная, т.е. если она нарушена явно или спонтанно, то бозоны Намбу – Голдстоуна не безмассовые, хотя обычно они остаются относительно легкими; тогда они называются бозонами псевдоголдстоуна или бозонами псевдо-Намбу-Голдстоуна (сокращенно PNGB ).

Содержание

1 Теорема Голдстоуна
2 Примеры
- 2.1 Естественный
- 2.2 Теория
3 Аргумент Голдстоуна
4 Инфрачастицы
5 Нерелятивистские теории
6 Фермионы Намбу – Голдстоуна
7 См. Также
8 Примечания
9 Ссылки

Теорема Голдстоуна

Теорема Голдстоуна исследует общую непрерывную симметрию, которая спонтанно нарушается ; т.е. его токи сохраняются, но основное состояние не инвариантно под действием соответствующих зарядов. Тогда обязательно новые безмассовые (или легкие, если симметрия не точна) скалярные частицы появляются в спектре возможных возбуждений. Существует одна скалярная частица, называемая бозоном Намбу – Голдстоуна, для каждого генератора нарушенной симметрии, т.е. которая не сохраняет основное состояние. Мода Намбу – Голдстоуна представляет собой длинноволновую флуктуацию соответствующего параметра порядка.

. В силу своих особых свойств в связи с вакуумом соответствующей нарушенной симметрии теории, исчезающие импульсные ("мягкие") бозоны Голдстоуна вовлеченные в теоретико-полевые амплитуды, заставляют такие амплитуды обращаться в нуль («нули Адлера»).

Примеры

Природные

В жидкостях фонон является продольным, и это бозон Голдстоуна спонтанно разрушенного галилеевого симметрия. В твердых телах ситуация более сложная; бозоны Голдстоуна - это продольные и поперечные фононы, и они оказались голдстоуновскими бозонами спонтанно нарушенной галилеевой, трансляционной и вращательной симметрии без простого взаимно однозначного соответствия между модами Голдстоуна и нарушенными симметриями.
В магнитах исходная симметрия вращения (присутствующая в отсутствие внешнего магнитного поля) самопроизвольно нарушается, так что намагниченность указывает в определенном направлении. Тогда бозоны Голдстоуна являются магнонами, то есть спиновыми волнами, в которых осциллирует направление локальной намагниченности.
пионы являются псевдоголдстоуновскими бозонами, которые возникают в результате спонтанного нарушения симметрии хирального аромата КХД, вызванного конденсацией кварков из-за сильного взаимодействия. Эти симметрии также явно нарушаются массами кварков, так что пионы не безмассовые, но их масса значительно меньше, чем типичные массы адронов.
Компоненты продольной поляризации W и Z бозоны соответствуют голдстоуновским бозонам спонтанно нарушенной части электрослабой симметрии SU (2) ⊗U (1), которые, однако, не наблюдаются. Поскольку эта симметрия является калибровочной, три потенциальных голдстоуновских бозона поглощаются тремя калибровочными бозонами, соответствующими трем сломанным генераторам; это придает этим трем калибровочным бозонам массу и соответствующую необходимую третью степень свободы поляризации. Это описано в Стандартной модели через механизм Хиггса. Аналогичное явление происходит в сверхпроводимости, которая послужила первоначальным источником вдохновения для Намбу, а именно, фотон развивает динамическую массу (выраженную как исключение магнитного потока из сверхпроводника), ср. теория Гинзбурга – Ландау.

Теория

Рассмотрим комплексное скалярное поле ϕ с ограничением ϕϕ = v², константой. Один из способов наложить ограничение такого рода - включить потенциальный член взаимодействия в его плотность лагранжиана,

λ (ϕ ∗ ϕ - v 2) 2, {\ displaystyle \ lambda (\ phi ^ {*} \ phi -v ^ {2}) ^ {2} ~,}

\ lambda (\ phi ^ {*} \ phi -v ^ {2}) ^ {2} ~,

и переход к пределу при λ → ∞. Это называется «абелевой нелинейной σ-моделью».

Ограничение и действие, указанные ниже, инвариантны относительно фазового преобразования U (1), δϕ = iεϕ. Поле можно переопределить, чтобы получить реальное скалярное поле (т.е. частицу с нулевым спином) θ без каких-либо ограничений:

ϕ = vei θ {\ displaystyle \ phi = ve ^ {i \ theta }}

{\ displaystyle \ phi = ve ^ {i \ theta}}

где θ - бозон Намбу – Голдстоуна (на самом деле это vθ), а преобразование симметрии U (1) вызывает сдвиг на θ, а именно

δ θ = ϵ, {\ displaystyle \ delta \ theta = \ epsilon ~,}

\ delta \ theta = \ epsilon ~,

, но не сохраняет основное состояние | 0〉 (т.е. указанное выше бесконечно малое преобразование не уничтожает его - признак инвариантности), как видно из заряда тока ниже.

Таким образом, вакуум является вырожденным и неинвариантным под действием спонтанно нарушенной симметрии.

Соответствующая плотность лагранжиана дается выражением

L = - 1 2 (∂ μ ϕ ∗) ∂ μ ϕ + m 2 ϕ ∗ ϕ = - 1 2 (- ive - я θ ∂ μ θ) (ivei θ ∂ μ θ) + м 2 v 2, {\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ frac {1} {2}} (\ partial ^ {\ mu} \ phi ^ {*}) \ partial _ {\ mu} \ phi + m ^ {2} \ phi ^ {*} \ phi = - {\ frac {1} {2}} (- ive ^ {- i \ theta } \ partial ^ {\ mu} \ theta) (ive ^ {i \ theta} \ partial _ {\ mu} \ theta) + m ^ {2} v ^ {2},}

{{\ mathcal L}} = - {\ frac {1} {2}} (\ partial ^ {\ mu} \ phi ^ {*}) \ partial _ {\ mu} \ phi + m ^ {2} \ phi ^ {*} \ phi = - {\ frac {1} {2}} (- ive ^ {{- i \ theta}} \ partial ^ {\ mu} \ theta) ( ive ^ {{я \ theta}} \ partial _ {\ mu} \ theta) + m ^ {2} v ^ {2},

и, следовательно,

= - v 2 2 (∂ μ θ) (∂ μ θ) + м 2 v 2. {\ displaystyle = - {\ frac {v ^ {2}} {2}} (\ partial ^ {\ mu} \ theta) (\ partial _ {\ mu} \ theta) + m ^ {2} v ^ { 2} ~.}

= - {\ frac {v ^ {2}} {2}} (\ partial ^ {\ му} \ theta) (\ partial _ {\ mu} \ theta) + m ^ {2} v ^ {2} ~.

Обратите внимание, что постоянный член м²v² в плотности лагранжиана не имеет физического значения, а другой член в нем является просто кинетическим членом безмассового скаляра.

Сохраняющийся ток U (1), индуцированный симметрией, равен

J μ = - v 2 ∂ μ θ. {\ displaystyle J _ {\ mu} = - v ^ {2} \ partial _ {\ mu} \ theta ~.}

J _ {\ mu} = -v ^ {2} \ partial _ {\ mu} \ theta ~.

Заряд Q, возникающий в результате этого тока, сдвигает θ и основное состояние в новое, вырожденное, основное состояние. Таким образом, вакуум с 〈θ〉 = 0 переместится в другой вакуум с 〈θ〉 = −ε. Ток соединяет исходный вакуум с состоянием бозона Намбу – Голдстоуна, 〈0 | J 0 (0) | θ〉 ≠ 0.

В общем, в теории с несколькими скалярными полями, ϕ j, мода Намбу – Голдстоуна ϕ g безмассовая и параметризует кривую возможных (вырожденных) вакуумных состояний. Его отличительной чертой при преобразовании нарушенной симметрии является ненулевое вакуумное ожидание 〈δϕ g 〉, параметр порядка, для обращения в нуль 〈ϕ g 〉 = 0 на каком-то основании. состояние | 0〉, выбранное в минимуме потенциала, 〈∂V / ∂ϕ i 〉 = 0. Симметрия диктует, что все вариации потенциала относительно полей во всех направлениях симметрии обращаются в нуль. Величина вакуума вариации первого порядка в любом направлении исчезает, как мы только что видели; в то время как вакуумная величина вариации второго порядка также должна исчезнуть, как показано ниже. Исчезающие значения вакуума инкрементов преобразования симметрии поля не добавляют новой информации.

В отличие от этого ненулевые вакуумные ожидания инкрементов преобразования, 〈δϕ g 〉, задают соответствующие (голдстоуновские) нулевые собственные векторы матрицы масс,

$⟨∂ 2 V ∂ ϕ я ∂ ϕ J⟩ ⟨δ ϕ J⟩ знак равно 0, {\ Displaystyle \ left \ langle {\ partial ^ {2} V \ over \ partial \ phi _ {i} \ partial \ phi _ {j}} \ right \ rangle \ langle \ delta \ phi _ {j} \ rangle = 0 ~,}$ $\ left \ langle {\ partial ^ {2} V \ over \ partial \ phi _ {i} \ partial \ phi _ {j}} \ right \ rangle \ langle \ delta \ phi _ {j} \ rangle = 0 ~,$

и, следовательно, соответствующие собственные значения нулевой массы.

Аргумент Голдстоуна

Принцип, лежащий в основе аргумента Голдстоуна, состоит в том, что основное состояние не уникально. Обычно при сохранении тока оператор заряда для любого тока симметрии не зависит от времени,

ddt Q = ddt ∫ x J 0 (x) = 0. {\ displaystyle {d \ over dt} Q = {d \ over dt} \ int _ {x} J ^ {0} (x) = 0.}

{\ displaystyle {d \ over dt} Q = {d \ over dt} \ int _ {x} J ^ {0} (x) = 0.}

Воздействие оператора заряда на вакуум либо уничтожает вакуум, если он симметричен; в противном случае, если нет, как в случае спонтанного нарушения симметрии, он создает из него состояние с нулевой частотой с помощью функции преобразования сдвига, показанной выше. Собственно, здесь сам заряд нечетко определен, ср. аргумент Фабри – Пикассо ниже.

Но его коммутаторы с полями лучше себя ведут, то есть ненулевые преобразования сдвигов 〈δϕ g 〉, тем не менее, инвариантны во времени,

d ⟨δ ϕ g⟩ dt = 0, {\ displaystyle {\ frac {d \ langle \ delta \ phi _ {g} \ rangle} {dt}} = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {d \ langle \ delta \ phi _ {g} \ rangle} {dt}} = 0,}

, таким образом генерируя δ (k) в его преобразовании Фурье. (Это гарантирует, что вставка полного набора промежуточных состояний в ненулевой коммутатор тока может привести к исчезновению эволюции во времени только тогда, когда одно или несколько из этих состояний безмассовые.)

Таким образом, если вакуум не инвариантен при симметрии действие оператора заряда создает состояние, отличное от выбранного вакуума, но имеющее нулевую частоту. Это длинноволновое колебание поля, которое почти стационарно: существуют физические состояния с нулевой частотой, k, так что теория не может иметь зазор между массами.

. Этот аргумент дополнительно поясняется путем тщательного определения предела. Если приблизительный оператор заряда, действующий в огромной, но конечной области A, применяется к вакууму,

ddt QA = ddt ∫ xe - x 2 2 A 2 J 0 (x) = - ∫ xe - x 2 2 A 2 ∇ ⋅ J знак равно ∫ Икс ∇ (е - Икс 2 2 A 2) ⋅ J, {\ displaystyle {d \ over dt} Q_ {A} = {d \ over dt} \ int _ {x} e ^ {- {\ гидроразрыв {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} J ^ {0} (x) = - \ int _ {x} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} \ nabla \ cdot J = \ int _ {x} \ nabla \ left (e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} \ right) \ cdot J,}

{\ displaystyle {d \ over dt} Q_ {A} = { d \ over dt} \ int _ {x} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} J ^ {0} (x) = - \ int _ {x} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} \ nabla \ cdot J = \ int _ {x} \ nabla \ left (e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2A ^ {2}}}} \ right) \ cdot J,}

создается состояние с приблизительно нулевой производной по времени,

‖ ddt QA | 0⟩ ‖ ≈ 1 A ‖ Q A | 0⟩ ‖. {\ displaystyle \ left \ | {d \ over dt} Q_ {A} | 0 \ rangle \ right \ | \ приблизительно {\ frac {1} {A}} \ left \ | Q_ {A} | 0 \ rangle \ right \ |.}

{\ displaystyle \ left \ | {d \ over dt} Q _ {A} | 0 \ rangle \ right \ | \ приблизительно {\ frac {1} {A}} \ left \ | Q_ {A} | 0 \ rangle \ right \ |.}

Предполагая ненулевой разрыв масс m 0, частота любого состояния, подобного приведенному выше, которое ортогонально вакууму, составляет по крайней мере m 0,

‖ ddt | θ⟩ ‖ = ‖ H | θ⟩ ‖ ≥ m 0 ‖ | θ⟩ ‖. {\ displaystyle \ left \ | {\ frac {d} {dt}} | \ theta \ rangle \ right \ | = \ | H | \ theta \ rangle \ | \ geq m_ {0} \ || \ theta \ rangle \ |.}

{\ displaystyle \ left \ | {\ frac {d} {dt}} | \ theta \ rangle \ right \ | = \ | H | \ theta \ rangle \ | \ geq m_ {0} \ || \ theta \ rangle \ |.}

Разрешение A стать большим приводит к противоречию. Следовательно, m 0 = 0. Однако этот аргумент не работает при калибровке симметрии, потому что тогда генератор симметрии выполняет только калибровочное преобразование. Состояние с калибровочным преобразованием - это то же самое точное состояние, так что действие с генератором симметрии не выводит его из вакуума.

Теорема Фабри – Пикассо. Q не существует в гильбертовом пространстве, если Q | 0〉 = 0.

Аргумент требует, чтобы и вакуум, и заряд Q были трансляционно-инвариантными, P | 0〉 = 0, [P, Q] = 0.

Рассмотрим корреляционную функцию зарядить себя,

⟨0 | Q Q | 0⟩ = ∫ d 3 x ⟨0 | j 0 (x) Q | 0⟩ = ∫ d 3 x ⟨0 | e i P x j 0 (0) e - i P x Q | 0⟩ = ∫ d 3 x ⟨0 | e i P x j 0 (0) e - i P x Q e i P x e - i P x | 0⟩ = ∫ d 3 x ⟨0 | j 0 (0) Q | 0⟩ {\ displaystyle {\ begin {align} \ langle 0 | QQ | 0 \ rangle = \ int d ^ {3} x \ langle 0 | j_ {0} (x) Q | 0 \ rangle \\ = \ int d ^ {3} x \ left \ langle 0 \ left | e ^ {iPx} j_ {0} (0) e ^ {- iPx} Q \ right | 0 \ right \ rangle \\ = \ int d ^ {3} x \ left \ langle 0 \ left | e ^ {iPx} j_ {0} (0) e ^ {- iPx} Qe ^ {iPx} e ^ {- iPx} \ right | 0 \ right \ rangle \\ = \ int d ^ {3} x \ left \ langle 0 \ left | j_ {0} (0) Q \ right | 0 \ right \ rangle \ end {выравнивается}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ langle 0 | QQ | 0 \ rangle = \ int d ^ {3} x \ langle 0 | j_ {0} (x) Q | 0 \ rangle \\ = \ int d ^ {3} x \ left \ langle 0 \ left | e ^ {iPx} j_ {0} (0) e ^ {- iPx} Q \ right | 0 \ right \ rangle \\ = \ int d ^ {3} x \ left \ langle 0 \ left | e ^ {iPx} j_ {0} (0) e ^ {- iPx} Qe ^ {iPx} e ^ {- iPx} \ right | 0 \ right \ rangle \\ = \ int d ^ {3} x \ left \ langle 0 \ left | j_ {0} (0) Q \ right | 0 \ right \ rangle \ end {align}}}

, поэтому подынтегральное выражение в правая часть не зависит от позиции.

Таким образом, его значение пропорционально общему объему пространства, $‖ Q | 0⟩ ‖ 2 = ∞ {\ displaystyle \ | Q | 0 \ rangle \ | ^ {2} = \ infty}$ ${\ Displaystyle \ | Q | 0 \ rangle \ | ^ {2} = \ infty}$ - если симметрия не нарушена, Q | 0〉 = 0. Следовательно, Q не нарушает собственно не существуют в гильбертовом пространстве.

Инфрачастицы

В теореме есть спорная лазейка. Если внимательно прочитать теорему, она только утверждает, что существуют не вакуумные состояния со сколь угодно малой энергией. Возьмем, например, киральную модель N= 1 супер КХД с ненулевым кварком VEV, который является конформным в ИК. Киральная симметрия - это глобальная симметрия, которая (частично) спонтанно нарушается. Некоторые из «голдстоуновских бозонов», связанных с этим спонтанным нарушением симметрии, заряжены под непрерывной калибровочной группой, и, следовательно, эти составные бозоны имеют непрерывный спектр масс с произвольно малыми массами, но все же не является бозоном Голдстоуна с точно нулевой массой. Другими словами, бозоны Голдстоуна - это инфрачастицы.

