В логике, философии и смежных областях, мереологии (от греческого μέρος мерос (корень: μερε- mere-, «часть») и «исследования, обсуждения, наука» суффикс -logy) является изучение деталей и целых они образуют. В то время как теория множеств основана на отношении принадлежности между множеством и его элементами, мереология подчеркивает мерономические отношения между сущностями, которые - с теоретико-множественной точки зрения - ближе к концепции включения между множествами.
Мереология исследовалась различными способами как приложения логики предикатов к формальной онтологии, в каждой из которых мереология является важной частью. Каждое из этих полей дает собственное аксиоматическое определение мереологии. Общим элементом таких аксиоматизаций является допущение, разделяемое с включением, что отношение части к целому упорядочивает свою вселенную, что означает, что все является частью самого себя ( рефлексивность ), что часть части целого является частью самого себя. это целое ( транзитивность ), и что две отдельные сущности не могут каждая быть частью другой ( антисимметрия ), таким образом образуя позет. Вариант этой аксиоматизации отрицает, что что-либо когда-либо является частью самого себя (иррефлексивность), принимая транзитивность, из которой автоматически следует антисимметрия.
Хотя мереология представляет собой приложение математической логики, то, что можно было бы назвать своего рода «прото-геометрией», она была полностью разработана логиками, онтологами, лингвистами, инженерами и компьютерными учеными, особенно теми, кто работает в области искусственного интеллекта. В частности, мереология также на основе для точки свободного основания геометрии (см, например, цитируемой пионерской работы Альфред Тарского и обзорной статьи по Gerla 1995).
«Мереология» может также относиться к формальным работам по общей теории систем по декомпозиции систем и частям, целым и границам (например, Михайло Д. Месарович (1970), Габриэль Крон (1963) или Морис Джессел (см. Боуден (1989, с. Кейт Боуден (1991) опубликовал иерархическую версию Network Tearing Габриэля Крона, отражающую идеи Дэвида Льюиса о мусоре. Такие идеи появляются в теоретической информатике и физике, часто в сочетании с теорией пучков, топосами или Теория категорий См. также работу Стива Виккерса по (частям) спецификаций в информатике, Джозефа Гогуэна по физическим системам и Тома Эттера (1996, 1998) по теории связей и квантовой механике.
Неформальное рассуждение отчасти-целого сознательно использовалось в метафизике и онтологии, начиная с Платона (в частности, во второй половине Парменида ) и Аристотеля и далее, и более или менее невольно в математике 19-го века до триумфа теории множеств примерно в 1910 году.
Айвор Граттан-Гиннесс (2001) проливает свет на рассуждения о части и целом в течение 19 и начала 20 веков и рассматривает, как Кантор и Пеано разработали теорию множеств. Похоже, что первым, кто сознательно и подробно рассуждал о частях и целых, был Эдмунд Гуссерль в 1901 году во втором томе « Логических исследований - Третье исследование:« Теория целых и частей »» (Гуссерль 1970 - английский перевод). Однако слово «мереология» отсутствует в его трудах, и он не использовал никакой символики, даже несмотря на то, что его докторская степень была в области математики.
Станислав Лесьневский придумал «мереологию» в 1927 году от греческого слова μέρος ( méros, «часть») для обозначения формальной теории частичного целого, которую он разработал в серии высокотехнологичных статей, опубликованных между 1916 и 1931 годами и переведенных на русский язык. Лесьневский (1992). Ученик Лесьневского Альфред Тарский в своем Приложении E к Вуджеру (1937) и статье, переведенной как Тарский (1984), значительно упростил формализм Лесьневского. Другие ученики (и ученики учеников) Лесневского разрабатывали эту «польскую мереологию» в течение 20 века. Хороший выбор литературы по польской мереологии см. В Srzednicki and Rickey (1984). Обзор польской мереологии см. В Simons (1987). Однако примерно с 1980 года исследования польской мереологии носили почти полностью исторический характер.
А. Н. Уайтхед планировал выпустить четвертый том « Основ математики» по геометрии, но так и не написал его. Его переписка с Бертраном Расселом в 1914 году показывает, что его предполагаемый подход к геометрии можно рассматривать, оглядываясь назад, как мереологический по своей сути. Кульминацией этой работы стали работы Уайтхеда (1916) и мереологические системы Уайтхеда (1919, 1920).
