Теорема о минимаксе

редактировать
Дает условия, которые гарантируют, что неравенство max – min также является равенством

в математической области теории игр, теорема о минимаксе - это теорема, обеспечивающая условия, гарантирующие, что max – min неравенство также является равенством. Первая теорема в этом смысле - это минимаксная теорема фон Неймана 1928 года, которая считалась отправной точкой теории игр. С тех пор в литературе появилось несколько обобщений и альтернативных версий исходной теоремы фон Неймана.

Игры с нулевой суммой

Функция f (x, y) = xy вогнуто-выпуклая.

Теорема о минимаксе была впервые доказана и опубликована в 1928 году Джоном фон Нейманом, который, как цитируют, сказал: «Насколько я могу судить, теории игр не могло бы быть... без этой теоремы... Я думал, что существует ничего достойного публикации, пока не будет доказана теорема о минимаксе ».

Формально теорема фон Неймана о минимаксе утверждает:

Пусть X ⊂ R n {\ displaystyle X \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle X \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} и Y ⊂ R m {\ displaystyle Y \ subset \ mathbb {R} ^ {m}}{\ displaystyle Y \ subset \ mathbb {R} ^ {m}} быть компактным выпуклые множества. Если f: X × Y → R {\ displaystyle f: X \ times Y \ rightarrow \ mathbb {R}}{\ displaystyle f: X \ раз Y \ rightarrow \ mathbb {R}} - непрерывная функция, которая является вогнуто-выпуклой, т. Е.

f ( ⋅, y): X → R {\ displaystyle f (\ cdot, y): X \ rightarrow \ mathbb {R}}{\ displaystyle f (\ cdot, y): X \ rightarrow \ mathbb {R}} равно вогнутый для фиксированного y {\ displaystyle y}y и
f (x, ⋅): Y → R {\ displaystyle f (x, \ cdot): Y \ rightarrow \ mathbb {R}}{\ displaystyle f ( х, \ cdot): Y \ rightarrow \ mathbb {R}} выпуклый для фиксированного x {\ displaystyle x}x.

Тогда мы имеем, что

max x ∈ X min y ∈ Y f (x, y) = min y ∈ Y max x ∈ X f (x, y). {\ displaystyle \ max _ {x \ in X} \ min _ {y \ in Y} f (x, y) = \ min _ {y \ in Y} \ max _ {x \ in X} f (x, y).}{\ displaystyle \ max _ { x \ in X} \ min _ {y \ in Y} f (x, y) = \ min _ {y \ in Y} \ max _ {x \ in X} f (x, y).}

См. также

Ссылки

.

Последняя правка сделана 2021-05-30 13:16:09
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте