Метабелевская группа

В математике, метабелево группа представляет собой группу, которой Коммутант является абелевой. Эквивалентно, группа G метабелева тогда и только тогда, когда существует абелева нормальная подгруппа A такая, что фактор-группа G / A абелева.

Подгруппы метабелевых групп метабелевы, как и образы метабелевых групп над гомоморфизмами групп.

Метабелевы группы разрешимы. Фактически это в точности разрешимые группы производной длины не более 2.

• Любая группа диэдра является метабелевой, так как у нее есть циклическая нормальная подгруппа индекса 2. В более общем смысле любая обобщенная группа диэдра является метабелевой, так как она имеет абелеву нормальную подгруппу индекса 2.
• Если F - поле, группа аффинных отображений (где a 0), действующих на F, метабелева. Здесь абелева нормальная подгруппа - это группа чистых сдвигов, а абелева фактор-группа изоморфна группе гомотетий. Если F - конечное поле с q элементами, эта метабелева группа имеет порядок q ( q - 1).${\ displaystyle x \ mapsto ax + b}$${\ displaystyle x \ mapsto x + b}$ ${\ Displaystyle х \ mapsto ax}$
• Группа прямых изометрии в евклидовой плоскости метабелева. Это похоже на приведенный выше пример, поскольку элементы снова являются аффинными отображениями. Сдвиги плоскости образуют абелеву нормальную подгруппу группы, а соответствующий фактор - круговая группа.
• Конечная группа Гейзенберга H 3, p порядка p ³ метабелева. То же самое верно для любой группы Гейзенберга, определенной над кольцом (группой верхнетреугольных матриц 3 × 3 с элементами в коммутативном кольце ).
• Все нильпотентные группы класса 3 и менее метабелевы.
• Группа фонарщиков метабелевская.
• Все группы порядка p ⁵ метабелевы (для простого p). MSE
• Все группы порядка менее 24 являются метабелевыми.

В отличие от этого последнего примера, симметрическая группа S 4 порядка 24 не является метабелевой, так как ее коммутаторная подгруппа является неабелевой знакопеременной группой A 4.

• Робинсон, Дерек Дж.С. (1996), Курс теории групп, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-94461-6

• Райан Виснески, Разрешаемые группы (подраздел Метабелевы группы)
• Groupprops, Метабелева группа The Group Properties Wiki