В 1930 году Генри С. Леонард получил степень доктора философии в Гарварде. диссертация по философии, излагающая формальную теорию отношения части и целого. Это превратилось в «исчисление индивидов» Гудмана и Леонарда (1940). Гудман переработал и развил это исчисление в трех изданиях Goodman (1951). Исчисление индивидов является отправной точкой для возрождения мереологии среди логиков, онтологов и компьютерных ученых после 1970 г., возрождение, хорошо рассмотренное в Simons (1987), Casati and Varzi (1999) и Cotnoir and Varzi (2021)..
Рефлексивность: основной выбор при определении мереологической системы - рассматривать ли вещи как части самих себя. В наивной теории множеств возникает аналогичный вопрос: следует ли рассматривать множество как «подмножество» самого себя. В обоих случаях «да» приводит к парадоксам, аналогичных тем, парадокс Рассела : Пусть объект O таким образом, что каждый объект, который не является правильной частью само по себе является правильной частью O. Является ли О собственной частью? Нет, потому что никакой объект не является собственной частью; и да, потому что он отвечает установленным требованием для включения в качестве правильной части O. В теории множеств множество часто называют несобственным подмножеством самого себя. Учитывая такие парадоксы, мереология требует аксиоматической формулировки.
Мереологическая «система» - это теория первого порядка (с идентичностью ), универсум дискурса которой состоит из целых и их соответствующих частей, вместе называемых объектами. Мереология - это совокупность вложенных и невложенных аксиоматических систем, что мало чем отличается от модальной логики.
Нижеприведенные трактовка, терминология и иерархическая организация в полной мере соответствуют положениям Касати и Варци (1999: гл. 3). Для более свежего лечения, исправляющего некоторые заблуждения, см. Hovda (2008). Строчные буквы обозначают переменные в диапазоне от объектов. После каждой символической аксиомы или определения следует номер соответствующей формулы в Казати и Варци, выделенный жирным шрифтом.
Мереологическая система требует по крайней мере одного примитивного бинарного отношения ( диадического предиката ). Самый обычный выбор для такого отношения является parthood (также называется «включение»), « х является частью из Y », написанный Рх. Почти все системы требуют, чтобы эта часть частично упорядочивала Вселенную. Следующие определенные отношения, необходимые для следующих аксиом, непосредственно вытекают из одной только части:
Overlap и Underlap являются рефлексивными, симметричными и непереходными.
Системы различаются по тому, какие отношения они принимают как примитивные и как определенные. Например, в экстенсиональных мереологиях (определенных ниже) партичность может быть определена из перекрытия следующим образом:
Аксиомы следующие:
Саймонс (1987), Казати и Варци (1999) и Ховда (2008) описывают множество мереологических систем, аксиомы которых взяты из приведенного выше списка. Мы принимаем выделенную жирным шрифтом номенклатуру Казати и Варци. Самая известная такая система - это классическая экстенсиональная мереология, далее сокращенно CEM (другие сокращения поясняются ниже). В СЕМ, Ч.1 через стр.8' держать как аксиомы или теоремы. M9, верхняя и нижняя части не являются обязательными.
Системы в приведенной ниже таблице частично упорядочены по включению в том смысле, что, если все теоремы системы A также являются теоремами системы B, но обратное не обязательно верно, то B включает A. Полученная диаграмма Хассе аналогична рис. 3.2 в Casati and Varzi (1999: 48).
Этикетка | Имя | Система | Включенные аксиомы |
---|---|---|---|
M1 | Рефлексивность | ||
M2 | Антисимметрия | ||
M3 | Транзитивность | M | М1, М2, М3 |
M4 | Слабые добавки | ММ | М, М4 |
M5 | Сильная добавка | ЭМ | М, М5 |
M5 ' | Атомистическая добавка | ||
M6 | Сумма | ||
M7 | Продукт | CEM | EM, M6, M7 |
M8 | Неограниченный синтез | GM | М, М8 |
ДРАГОЦЕННЫЙ КАМЕНЬ | EM, M8 | ||
M8 ' | Уникальный сплав | ДРАГОЦЕННЫЙ КАМЕНЬ | EM, M8 ' |
M9 | Атомарность | ДРАГОЦЕННЫЙ КАМЕНЬ | М2, М8, М9 |
ДРАГОЦЕННЫЙ КАМЕНЬ | М, М5 ', М8 |
Есть два эквивалентных способа утверждать, что Вселенная является частично упорядоченным : Предположим, либо M1-M3, или что надлежащее Parthood является транзитивным и асимметричным, следовательно, строгий частичный порядок. Либо результаты аксиоматизация в системе M. M2 исключает замкнутые циклы, сформированные с использованием Parthood, так что отношение частей является хорошо обоснованным. Множества хорошо обоснованы, если принять аксиому регулярности. В литературе встречаются периодические философские возражения и возражения на основе здравого смысла против транзитивности Parthood.
M4 и M5 - это два способа утверждения дополнения, мереологического аналога дополнения множества, причем M5 сильнее, потому что M4 выводится из M5. М и М4 дают минимальную мереологию, ММ. Переформулированная в терминах Собственной Части, ММ является предпочтительной минимальной системой Саймонса (1987).
В любой системе, в которой предполагается или может быть получено M5 или M5 ', тогда можно доказать, что два объекта, имеющие одинаковые собственные части, идентичны. Это свойство известно как экстенсиональность, термин, заимствованный из теории множеств, для которой экстенсиональность является определяющей аксиомой. Мереологические системы, в которых сохраняется экстенсиональность, называются экстенсиональными, что обозначается включением буквы E в их символические имена.
M6 утверждает, что любые два перекрывающихся объекта имеют уникальную сумму; M7 утверждает, что любые два перекрывающихся объекта имеют уникальный продукт. Если вселенная конечна или предполагается Top, то вселенная закрывается по Sum. Универсальное закрытие Продукта и добавок относительно W требует Дно. W и N, очевидно, являются мереологическим аналогом универсального и пустого множеств, а Sum и Product также являются аналогами теоретико-множественного объединения и пересечения. Если M6 и M7 либо предполагаются, либо выводятся, результатом будет мереология с замыканием.
Поскольку Sum и Product являются бинарными операциями, M6 и M7 допускают сумму и произведение только конечного числа объектов. Неограниченная Fusion аксиому, M8, позволяет принимать сумму бесконечного множества объектов. То же самое верно и для продукта, если он определен. На этом этапе мереология часто обращается к теории множеств, но любое обращение к теории множеств устраняется заменой формулы количественной переменной, охватывающей множество множеств, схематической формулой с одной свободной переменной. Формула оказывается истинной (выполняется) всякий раз, когда имя объекта, который был бы членом набора (если он существовал), заменяет свободную переменную. Следовательно, любую аксиому с множествами можно заменить схемой аксиом с монадическими атомарными подформулами. M8 и M8 '- схемы именно такого рода. Синтаксис из теории первого порядка можно описать только счетное число множеств; следовательно, таким образом может быть исключено только бесчисленное количество множеств, но это ограничение не является обязательным для рассматриваемого здесь вида математики.
Если M8 выполняется, то W существует для бесконечных вселенных. Следовательно, Top нужно предполагать только в том случае, если Вселенная бесконечна, а M8 не выполняется. Верх (постулирование W) не является спорным, а Нижний (постулирование N) - спорным. Лесьневский отвергает Боттом, и большинство мереологических систем следуют его примеру (исключением является работа Ричарда Милтона Мартина ). Следовательно, хотя юниверс закрыт по сумме, произведение объектов, которые не перекрываются, обычно не определено. Система с W, но не N изоморфна:
Постулирование N делает все возможные продукты определяемыми, но также трансформирует классическую экстенсиональную мереологию в свободную от множеств модель булевой алгебры.
Если наборы допускаются, M8 утверждает существование объединения всех членов любого непустого набора. Любая мереологическая система, в которой имеет место M8 называется вообще, а его название включает в себя G. В любой общей мереологии M6 и M7 доказуемы. Добавление M8 к экстенсиональной мереологии приводит к общей экстенсиональной мереологии, сокращенно GEM ; более того, протяженность делает слияние уникальным. Наоборот, однако, если слияние, утвержденное M8, предполагается уникальным, так что M8 'заменяет M8, тогда, как показал Тарский (1929), M3 и M8' достаточно, чтобы аксиоматизировать GEM, что является удивительно экономичным результатом. Саймонс (1987: 38–41) перечисляет ряд теорем GEM.
M2 и конечная вселенная обязательно подразумевают атомарность, а именно то, что все либо является атомом, либо включает атомы среди своих собственных частей. Если вселенная бесконечна, атомарность требует M9. Добавление M9 к любой мереологической системе, X приводит к ее атомистическому варианту, обозначенному AX. Атомарность допускает экономию, например, допуская, что M5 'подразумевает атомарность и протяженность, и дает альтернативную аксиоматизацию AGEM.
Понятие «подмножество» в теории множеств не совсем то же самое, что понятие «подмножество» в мереологии. Станислав Лесьневский отвергал теорию множеств как относящуюся к номинализму, но не как то же самое. В течение долгого времени почти все философы и математики избегали мереологии, считая ее равносильной отказу от теории множеств. Гудман тоже был номиналистом, а его коллега-номиналист Ричард Милтон Мартин использовал версию индивидуального исчисления на протяжении всей своей карьеры, начиная с 1941 года.
Многие ранние работы по мереологии были мотивированы подозрением, что теория множеств была онтологически подозрительной и что бритва Оккама требует минимизировать количество постулатов в своей теории мира и математики. Мереология заменяет разговоры о «наборах» объектов разговорами о «суммах» объектов, причем объекты являются не более чем различными вещами, составляющими целое.
Многие логики и философы отвергают эти мотивы на таких основаниях, как:
Обзор попыток основать математику без использования теории множеств см. В Burgess and Rosen (1997).
В 1970-х годах, отчасти благодаря Эберле (1970), постепенно пришло понимание того, что можно использовать мереологию независимо от своей онтологической позиции в отношении множеств. Такое понимание называется «онтологической невинностью» мереологии. Эта невинность проистекает из мереологии, которую можно формализовать одним из двух эквивалентных способов:
Когда стало ясно, что мереология не равносильна отрицанию теории множеств, мереология стала широко признана как полезный инструмент формальной онтологии и метафизики.
В теории множеств синглтоны - это «атомы», у которых нет (непустых) собственных частей; многие считают теорию множеств бесполезной или непоследовательной (не «хорошо обоснованной»), если множества не могут быть построены из множеств единиц. Считалось, что исчисление индивидов требует, чтобы объект либо не имел собственных частей, и в этом случае это был «атом», либо был мереологической суммой атомов. Эберле (1970), однако, показал, как построить исчисление индивидов, лишенных « атомов », т. Е. Такое, в котором каждый объект имеет «правильную часть» (определенную ниже), так что Вселенная бесконечна.
Есть аналогии между аксиомами мереологии и аксиомами стандартной теории множеств Цермело – Френкеля (ZF), если Parthood рассматривается как аналог подмножества в теории множеств. Об отношении мереологии и ZF см. Также Bunt (1985). Одним из очень немногих современных теоретиков множеств, обсуждающих мереологию, является Поттер (2004).
Льюис (1991) пошел дальше, неформально продемонстрировав, что мереология, дополненная несколькими онтологическими допущениями и множественным количественным определением, а также некоторыми новыми рассуждениями об одиночках, дает систему, в которой данный индивид может быть как частью, так и подмножеством другого индивида. В результирующих системах можно интерпретировать различные виды теории множеств. Например, аксиомы ZFC могут быть доказаны с учетом некоторых дополнительных мереологических предположений.
Форрест (2002) пересматривает анализ Льюиса, сначала формулируя обобщение CEM, названное «мереологией Гейтинга», единственным нелогическим примитивом которой является Собственная часть, предполагаемая транзитивным и антирефлексивным. Существует «фиктивный» нулевой индивид, который является неотъемлемой частью каждого индивида. Две схемы утверждают, что каждое соединение решетки существует (решетки полные ) и что встреча распределяется по объединению. На основе этой мереологии Гейтинга Форрест строит теорию псевдоподобных множеств, подходящую для всех целей, для которых эти множества были поставлены.
