Задача Минковского

редактировать

В дифференциальной геометрии, Минковского задача, названная в честь Германа Минковского, требует построения строго выпуклой компактной поверхности S, гауссовой кривизны которой задана Точнее, входом в задачу является строго положительная вещественная функция ƒ, определенная на сфере, а поверхность, которую нужно построить, должна иметь гауссову кривизну ƒ (n (x)) в точке x, где n (x) обозначает нормаль к S в точке x. Эухенио Калаби sta тед: «С геометрической точки зрения это [проблема Минковского] - это Розеттский камень, из которого могут быть решены несколько связанных проблем».

В общем, Минковский в задаче требуются необходимые и достаточные условия, при которых неотрицательная борелевская мера на единичной сфере S должна быть мерой площади поверхности выпуклого тела в R n {\ displaystyle \ mathbb { R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} . Здесь мера площади поверхности S K выпуклого тела K является прямым результатом (n-1) -мерной меры Хаусдорфа, ограниченной границей K через отображение Гаусса. Задача Минковского была решена Германом Минковским, Александром Даниловичем Александровым, Вернером Фенхелем и Бёрге Йессеном : мера Бореля μ на единице сфера является мерой площади поверхности выпуклого тела тогда и только тогда, когда μ имеет центроид в начале координат и не сосредоточен на большой подсфере. Тогда выпуклое тело однозначно определяется по μ с точностью до сдвигов.

Проблема Минковского, несмотря на ее ясное геометрическое происхождение, обнаруживается во многих местах. Проблема радиолокации легко сводится к проблеме Минковского в евклидовом 3-пространстве : восстановление выпуклой формы по заданной кривизне гауссовой поверхности. Обратная задача дифракции коротких волн сводится к задаче Минковского. Проблема Минковского является основой математической теории дифракции, а также физической теории дифракции.

В 1953 году Луи Ниренберг опубликовал решения двух давно существующих открытых проблем, проблемы Вейля и проблемы Минковского в трехмерном евклидовом пространстве. Решение Л. Ниренбергом проблемы Минковского стало важной вехой в глобальной геометрии. Он был выбран первым лауреатом медали Черна (в 2010 г.) за его роль в формулировке современной теории нелинейных эллиптических уравнений с частными производными, в частности, за решение проблемы Вейля и проблем Минковского в евклидовой системе 3- пробел.

А. В. Погорелов получил Государственную премию Украины (1973) за решение многомерной задачи Минковского в евклидовых пространствах. Погорелов решил проблему Вейля в римановом пространстве в 1969 году.

Совместная работа Шинг-Тунг Яу с Шиу-Юэнь Ченг дает полное доказательство высшей теории. размерная проблема Минковского в евклидовых пространствах. Шинг-Тунг Яу получил медаль Филдса на Международном конгрессе математиков в Варшаве в 1982 году за свои работы в области глобальной дифференциальной геометрии и эллиптических частных производных. уравнения, особенно для решения таких сложных задач, как гипотеза Калаби 1954 года и проблема Германа Минковского в евклидовых пространствах, касающаяся проблемы Дирихле для реальное уравнение Монжа – Ампера.

Ссылки

Дополнительная литература

Последняя правка сделана 2021-05-30 13:52:17
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте