Названный в честь | Марин Мерсенн |
---|---|
Количество известных терминов | 51 |
Предполагаемый нет.условий | Бесконечный |
подпоследовательности из | Числа Мерсенна |
Первые триместры | 3, 7, 31, 127, 8191 |
Самый большой известный термин | 2 82,589,933 - 1 (7 декабря 2018 г.) |
Индекс OEIS |
Мерсенна является простым числом, то есть один меньше, чем степень два. То есть это простое число вида M n = 2 n - 1 для некоторого целого n. Они названы в честь Марина Мерсенна, французского монаха-миним, изучавшего их в начале 17 века. Если п является составным числом, то так 2 п - 1. Следовательно, эквивалентное определение простых чисел Мерсенна состоит в том, что они являются простыми числами вида M p = 2 p - 1для некоторого простого p.
Показатели степени n, которые дают простые числа Мерсенна, равны 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31,... (последовательность A000043 в OEIS ), а результирующие простые числа Мерсенна равны 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647,... (последовательность A000668 в OEIS ).
Числа вида M n = 2 n - 1 без требования простоты могут называться числами Мерсенна. Иногда, однако, к числам Мерсенна добавляется дополнительное требование, чтобы n было простым числом. Наименьшее составное число Мерсенна с простым показателем n равно 2 11 - 1 = 2047 = 23 × 89.
Простые числа Мерсенна изучались в древности из-за их тесной связи с совершенными числами: теорема Евклида – Эйлера утверждает взаимно однозначное соответствие между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна. Многие из самых больших известных простых чисел являются простыми числами Мерсенна, потому что числа Мерсенна легче проверить на простоту.
По состоянию на октябрь 2020 года известно 51 простое число Мерсенна. Самым крупным известным простым числом, 2 82589933 - 1, является простым Мерсенна. С 1997 года все вновь найденные простые числа Мерсенна были обнаружены Большой Интернет Мерсенна Поиск, в распределенной вычислительной проекта. В декабре 2020 года важная веха в проекте была пройдена после того, как все экспоненты ниже 100 миллионов были проверены хотя бы один раз.
Бесконечно много простых чисел Мерсенна?
(больше нерешенных задач по математике)Многие фундаментальные вопросы о простых числах Мерсенна остаются нерешенными. Неизвестно даже, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна. Гипотеза Ленстры – Померанса – Вагстаффа утверждает, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна, и предсказывает порядок их роста. Также неизвестно, являются ли составными бесконечно много чисел Мерсенна с простыми показателями, хотя это следует из широко распространенных гипотез о простых числах, например, бесконечности простых чисел Софи Жермен, конгруэнтных 3 ( mod 4 ). Для этих простых чисел р, 2 р + 1 (который также является первичным), разделит М р, например, 23 | M 11, 47 | M 23, 167 | M 83, 263 | M 131, 359 | M 179, 383 | M 191, 479 | М 239 и 503 | M 251 (последовательность A002515 в OEIS ). Поскольку для этих простых чисел p, 2 p + 1 конгруэнтно 7 mod 8, поэтому 2 является квадратичным вычетом по модулю 2 p + 1, и порядок умножения 2 mod 2 p + 1 должен делить = p. Поскольку p простое число, оно должно быть p или 1. Однако оно не может быть 1, так как 1 не имеет простых делителей, поэтому оно должно быть p. Следовательно, 2 p + 1 делится и не может быть простым.
Первые четыре простых числа Мерсенна - это M 2 = 3, M 3 = 7, M 5 = 31 и M 7 = 127, и поскольку первое простое число Мерсенна начинается с M 2, все простые числа Мерсенна конгруэнтны 3 (mod 4). За исключением M 0 = 0 и M 1 = 1, все другие числа Мерсенна также конгруэнтны 3 (mod 4). Следовательно, при простой факторизации числа Мерсенна ( ≥ M 2 ) должен быть хотя бы один простой множитель, конгруэнтный 3 (mod 4).
Основная теорема о числах Мерсенна утверждает, что если M p простое, то показатель p также должен быть простым. Это следует из тождества
Это исключает простоту чисел Мерсенна с составным показателем, например M 4 = 2 4 - 1 = 15 = 3 × 5 = (2 2 - 1) × (1 + 2 2).
Хотя приведенные выше примеры могут предполагать, что M p является простым для всех простых чисел p, это не так, и наименьший контрпример - это число Мерсенна.
Имеющиеся данные свидетельствуют о том, что случайно выбранное число Мерсенна с гораздо большей вероятностью будет простым, чем произвольно выбранное случайным образом нечетное целое число аналогичного размера. Тем не менее, простые значения M p, по- видимому, становятся все более разреженными с увеличением p. Например, восемь из первых 11 простых чисел p дают начало простому числу Мерсенна M p (правильные члены в исходном списке Мерсенна), в то время как M p является простым только для 43 из первых двух миллионов простых чисел (до 32 452 843).
Отсутствие какого-либо простого теста для определения того, является ли данное число Мерсенна простым, делает поиск простых чисел Мерсенна сложной задачей, поскольку числа Мерсенна растут очень быстро. Тест на простоту Лукаса – Лемера (LLT) - это эффективный тест на простоту, который значительно помогает в решении этой задачи, значительно упрощая проверку простоты чисел Мерсенна по сравнению с большинством других чисел того же размера. Поиск самого большого из известных простых чисел стал чем-то вроде культа. Следовательно, на поиск новых простых чисел Мерсенна было затрачено большое количество компьютерных мощностей, большая часть которых теперь выполняется с использованием распределенных вычислений.
Арифметика по модулю числа Мерсенна особенно эффективна на двоичном компьютере, что делает их популярным выбором, когда требуется простой модуль, например, генератор случайных чисел Парка – Миллера. Чтобы найти примитивный многочлен порядка чисел Мерсенна, необходимо знать факторизацию этого числа, поэтому простые числа Мерсенна позволяют находить примитивные многочлены очень высокого порядка. Такие примитивные трехчлены используются в генераторах псевдослучайных чисел с очень большими периодами, таких как твистер Мерсенна, обобщенный регистр сдвига и генераторы Фибоначчи с запаздыванием.
Простые числа Мерсенна M p тесно связаны с совершенными числами. В 4 веке до нашей эры Евклид доказал, что если 2 p - 1 простое число, то 2 p - 1 (2 p - 1) - совершенное число. В XVIII веке Леонард Эйлер доказал, что, наоборот, все четные совершенные числа имеют такую форму. Это известно как теорема Евклида – Эйлера. Неизвестно, существуют ли совершенные нечетные числа.
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
23 | 29 | 31 год | 37 | 41 год | 43 год | 47 | 53 |
59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 |
137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 |
269 | 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 | 311 |
Первые 64 простых показателя степени, соответствующие простым числам Мерсенна, заштрихованы голубым и жирным шрифтом, а те, которые, как полагал Мерсенн, сделали красным и жирным шрифтом. |
Простые числа Мерсенна получили свое название от французского ученого 17-го века Марина Мерсенна, который составил список простых чисел Мерсенна с показателями до 257. Показатели, перечисленные Мерсенном, были следующими:
Его список воспроизводил известные простые числа своего времени с показателями до 19. Его следующая запись, 31, была правильной, но затем список стал в значительной степени неверным, поскольку Мерсенн ошибочно включил M 67 и M 257 (которые являются составными) и пропустил M 61., M 89 и M 107 (простые). Мерсенн не дал особых указаний на то, как он пришел к своему списку.
Эдуард Лукас доказал в 1876 году, что M 127 действительно простое, как утверждал Мерсенн. Это было наибольшее известное простое число за 75 лет до 1951 года, когда Феррье нашел большее простое число с помощью настольной вычислительной машины. М 61 был определен как простое число в 1883 году Иваном Михеевичем Первушиным, хотя Мерсенн утверждал, что оно составное, и по этой причине его иногда называют числом Первушина. Это было вторым по величине известным простым числом, и оставалось им до 1911 года. Лукас показал еще одну ошибку в списке Мерсенна в 1876 году. Не найдя множителя, Лукас продемонстрировал, что M 67 на самом деле составное. Никакой фактор не был найден до знаменитого выступления Фрэнка Нельсона Коула в 1903 году. Не говоря ни слова, он подошел к доске и возвысил 2 до 67-й степени, а затем вычел единицу. На другой стороне доски он умножил 193 707 721 × 761 838 257 287 и получил то же число, затем вернулся на свое место (под аплодисменты), не говоря ни слова. Позже он сказал, что на поиск результата у него ушло «три года воскресенья». Правильный список всех простых чисел Мерсенна в этом диапазоне чисел был завершен и тщательно проверен только примерно через три столетия после того, как Мерсенн опубликовал свой список.
Доступны быстрые алгоритмы поиска простых чисел Мерсенна, и по состоянию на июнь 2019 года восемь крупнейших известных простых чисел являются простыми числами Мерсенна.
Первые четыре простых числа Мерсенна M 2 = 3, M 3 = 7, M 5 = 31 и M 7 = 127 были известны в древности. Пятый, M 13 = 8191, был обнаружен анонимно до 1461 года; следующие два ( M 17 и M 19) были обнаружены Пьетро Катальди в 1588 году. Спустя почти два столетия Леонард Эйлер в 1772 году подтвердил, что M 31 является простым числом. Следующим (в историческом, а не в числовом порядке) был M 127, найденная Эдуар Лукас в 1876 году, а затем М 61 от Ivan Михеевич Первушиным в 1883. еще два ( М 89 и М 107) были обнаружены в начале 20 - го века, на RE Сил в 1911 и 1914, соответственно.
Самый эффективный метод, известный в настоящее время для проверки простоты чисел Мерсенна, - это критерий простоты Лукаса – Лемера. В частности, можно показать, что для простого р gt; 2, М р = 2 р - 1 является простым тогда и только тогда, когда M P делит S р - 2, где ˙s 0 = 4 и S K = ( S K - 1) 2 - 2 при k gt; 0.
В эпоху ручного расчета все показатели до 257 включительно были проверены с помощью теста Лукаса – Лемера и оказались составными. Заметный вклад внес профессор физики Йельского университета на пенсии Гораций Скаддер Улер, который провел вычисления для показателей 157, 167, 193, 199, 227 и 229. К сожалению для этих исследователей, интервал, который они тестировали, содержит самый большой известный относительный разрыв между Простые числа Мерсенна: следующий показатель простого числа Мерсенна, 521, окажется более чем в четыре раза больше, чем предыдущий рекорд, равный 127.
График числа цифр в наибольшем известном простом числе Мерсенна по годам - электронная эра. Вертикальная шкала является логарифмической по количеству цифр и, таким образом, является функцией от значения простого числа.Поиск простых чисел Мерсенна произвел революцию с появлением электронных цифровых компьютеров. Алан Тьюринг искал их на Manchester Mark 1 в 1949 году, но первая успешная идентификация простого числа Мерсенна, M 521, таким образом была достигнута в 22:00 30 января 1952 года с использованием Западного национального бюро стандартов США. Автоматический компьютер (SWAC) в Институте численного анализа Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе под руководством Д.Х. Лемера с программой компьютерного поиска, написанной и запущенной профессором Р.М. Робинсоном. Это было первое простое число Мерсенна, идентифицированное за тридцать восемь лет; следующий, M 607, был обнаружен компьютером чуть менее чем через два часа. Еще три - M 1279, M 2203 и M 2281 - были обнаружены той же программой в течение следующих нескольких месяцев. M 4 423 было первым обнаруженным титаническим простым числом, M 44 497 было первым обнаруженным гигантским простым числом, а M 6 972 593 было первым обнаруженным мегапростым числом, являющимся простым числом не менее 1 000 000 цифр. Количество цифр в десятичном представлении М п равна ⌊ п × войти 10 2⌋ + 1, где ⌊ х ⌋ обозначает функцию пол (или, что эквивалентно ⌊log 10 М п ⌋ + 1).
В сентябре 2008 года математики из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, участвовавшие в Большом Интернет-поиске Мерсенна Прайм (GIMPS), выиграли часть приза в 100 000 долларов от Electronic Frontier Foundation за открытие почти 13-миллионного простого числа Мерсенна. Приз, окончательно подтвержденный в октябре 2009 года, - это первое известное простое число с минимум 10 миллионами цифр. Простое число было обнаружено на Dell OptiPlex 745 23 августа 2008 года. Это было восьмое простое число Мерсенна, обнаруженное в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе.
12 апреля 2009 года журнал сервера GIMPS сообщил, что, возможно, было найдено 47-е простое число Мерсенна. Находку впервые заметили 4 июня 2009 года, а спустя неделю подтвердили. Простое число - 2 42 643 801 - 1. Хотя в хронологическом порядке это 47-е открытое простое число Мерсенна, оно меньше самого большого из известных в то время, которое было 45-м открытым.
25 января 2013 года Кертис Купер, математик из Университета Центрального Миссури, обнаружил 48-е простое число Мерсенна, 2 57 885 161 - 1 (число из 17 425 170 цифр), в результате поиска, выполненного сетью серверов GIMPS.
19 января 2016 года Купер опубликовал свое открытие 49-го простого числа Мерсенна 2 74 207 281 - 1 (число из 22 338 618 цифр) в результате поиска, выполненного сетью серверов GIMPS. Это было четвертое простое число Мерсенна, обнаруженное Купером и его командой за последние десять лет.
2 сентября 2016 года система Great Internet Mersenne Prime Search завершила проверку всех тестов ниже M 37 156 667, тем самым официально подтвердив свою позицию 45-го простого числа Мерсенна.
3 января 2018 года было объявлено, что Джонатан Пейс, 51-летний инженер-электрик, живущий в Джермантауне, штат Теннесси, нашел 50-е простое число Мерсенна, 2 77 232 917 - 1 (число, состоящее из 23 249 425 цифр), в результате поиск, выполняемый сетью серверов GIMPS. Открытие было сделано компьютером в офисе церкви в том же городе.
21 декабря 2018 года было объявлено, что The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) обнаружил наибольшее известное простое число 2 82 589 933 - 1, состоящее из 24 862 048 цифр. Компьютер, вызванный Патриком Ларошем из Окалы, Флорида, сделал находку 7 декабря 2018 года.
В конце 2020 года GIMPS начал использовать новую технику для исключения потенциальных простых чисел Мерсенна, называемую тестом вероятного простого числа (PRP), на основе разработки Роберта Гербича в 2017 году и простой способ проверки тестов, разработанных Кшиштофом Петржаком в 2018 году. низкий уровень ошибок и простота доказательства, это почти вдвое сократило время вычислений, чтобы исключить потенциальные простые числа по сравнению с тестом Лукаса-Лемера (поскольку двум пользователям больше не придется выполнять один и тот же тест, чтобы подтвердить результат другого), хотя показатели степени, проходящие Тест PRP по-прежнему требует подтверждения их примитивности.
По состоянию на октябрь 2021 года 51 известное простое число Мерсенна составляет 2 p - 1 для следующего p:
Поскольку это простые числа, простые числа Мерсенна делятся только на 1 и сами на себя. Однако не все числа Мерсенна являются простыми числами Мерсенна. Числа Мерсенна являются очень хорошими тестовыми примерами для алгоритма сита специального числового поля, поэтому часто наибольшее число, факторизованное с помощью этого алгоритма, было числом Мерсенна. По состоянию на июнь 2019 года рекордсменом является 2 1,193 - 1, факторизованный с помощью варианта сита специального числового поля, позволяющего разложить на множители сразу несколько чисел. Ссылки на дополнительную информацию см. В записях целочисленной факторизации. Сито специального числового поля может факторизовать числа с более чем одним большим множителем. Если число имеет только один очень большой множитель, тогда другие алгоритмы могут факторизовать большие числа, сначала находя маленькие множители, а затем выполняя проверку на простоту кофактора. По состоянию на июль 2021 года наибольшее факторизация с вероятными допустимыми простыми множителями составляет 2 10 443 557 - 1 = 37 289 325 994 807 × q, где q - вероятное простое число из 3 143 811 цифр. Его обнаружил участник GIMPS с ником fre_games. По состоянию на июль 2021 года число Мерсенна M 1277 является наименьшим составным числом Мерсенна без каких-либо известных факторов; у него нет простых множителей меньше 2 68.
В таблице ниже показаны факторизации первых 20 составных чисел Мерсенна (последовательность A244453 в OEIS ).
п | M p | Факторизация M p |
---|---|---|
11 | 2047 | 23 × 89 |
23 | 8388607 | 47 × 178 481 |
29 | 536870911 | 233 × 1 103 × 2089 |
37 | 137438953471 | 223 × 616 318 177 |
41 год | 2199023255551 | 13,367 × 164,511,353 |
43 год | 8796093022207 | 431 × 9 719 × 2 099 863 |
47 | 140737488355327 | 2351 × 4513 × 13 264 529 |
53 | 9007199254740991 | 6 361 × 69 431 × 20 394 401 |
59 | 57646075230343487 | 179 951 × 3 203 431 780 337 (13 цифр) |
67 | 147573952589676412927 | 193,707,721 × 761,838,257,287 (12 цифр) |
71 | 2361183241434822606847 | 228,479 × 48,544,121 × 212,885,833 |
73 | 9444732965739290427391 | 439 × 2,298,041 × 9,361,973,132,609 (13 цифр) |
79 | 604462909807314587353087 | 2,687 × 202,029,703 × 1,113,491,139,767 (13 цифр) |
83 | 967140655691... 033397649407 | 167 × 57,912,614,113,275,649,087,721 (23 цифры) |
97 | 158456325028... 187087900671 | 11,447 × 13,842,607,235,828,485,645,766,393 (26 цифр) |
101 | 253530120045... 993406410751 | 7,432,339,208,719 (13 цифр) × 341,117,531,003,194,129 (18 цифр) |
103 | 101412048018... 973625643007 | 2,550,183,799 × 3,976,656,429,941,438,590,393 (22 цифры) |
109 | 649037107316... 312041152511 | 745,988,807 × 870,035,986,098,720,987,332,873 (24 цифры) |
113 | 103845937170... 992658440191 | 3,391 × 23,279 × 65,993 × 1,868,569 × 1,066,818,132,868,207 (16 цифр) |
131 | 272225893536... 454145691647 | 263 × 10,350,794,431,055,162,386,718,619,237,468,234,569 (38 цифр) |
Количество факторов для первых 500 чисел Мерсенна можно найти по адресу (последовательность A046800 в OEIS ).
В математической задаче Tower of Hanoi решение головоломки с башней из n дисков требует M n шагов при условии, что не было сделано никаких ошибок. Количество зерен риса на всей шахматной доске в пшеницы и шахматной доске задачи является М 64.
Астероид с малой планетой номер 8191 назван 8191 Мерсенна после Мерсенн, потому что 8191 является простым Мерсенна ( 3 Juno, 7 Iris, 31 Евфросиния и 127 Johanna найденние и назван в течение 19 - го века).
В геометрии целочисленный прямоугольный треугольник, который является примитивным и имеет четную ногу со степенью 2 ( ≥ 4 ), порождает уникальный прямоугольный треугольник, внутренний радиус которого всегда является числом Мерсенна. Например, если четный отрезок равен 2 n + 1, то, поскольку он примитивен, он ограничивает нечетный отрезок равным 4 n - 1, гипотенузу - 4 n + 1, а ее внутренний радиус - 2 n - 1.
Числа Мерсенна были изучены относительно общего числа приемных путей недетерминированных машин Тьюринга с полиномиальным временем в 2018 году, и были обнаружены интересные включения.
Номер Мерсенн-Ферма определяется как2 п р - 1/2 п р - 1 - 1, с простым p, натуральным числом r и может быть записано как MF ( p, r). Когда r = 1, это число Мерсенна. Когда p = 2, это число Ферма. Единственные известные простые числа Мерсенна – Ферма с r gt; 1 - это
Фактически, MF ( p, r) = Φ p r (2), где Φ - круговой многочлен.
Простейшие обобщенные простые числа Мерсенна - это простые числа вида f (2 n), где f ( x) - многочлен низкой степени с малыми целыми коэффициентами. Пример: 2 64 - 2 32 + 1, в данном случае n = 32, а f ( x) = x 2 - x + 1 ; другой пример - 2 192 - 2 64 - 1, в данном случае n = 64, а f ( x) = x 3 - x - 1.
Также естественно попытаться обобщить простые числа вида 2 n - 1 на простые числа вида b n - 1 (для b ≠ 2 и n gt; 1). Однако (см. Также теоремы выше), b n - 1 всегда делится на b - 1, поэтому, если последнее не является единицей, первое не является простым. Это можно исправить, разрешив b быть алгебраическим целым числом вместо целого:
В кольце целых чисел (на действительных числах ), если b - 1 - единица, то b равно 2 или 0. Но 2 n - 1 - обычные простые числа Мерсенна, и формула 0 n - 1 ни к чему не приводит. интересно (поскольку он всегда равен −1 для всех n gt; 0). Таким образом, мы можем рассматривать кольцо «целых» на комплексных числах вместо действительных чисел, таких как гауссовские целые числа и целые числа Эйзенштейна.
Если мы рассмотрим кольцо целых гауссовских чисел, мы получим случай b = 1 + i и b = 1 - i, и можем спросить ( WLOG ), для какого n число (1 + i) n - 1 является гауссовым простым числом, которое будет затем называть гауссовым простым числом Мерсенна.
(1 + i) n - 1 является гауссовским простым числом для следующих n:
Подобно последовательности показателей для обычных простых чисел Мерсенна, эта последовательность содержит только (рациональные) простые числа.
Что касается всех гауссовских простых чисел, нормы (то есть квадраты абсолютных значений) этих чисел являются рациональными простыми числами:
Можно встретить случаи, когда такое простое число Мерсенна также является простым числом Эйзенштейна, имея вид b = 1 + ω и b = 1 - ω. В этих случаях такие числа называются простыми числами Эйзенштейна-Мерсенна.