Гуссерль никогда не утверждал, что математика может или должна основываться на частичном целом, а не на теории множеств. Лесневский сознательно вывел свою мереологию как альтернативу теории множеств как основу математики, но не разработал детали. Гудман и Куайн (1947) пытались вычислить натуральные и действительные числа, используя индивидуальное исчисление, но в большинстве своем безуспешно; Куайн не перепечатал эту статью в « Избранных логических статьях». В серии глав в книгах, которые он опубликовал в последнее десятилетие своей жизни, Ричард Милтон Мартин намеревался сделать то, что Гудман и Куайн оставили 30 лет назад. Повторяющаяся проблема с попытками обосновать математику в мереологии состоит в том, как построить теорию отношений, воздерживаясь от теоретико-множественных определений упорядоченной пары. Мартин утверждал, что теория относительных индивидов Эберли (1970) решила эту проблему.
Топологические понятия границ и связи могут быть объединены с мереологией, что приводит к мереотопологии ; см. Casati and Varzi (1999: гл. 4,5). В книге Уайтхеда 1929 года « Процесс и реальность» много неформальной мереотопологии.
Bunt (1985), исследование семантики естественного языка, показывает, как мереология может помочь понять такие явления, как различие между счетом массы и аспект глагола. Но Николас (2008) утверждает, что для этой цели следует использовать другую логическую структуру, называемую множественной логикой. Кроме того, естественный язык часто неоднозначно употребляет слово «часть» (Simons 1987 подробно обсуждает это). Следовательно, неясно, как вообще можно перевести определенные выражения естественного языка в мереологические предикаты. Чтобы избежать подобных трудностей, может потребоваться ограничить интерпретацию мереологии математикой и естествознанием. Касати и Варци (1999), например, ограничивают объем мереологии физическими объектами.
В метафизике есть много тревожных вопросов, относящихся к частям и целому. Один вопрос касается конституции и настойчивости, другой - о составе.
В метафизике есть несколько загадок, касающихся случаев мереологической конституции. То есть то, что составляет единое целое. Нас по-прежнему интересуют части и целое, но вместо того, чтобы смотреть, какие части составляют целое, мы задаемся вопросом, из чего сделана вещь, например, из ее материалов: например, из бронзы в бронзовой статуе. Ниже приведены две основные загадки, которые философы используют при обсуждении конституции.
Корабль Тесея: Вкратце загадка выглядит примерно так. Есть корабль, который называется Корабль Тесея. Со временем доски начинают гнить, поэтому доски снимаем и складываем в стопку. Первый вопрос: корабль из новых досок такой же, как корабль, на котором были все старые доски? Во-вторых, если мы реконструируем корабль, используя все старые доски и т.), какой корабль настоящий Корабль Тесея?
Статуя и кусок глины: примерно, скульптор решает вылепить статую из куска глины. В момент t1 у скульптора появляется кусок глины. После множества манипуляций в момент t2 появляется статуя. Возникает вопрос: идентичны ли кусок глины и статуя (численно)? Если да, то как и почему?
Конституция обычно имеет значение для взглядов на постоянство: как объект сохраняется с течением времени, если какая-либо из его частей (материалов) изменяется или удаляется, как в случае с людьми, которые теряют клетки, меняют рост, цвет волос, воспоминания, и все же мы сегодня говорят, что мы такие же люди, какими были мы, когда родились. Например, Тед Сидер сегодня такой же, каким был при рождении - он только что изменился. Но как это может быть, если многие части Теда сегодня не существовали, когда Тед только родился? Возможно ли, чтобы такие вещи, как организмы, сохранялись? И если да, то как? Есть несколько точек зрения, которые пытаются ответить на этот вопрос. Вот некоторые из представлений (обратите внимание, есть несколько других представлений):
(а) Конституция. Эта точка зрения допускает сожительство. То есть два объекта имеют одну и ту же материю. Отсюда следует, что нет височных частей.
(б) Мереологический эссенциализм, который утверждает, что единственными существующими объектами являются количества материи, которые определяются своими частями. Объект сохраняется, если материя удалена (или форма изменилась); но объект перестает существовать, если разрушается какая-либо материя.
(c) Доминирующие сорта. Это точка зрения, согласно которой отслеживание определяется тем, какой вид является доминирующим; они отвергают сожительство. Например, шишка не равна статуе, потому что они разные «сорта».
(г) Нигилизм, который утверждает, что никаких объектов не существует, кроме простых, поэтому нет проблемы с сохранением.
(e) четырехмерность или временные части (может также называться пердурантизмом или эксдурантизмом ), что примерно утверждает, что совокупности временных частей тесно связаны. Например, две дороги, сливающиеся на мгновение и в пространстве, по-прежнему остаются одной дорогой, потому что они разделяют часть.
(е) трехмерность (может также называться эндурантизмом ), где объект присутствует полностью. То есть сохраняющийся объект сохраняет числовую идентичность.
Философы задают один вопрос: что более фундаментально: части, целое или ни то, ни другое? Другой насущный вопрос называется специальным вопросом композиции (SCQ): для любых X, когда это так, что существует Y такое, что X составляют Y? Этот вопрос побудил философов разойтись по трем разным направлениям: нигилизм, универсальная композиция (UC) или умеренный взгляд (ограниченная композиция). Первые два представления считаются крайними, поскольку первое отрицает композицию, а второе позволяет любым и всем непространственно перекрывающимся объектам составлять другой объект. Умеренный взгляд включает в себя несколько теорий, которые пытаются понять SCQ, не говоря «нет» композиции или «да» неограниченной композиции.
Есть философы, которые озабочены вопросом фундаментальности. То есть, что онтологически более фундаментален, части или их целое. На этот вопрос есть несколько ответов, хотя одно из предположений по умолчанию состоит в том, что части являются более фундаментальными. То есть целое основано на своих частях. Это основная точка зрения. Другой взгляд, исследованный Шаффером (2010), - это монизм, в котором части основаны на целом. Шаффер имеет в виду не только то, что, скажем, части, из которых состоит мое тело, основаны на моем теле. Скорее, Шаффер утверждает, что весь космос более фундаментален, а все остальное является частью космоса. Затем существует теория тождества, которая утверждает, что не существует иерархии или фундаментальности частей и целого. Вместо этого целое - это просто (или эквивалент) их части. Также может быть двухобъектное представление, в котором говорится, что целые не равны частям - они численно отличны друг от друга. Каждая из этих теорий имеет свои преимущества и издержки.
Философы хотят знать, когда некоторые X составляют что-то Y. Есть несколько типов ответов:
(а) Контакт - X составляют комплекс Y тогда и только тогда, когда X находятся в контакте;
(b) Крепление - крестовины образуют комплекс Y тогда и только тогда, когда они закреплены;
(c) Сплоченность - X составляют комплекс Y тогда и только тогда, когда X когерентны (не могут быть разорваны или сдвинуты относительно друг друга без разрыва);
(d) Слияние - X составляют комплекс Y тогда и только тогда, когда X сливаются (слияние - это когда X соединяются вместе, так что границы отсутствуют);
(д) Организм - X составляют комплекс Y тогда и только тогда, когда либо деятельность X составляет жизнь, либо существует только один из X; а также
(е) Жестокая композиция - «Таковы вещи». Не существует верного, нетривиального и бесконечно длинного ответа.
Это не исчерпывающий список, так как многие другие гипотезы продолжают изучаться. Однако общая проблема этих теорий в том, что они расплывчаты. Остается неясным, например, что означает «пристегнутый» или «жизнь». Но есть много других вопросов в рамках ограниченных композиционных ответов - хотя многие из них являются предметом обсуждения теории.
Книги Саймонса (1987) и Казати и Варци (1999) различаются по своим сильным сторонам:
Саймонс прилагает значительные усилия для разъяснения исторических обозначений. Обозначения Казати и Варци часто используются. Обе книги включают прекрасные библиографии. К этим работам следует добавить Ховда (2008), в котором представлены последние достижения в области аксиоматизации мереологии.