Метабелевская группа

В математике метабелева группа - это группа, коммутаторная подгруппа которой абелева. Эквивалентно, a группа G является метабелевой тогда и только тогда, когда существует абелева нормальная подгруппа A такая, что фактор-группа G / A абелева.

Подгруппы метабелевых групп метабелевы, как и образы метабелевых групп над гомоморфизмами групп.

Метабелевы группы разрешимая. Фактически, это в точности разрешимые группы производной длины не более 2.

Примеры

• Любая группа диэдра является метабелевой, так как она имеет циклическую нормаль подгруппа индекса 2. В более общем смысле любая обобщенная группа диэдра является метабелевой, так как она имеет абелеву нормальную подгруппу индекса 2.
• Если F является полем, группа аффинные карты $x\; \mapsto \; ax\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; ax\; +\; b\}$(где a ≠ 0), действующие на F, являются метабелевыми. Здесь абелева нормальная подгруппа - это группа чистых переводов $x\; \mapsto \; x\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; x\; +\; b\}$, а абелева фактор-группа изоморфна к группа гомотетий $x\; \mapsto \; ax\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; ax\}$. Если F - конечное поле с q элементами, эта метабелева группа имеет порядок q (q - 1).
• Группа прямых изометрий евклидовой плоскости метабелева. Это похоже на приведенный выше пример, поскольку элементы снова являются аффинными отображениями. Сдвиги плоскости образуют абелеву нормальную подгруппу группы, а соответствующий фактор - это круговая группа.
• Конечная группа Гейзенберга H 3, p порядка p метабелев. То же самое верно для любой группы Гейзенберга, определенной над кольцом (группа верхнетреугольных матриц 3 × 3 с элементами в коммутативном кольце ).
• Все нильпотентные группы класса 3 или менее являются метабелевыми.
• группа фонарщиков метабелевыми.
• Все группы порядка p метабелевы (для простого p). MSE
• Все группы порядка меньше 24 являются метабелевыми.

В отличие от этого последнего примера, симметрическая группа S4порядка 24 не является метабелевой, так как ее коммутаторная подгруппа не является метабелевой. -abelian переменная группа A4.

Ссылки

• Робинсон, Дерек Дж.С. (1996), Курс теории групп, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6

Внешние ссылки

• Райан Виснески, Решаемые группы (подраздел Метабелевы группы)
• Groupprops, The Group Properties Wiki Метабелева группа

.