В вероятности и статистике, многомерная случайная величина или случайный вектор представляет собой список математических переменных каждого из значений которого неизвестен, либо потому, что значение еще не произошло или потому, что есть несовершенное знание о его стоимости. Отдельные переменные в случайном векторе сгруппированы вместе, потому что все они являются частью единой математической системы - часто они представляют разные свойства отдельной статистической единицы. Например, хотя у данного человека есть определенный возраст, рост и вес, представление этих характеристик неуказанного человека из группы будет случайным вектором. Обычно каждый элемент случайного вектора является действительным числом.
Случайные векторы часто используются в качестве базовой реализации различных типов совокупных случайных величин, например, случайной матрицы, случайного дерева, случайной последовательности, случайного процесса и т. Д.
Более формально, многомерная случайная величина представляет собой вектор - столбца (или его транспонирование, который представляет собой вектор - строки ), компоненты которого являются скалярными -значными случайными величинами на то же вероятностном пространстве, как друг с другом, где это выборочное пространство, является сигма- алгебра (совокупность всех событий) и является мерой вероятности (функцией, возвращающей вероятность каждого события).
СОДЕРЖАНИЕ
- 1 Распределение вероятностей
- 2 Операции со случайными векторами
- 2.1 Аффинные преобразования
- 2.2 Обратимые отображения
- 3 Ожидаемое значение
- 4 Ковариация и кросс-ковариация
- 4.1 Определения
- 4.2 Свойства
- 4.3 Некоррелированность
- 5 Корреляция и взаимная корреляция
- 5.1 Определения
- 5.2 Свойства
- 6 Ортогональность
- 7 Независимость
- 8 Характеристическая функция
- 9 Другие свойства
- 9.1 Ожидание квадратичной формы
- 9.2 Ожидание произведения двух различных квадратичных форм
- 10 приложений
- 10.1 Теория портфолио
- 10.2 Теория регрессии
- 10.3 Векторные временные ряды
- 11 Источники
- 12 Дальнейшее чтение
Распределение вероятностей
Основная статья:
многомерное распределение вероятностей Каждый случайный вектор порождает вероятностную меру с алгеброй Бореля в качестве базовой сигма-алгебры. Эта мера также известна как совместное распределение вероятностей, совместное распределение или многомерное распределение случайного вектора.
В распределения каждого из компонентов случайных величин называются маргинальные распределения. Условное распределение вероятностей по данности является распределение вероятностей, когда известно, что конкретное значение.
Интегральная функция распределения случайного вектора определяется как
| | ( Уравнение 1 ) |
где.
Операции над случайными векторами
Случайные векторы могут подвергаться тем же видам алгебраических операций, что и неслучайные векторы: сложение, вычитание, умножение на скаляр и взятие скалярных произведений.
Аффинные преобразования
Точно так же новый случайный вектор может быть определен путем применения аффинного преобразования к случайному вектору:
- , где - матрица, а - вектор-столбец.
Если - обратимая матрица и имеет функцию плотности вероятности, то плотность вероятности равна
- .
Обратимые отображения
В более общем плане мы можем изучать обратимые отображения случайных векторов.
Пусть отображение один-к-одному из открытого подмножества из на подмножества из, пусть имеют непрерывные частные производные в и пусть якобиеву определитель из быть нуль ни в одной точке. Предположим, что реальный случайный вектор имеет функцию плотности вероятности и удовлетворяет. Тогда случайный вектор имеет плотность вероятности
где обозначает индикаторную функцию, а множество обозначает поддержку.
Ожидаемое значение
Ожидаемое значение или среднее случайного вектора является фиксированным вектором, элементы которого являются ожидаемыми значениями соответствующих случайных величин.
| | ( Уравнение 2 ) |
Ковариация и кросс-ковариация
Определения
Ковариационная матрица (также называемый второй центральный момент или ковариационная матрица) из случайного вектора является матрица которого ( I, J) - й элемент является ковариация между я - й и с J - го случайных величин. Ковариационная матрица - это ожидаемое значение, элемент за элементом, матрицы, вычисляемой как, где верхний индекс T относится к транспонированию указанного вектора:
| | ( Уравнение 3 ) |
В более широком смысле, матрица кросс-ковариации между двумя случайными векторами и ( имеющими элементы и имеющими элементы) является матрицей
| | ( Уравнение 4 ) |
где снова матричное ожидание берется поэлементно в матрице. Здесь ( i, j ) -й элемент - это ковариация между i- м элементом и j- м элементом.
Характеристики
Ковариационная матрица - это симметричная матрица, т. Е.
- .
Ковариационная матрица - это положительно полуопределенная матрица, т. Е.
- .
Матрица кросс-ковариации - это просто транспонирование матрицы, т. Е.
- .
Некоррелированность
Два случайных вектора и называются некоррелированными, если
- .
Они некоррелированы тогда и только тогда, когда их матрица кросс-ковариации равна нулю.
Корреляция и взаимная корреляция
Определения
Корреляционная матрица (также называемый второй момент ) из случайного вектора представляет собой матрицу, ( I, J) - й элемент является соотношение между я - й и J - го случайных величин. Корреляционная матрица - это ожидаемое значение, элемент за элементом, матрицы, вычисляемой как, где верхний индекс T относится к транспонированию указанного вектора:
| | ( Уравнение 5 ) |
В более широком смысле, матрица взаимной корреляции между двумя случайными векторами и ( имеющими элементы и имеющими элементы) является матрицей
| | ( Уравнение 6 ) |
Характеристики
Корреляционная матрица связана с ковариационной матрицей соотношением
- .
Аналогично для матрицы взаимной корреляции и матрицы кросс-ковариации:
Ортогональность
Два случайных вектора одинакового размера и называются ортогональными, если
- .
Независимость
Основная статья:
Независимость (теория вероятностей) Два случайных вектора и называются независимыми, если для всех и
где и обозначают кумулятивные функции распределения и, а обозначают их совместную кумулятивную функцию распределения. Независимость от и часто обозначается как. Написаны покомпонентно и называются независимыми, если для всех
- .
Характеристическая функция
Характеристическая функция случайного вектора с компонентами является функцией, которая отображает каждый вектор в комплексное число. Это определяется
- .
Другие свойства
Ожидание квадратичной формы
Можно получить математическое ожидание квадратичной формы в случайном векторе следующим образом:
где - ковариационная матрица и относится к следу матрицы, то есть к сумме элементов на ее главной диагонали (сверху слева направо вниз). Поскольку квадратичная форма является скаляром, то же самое и ее математическое ожидание.
Доказательство : Позвольте быть случайным вектором с и и пусть быть нестохастической матрицей.
Затем, исходя из формулы ковариации, если мы обозначим и, мы увидим, что:
Следовательно
что оставляет нам показать, что
Это верно на основании того факта, что можно циклически переставлять матрицы при взятии трассировки без изменения конечного результата (например:).
Мы видим что
И с тех пор
является скаляром, то
тривиально. Используя перестановку, получаем:
и вставив это в исходную формулу, мы получим:
Ожидание произведения двух различных квадратичных форм
Можно получить математическое ожидание произведения двух различных квадратичных форм в гауссовском случайном векторе с нулевым средним следующим образом:
где снова - ковариационная матрица. Опять же, поскольку обе квадратичные формы являются скалярами и, следовательно, их произведение является скаляром, математическое ожидание их произведения также является скаляром.
Приложения
Теория портфолио
В теории портфелей в финансах цель часто состоит в том, чтобы выбрать портфель рискованных активов так, чтобы распределение случайной доходности портфеля имело желаемые свойства. Например, можно выбрать доходность портфеля, имеющую наименьшую дисперсию для данного ожидаемого значения. Здесь случайный вектор - это вектор случайной доходности отдельных активов, а доходность портфеля p (случайный скаляр) - это внутреннее произведение вектора случайной доходности на вектор w весов портфеля - долей портфеля, помещенных в соответствующие активы. Поскольку p = w T, ожидаемое значение доходности портфеля равно w T E (), и можно показать, что дисперсия доходности портфеля равна w T C w, где C - ковариационная матрица.
Теория регрессии
В теории линейной регрессии у нас есть данные о n наблюдениях для зависимой переменной y и n наблюдениях для каждой из k независимых переменных x j. Наблюдения за зависимой переменной складываются в вектор-столбец y ; наблюдения по каждой независимой переменной также складываются в векторы-столбцы, и эти последние векторы-столбцы объединяются в матрицу плана X (не обозначающую случайный вектор в этом контексте) наблюдений за независимыми переменными. Затем постулируется следующее уравнение регрессии как описание процесса, в результате которого были получены данные:
где β - постулируемый фиксированный, но неизвестный вектор k коэффициентов отклика, а e - неизвестный случайный вектор, отражающий случайные влияния на зависимую переменную. С помощью некоторой выбранной техники, такой как обычный метод наименьших квадратов, вектор выбирается в качестве оценки β, а оценка вектора e, обозначенная, вычисляется как
Затем статистик должен проанализировать свойства и, которые рассматриваются как случайные векторы, поскольку случайный выбор n наблюдений привел бы к другим значениям для них.
Векторный временной ряд
Эволюцию случайного вектора k × 1 во времени можно смоделировать как векторную авторегрессию (VAR) следующим образом:
где я - периоды обратных вектора наблюдения называются я -й отставание, с является к × 1 вектор констант ( перехваты ), я являюсь стационарен к × K матрица и является к × 1 случайный вектора условий ошибки.
использованная литература
дальнейшее чтение
- Старк, Генри; Вудс, Джон В. (2012). «Случайные векторы». Вероятность, статистика и случайные процессы для инженеров (четвертое изд.). Пирсон. С. 295–339. ISBN 978-0-13-231123-6.