(1 + ω) n - 1 является простым числом Эйзенштейна для следующих n:
Нормы (то есть квадраты абсолютных значений) этих простых чисел Эйзенштейна являются рациональными простыми числами:
Другой способ справиться с тем фактом, что b n - 1 всегда делится на b - 1, - просто вычесть этот множитель и спросить, какие значения n дают
быть первоклассным. (Целое число b может быть как положительным, так и отрицательным.) Если, например, мы возьмем b = 10, мы получим n значений:
Эти простые числа называются простыми числами повторного объединения. Другой пример: когда мы берем b = −12, мы получаем n значений:
Это гипотеза, что для любого целого числа b, которое не является совершенной степенью, существует бесконечно много значений n таких, чтоб н - 1/б - 1простое. (Когда b - идеальная степень, можно показать, что существует не более одного значения n такое, чтоб н - 1/б - 1 простое)
Наименьшее n таких, чтоб н - 1/б - 1простое число (начиная с b = 2, 0, если такого n не существует)
Для отрицательных оснований b они равны (начиная с b = −2, 0, если такого n не существует)
Наименьшее основание b такое, чтоb простое число ( n) - 1/б - 1 просты
Для отрицательных оснований b они равны
Другое обобщенное число Мерсенна - это
с a, b любыми взаимно простыми целыми числами, a gt; 1 и - a lt; b lt; a. (Поскольку a n - b n всегда делится на a - b, деление необходимо для того, чтобы была возможность найти простые числа. Фактически, это число совпадает с числом Люка U n ( a + b, ab), так как и б являются корни этого квадратного уравнения х 2 - ( + б) х + AB = 0, и это число равно 1, когда п = 1) Мы можем спросить, какие п делает это число, взаимно простое. Можно показать, что такие n сами должны быть простыми числами или равными 4, а n может быть 4 тогда и только тогда, когда a + b = 1 и a 2 + b 2 простое число. (С а 4 - б 4/а - б= ( a + b) ( a 2 + b 2). Таким образом, в этом случае пара ( a, b) должна быть ( x + 1, - x), а x 2 + ( x + 1) 2 должна быть простой. То есть x должен быть в OEIS : A027861. ) Это гипотеза, что для любой пары ( a, b) такой, что для любого натурального числа r gt; 1, a и b не являются одновременно совершенными r -ыми степенями, а −4 ab не идеальная четвертая степень. существует бесконечно много значений n таких, чтоа н - б н/а - бпростое. (Когда a и b оба являются совершенными степенями r для r gt; 1 или когда −4 ab является совершенной четвертой степенью, можно показать, что существует не более двух значений n с этим свойством, так как если это так, тоа н - б н/а - бможно факторизовать алгебраически) Однако это не было доказано ни для одного значения ( a, b).
а | б | числа n такие, чтоа н - б н/а - бявляется простым (некоторые большие члены являются только вероятными простыми числами, эти n проверяются до 100000 для | b | ≤ 5 или | b | = a - 1, 20000 для 5 lt;| b | lt; a - 1) | Последовательность OEIS |
---|---|---|---|
2 | 1 | 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 43112601,... 74207281,..., 77232917,..., 82589933,... | A000043 |
2 | −1 | 3, 4 *, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399,..., 13347311, 13372531,... | A000978 |
3 | 2 | 2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503,... | A057468 |
3 | 1 | 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843,... | A028491 |
3 | −1 | 2 *, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459,... | A007658 |
3 | −2 | 3, 4 *, 7, 11, 83, 149, 223, 599, 647, 1373, 8423, 149497, 388897,... | A057469 |
4 | 3 | 2, 3, 7, 17, 59, 283, 311, 383, 499, 521, 541, 599, 1193, 1993, 2671, 7547, 24019, 46301, 48121, 68597, 91283, 131497, 148663, 184463, 341233,... | A059801 |