нерелятивистские теории

Версия теоремы Голдстоуна также применима к нерелятивистским теориям (а также к релятивистским теориям со спонтанно нарушенными симметриями пространства-времени, такие как симметрия Лоренца или конформная симметрия, вращательная или трансляционная инвариантность).

По сути, он утверждает, что для каждой спонтанно нарушенной симметрии соответствует некоторая квазичастица без энергетической щели - нерелятивистская версия массовой щели. (Обратите внимание, что энергия здесь действительно H − μN − α →⋅P→, а не H.) Однако теперь два разных спонтанно сломанных генератора могут дать начало одному и тому же бозону Намбу – Голдстоуна. Например, в сверхтекучей жидкости как симметрия числа частиц U (1), так и симметрия галилея спонтанно нарушены. Однако фонон является бозоном Голдстоуна для обоих.

В общем случае фонон является бозоном Намбу – Голдстоуна для спонтанно нарушенной галилеевой / лоренц симметрии. Однако, в отличие от случая нарушения внутренней симметрии, когда симметрии пространства-времени нарушаются, параметр порядка не обязательно должен быть скалярным полем, но может быть тензорным полем, и соответствующие независимые безмассовые моды теперь могут быть меньше, чем количество спонтанно возникающих сломанные генераторы, потому что моды Голдстоуна теперь могут быть линейно зависимыми между собой: например, режимы Голдстоуна для некоторых генераторов могут быть выражены как градиенты режимов Голдстоуна для других сломанных генераторов.

Фермионы Намбу – Голдстоуна

Спонтанно нарушенные глобальные фермионные симметрии, которые возникают в некоторых суперсимметричных моделях, приводят к фермионам Намбу – Голдстоуна или голдстинос. Они имеют спин 1/2 вместо 0 и несут все квантовые числа соответствующих генераторов суперсимметрии, спонтанно нарушенные.

Спонтанное нарушение суперсимметрии разбивает («сокращает») супермультиплетные структуры до характерных нелинейных реализаций нарушенной суперсимметрии, так что голдстино являются суперпартнерами всех частиц в теории, любого спина, и при этом единственные суперпартнеры. То есть, скажем, две не-голдстино-частицы связаны только с голдстино посредством преобразований суперсимметрии, а не друг с другом, даже если они были так связаны до нарушения суперсимметрии. В результате массы и спиновые множественности таких частиц будут произвольными.

См. Также

Примечания

Источники

^Намбу, И. (1960). «Квазичастицы и калибровочная инвариантность в теории сверхпроводимости». Физический обзор. 117 (3): 648–663. Bibcode : 1960PhRv..117..648N. doi : 10.1103 / PhysRev.117.648.
^Голдстоун, Дж. (1961). «Теории поля со сверхпроводниками». Nuovo Cimento. 19 (1): 154–164. Bibcode : 1961NCim... 19..154G. doi : 10.1007 / BF02812722.
^Голдстоун, Дж; Салам, Абдус; Вайнберг, Стивен (1962). «Нарушенные симметрии». Физический обзор. 127 (3): 965–970. Bibcode : 1962PhRv..127..965G. doi : 10.1103 / PhysRev.127.965.
^П. В. Андерсон (1958). «Когерентные возбужденные состояния в теории сверхпроводимости: калибровочная инвариантность и эффект Мейснера». 110 (4): 827. Для цитирования журнала требуется | journal =()
^PW Anderson (1958). «Случайно-фазовая аппроксимация в теории сверхпроводимости ». 112 (6): 1900. Для цитирования журнала требуется | journal =()
^Н.Н. Боголюбов; В.В. Толмачев; Д.В. Ширков (1958)). «Новый метод в теории сверхпроводимости». Для цитирования журнала требуется | journal =() CS1 maint: использует параметр авторов (ссылка )
^Доказательство из научной литературы
^См. механизм Хиггса.
^Фабри, Э. и Пикассо, Л. Е. (1966), «Квантовая теория поля и приближенные симметрии», Phys. Rev. Lett. 16 (1966)) 408 doi : 10.1103 / PhysRevLett.16.408.2
^Волков Д.В.; Акулов В. (1973). «Является ли нейтрино частицей золотого камня?». Physics Letters. B46 (1): 109–110. Bibcode : 1973PhLB... 46..109V. doi : 10.1016 / 0370- 2693 (73) 90490-5.
^Salam, A; et al. (1974). «On Goldstone Fermion». Physics Letters. B49 (5): 465–467. Bibcode : 1974PhLB... 49..465S. doi :10.1016/0370-2693(74)90637-6.