4 | 1 | 2 (других нет) | |
4 | −1 | 2 *, 3 (других нет) | |
4 | −3 | 3, 5, 19, 37, 173, 211, 227, 619, 977, 1237, 2437, 5741, 13463, 23929, 81223, 121271,... | A128066 |
5 | 4 | 3, 43, 59, 191, 223, 349, 563, 709, 743, 1663, 5471, 17707, 19609, 35449, 36697, 45259, 91493, 246497, 265007, 289937,... | A059802 |
5 | 3 | 13, 19, 23, 31, 47, 127, 223, 281, 2083, 5281, 7411, 7433, 19051, 27239, 35863, 70327,... | A121877 |
5 | 2 | 2, 5, 7, 13, 19, 37, 59, 67, 79, 307, 331, 599, 1301, 12263, 12589, 18443, 20149, 27983,... | A082182 |
5 | 1 | 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279,... | A004061 |
5 | −1 | 5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429,... | A057171 |
5 | −2 | 2 *, 3, 17, 19, 47, 101, 1709, 2539, 5591, 6037, 8011, 19373, 26489, 27427,... | A082387 |
5 | −3 | 2 *, 3, 5, 7, 17, 19, 109, 509, 661, 709, 1231, 12889, 13043, 26723, 43963, 44789,... | A122853 |
5 | −4 | 4 *, 5, 7, 19, 29, 61, 137, 883, 1381, 1823, 5227, 25561, 29537, 300893,... | A128335 |
6 | 5 | 2, 5, 11, 13, 23, 61, 83, 421, 1039, 1511, 31237, 60413, 113177, 135647, 258413,... | A062572 |
6 | 1 | 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099,... | A004062 |
6 | −1 | 2 *, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337,... | A057172 |
6 | −5 | 3, 4 *, 5, 17, 397, 409, 643, 1783, 2617, 4583, 8783,... | A128336 |
7 | 6 | 2, 3, 7, 29, 41, 67, 1327, 1399, 2027, 69371, 86689, 355039,... | A062573 |
7 | 5 | 3, 5, 7, 113, 397, 577, 7573, 14561, 58543,... | A128344 |
7 | 4 | 2, 5, 11, 61, 619, 2879, 2957, 24371, 69247,... | A213073 |
7 | 3 | 3, 7, 19, 109, 131, 607, 863, 2917, 5923, 12421,... | A128024 |
7 | 2 | 3, 7, 19, 79, 431, 1373, 1801, 2897, 46997,... | A215487 |
7 | 1 | 5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699,... | A004063 |
7 | −1 | 3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653,... | A057173 |
7 | −2 | 2 *, 5, 23, 73, 101, 401, 419, 457, 811, 1163, 1511, 8011,... | A125955 |
7 | −3 | 3, 13, 31, 313, 3709, 7933, 14797, 30689, 38333,... | A128067 |
7 | −4 | 2 *, 3, 5, 19, 41, 47, 8231, 33931, 43781, 50833, 53719, 67211,... | A218373 |
7 | −5 | 2 *, 11, 31, 173, 271, 547, 1823, 2111, 5519, 7793, 22963, 41077, 49739,... | A128337 |
7 | −6 | 3, 53, 83, 487, 743,... | A187805 |
8 | 7 | 7, 11, 17, 29, 31, 79, 113, 131, 139, 4357, 44029, 76213, 83663, 173687, 336419, 615997,... | A062574 |
8 | 5 | 2, 19, 1021, 5077, 34031, 46099, 65707,... | A128345 |
8 | 3 | 2, 3, 7, 19, 31, 67, 89, 9227, 43891,... | A128025 |
8 | 1 | 3 (других нет) | |
8 | −1 | 2 * (других нет) | |
8 | −3 | 2 *, 5, 163, 191, 229, 271, 733, 21059, 25237,... | A128068 |
8 | −5 | 2 *, 7, 19, 167, 173, 223, 281, 21647,... | A128338 |
8 | −7 | 4 *, 7, 13, 31, 43, 269, 353, 383, 619, 829, 877, 4957, 5711, 8317, 21739, 24029, 38299,... | A181141 |
9 | 8 | 2, 7, 29, 31, 67, 149, 401, 2531, 19913, 30773, 53857, 170099,... | A059803 |
9 | 7 | 3, 5, 7, 4703, 30113,... | A273010 |
9 | 5 | 3, 11, 17, 173, 839, 971, 40867, 45821,... | A128346 |
9 | 4 | 2 (других нет) | |
9 | 2 | 2, 3, 5, 13, 29, 37, 1021, 1399, 2137, 4493, 5521,... | A173718 |
9 | 1 | (никто) | |
9 | −1 | 3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393,... | A057175 |
9 | −2 | 2 *, 3, 7, 127, 283, 883, 1523, 4001,... | A125956 |
9 | −4 | 2 *, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 41, 53, 109, 167, 2207, 3623, 5059, 5471, 7949, 21211, 32993, 60251,... | A211409 |
9 | −5 | 3, 5, 13, 17, 43, 127, 229, 277, 6043, 11131, 11821,... | A128339 |
9 | −7 | 2 *, 3, 107, 197, 2843, 3571, 4451,..., 31517,... | A301369 |
9 | −8 | 3, 7, 13, 19, 307, 619, 2089, 7297, 75571, 76103, 98897,... | A187819 |
10 | 9 | 2, 3, 7, 11, 19, 29, 401, 709, 2531, 15787, 66949, 282493,... | A062576 |
10 | 7 | 2, 31, 103, 617, 10253, 10691,... | A273403 |
10 | 3 | 2, 3, 5, 37, 599, 38393, 51431,... | A128026 |
10 | 1 | 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343,... | A004023 |
10 | −1 | 5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207,... | A001562 |
10 | −3 | 2 *, 3, 19, 31, 101, 139, 167, 1097, 43151, 60703, 90499,... | A128069 |
10 | −7 | 2 *, 3, 5, 11, 19, 1259, 1399, 2539, 2843, 5857, 10589,... | |
10 | −9 | 4 *, 7, 67, 73, 1091, 1483, 10937,... | A217095 |
11 | 10 | 3, 5, 19, 311, 317, 1129, 4253, 7699, 18199, 35153, 206081,... | A062577 |
11 | 9 | 5, 31, 271, 929, 2789, 4153,... | A273601 |
11 | 8 | 2, 7, 11, 17, 37, 521, 877, 2423,... | A273600 |
11 | 7 | 5, 19, 67, 107, 593, 757, 1801, 2243, 2383, 6043, 10181, 11383, 15629,... | A273599 |
11 | 6 | 2, 3, 11, 163, 191, 269, 1381, 1493,... | A273598 |
11 | 5 | 5, 41, 149, 229, 263, 739, 3457, 20269, 98221,... | A128347 |
11 | 4 | 3, 5, 11, 17, 71, 89, 827, 22307, 45893, 63521,... | A216181 |
11 | 3 | 3, 5, 19, 31, 367, 389, 431, 2179, 10667, 13103, 90397,... | A128027 |
11 | 2 | 2, 5, 11, 13, 331, 599, 18839, 23747, 24371, 29339, 32141, 67421,... | A210506 |
11 | 1 | 17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831,... | A005808 |
11 | −1 | 5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001,... | A057177 |
11 | −2 | 3, 5, 17, 67, 83, 101, 1373, 6101, 12119, 61781,... | A125957 |
11 | −3 | 3, 103, 271, 523, 23087, 69833,... | A128070 |
11 | −4 | 2 *, 7, 53, 67, 71, 443, 26497,... | A224501 |
11 | −5 | 7, 11, 181, 421, 2297, 2797, 4129, 4139, 7151, 29033,... | A128340 |
11 | −6 | 2 *, 5, 7, 107, 383, 17359, 21929, 26393,... | |
11 | −7 | 7, 1163, 4007, 10159,... | |
11 | −8 | 2 *, 3, 13, 31, 59, 131, 223, 227, 1523,... | |
11 | −9 | 2 *, 3, 17, 41, 43, 59, 83,... | |
11 | −10 | 53, 421, 647, 1601, 35527,... | A185239 |
12 | 11 | 2, 3, 7, 89, 101, 293, 4463, 70067,... | A062578 |
12 | 7 | 2, 3, 7, 13, 47, 89, 139, 523, 1051,... | A273814 |
12 | 5 | 2, 3, 31, 41, 53, 101, 421, 1259, 4721, 45259,... | A128348 |
12 | 1 | 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543,... | A004064 |
12 | −1 | 2 *, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739,... | A057178 |
12 | −5 | 2 *, 3, 5, 13, 347, 977, 1091, 4861, 4967, 34679,... | A128341 |
12 | −7 | 2 *, 3, 7, 67, 79, 167, 953, 1493, 3389, 4871,... | |
12 | −11 | 47, 401, 509, 8609,... | A213216 |
* Примечание: если b lt;0 и n четно, то числа n не входят в соответствующую последовательность OEIS.
Гипотеза, связанная с обобщенными простыми числами Мерсенна: (гипотеза предсказывает, где находится следующее обобщенное простое число Мерсенна, если гипотеза верна, то существует бесконечно много простых чисел для всех таких ( a, b) пар)
Для любых целых чисел a и b, удовлетворяющих условиям:
имеет простые числа вида
для простого p простые числа будут распределены около линии наилучшего соответствия
где
и есть около
простые числа этой формы меньше, чем N.
У нас также есть следующие три свойства:
Если эта гипотеза верна, то для всех таких пар ( a, b) пусть q будет n- м простым числом видаа п - б п/а - б, график зависимости log a (log a ( q)) от n почти линейен. (Видеть)
Когда a = b + 1, это ( b + 1) n - b n, разность двух последовательных совершенных степеней n, а если a n - b n простое число, тогда a должно быть b + 1, потому что это делится на a - b.
Наименьшее n таких, что ( b + 1) n - b n простое число, равны
Наименьшие b такие, что ( b + 1) prime ( n) - b prime ( n) простое число, являются