Теорема о среднем значении (разделенные разности)

В математическом анализе теорема о среднем значении для разделенных разностей обобщает теорему о среднем значении на высшие производные.

• 1 Формулировка теоремы
• 2 Доказательство
• 3 Приложения
• 4 ссылки

Для любых n  + 1 попарно различных точек x 0,...,  x n в области определения n- кратно дифференцируемой функции f существует внутренняя точка

${\ displaystyle \ xi \ in (\ min \ {x_ {0}, \ dots, x_ {n} \}, \ max \ {x_ {0}, \ dots, x_ {n} \}) \,}$

где n- я производная от f равна n  ! умноженное на n- ю разделенную разницу в этих точках:

${\ displaystyle f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] = {\ frac {f ^ {(n)} (\ xi)} {n!}}.}.}$

Для n  = 1, то есть двух функциональных точек, получается простая теорема о среднем значении.

Позвольте быть интерполяционным многочленом Лагранжа для f в x 0,...,  x n. Тогда из Ньютона формы в том, что высокий срок является. ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] (x-x_ {n-1}) \ dots (x-x_ {1}) (x-x_ {0})}$

Позвольте быть остатком от интерполяции, определяемой. Тогда имеет нули: x 0,...,  x n. Применяя теорему Ролля сначала к, затем к и так далее, пока не обнаружим, что у него есть ноль. Это означает, что ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g = fP}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g '}$${\ Displaystyle г ^ {(п-1)}}$${\ Displaystyle г ^ {(п)}}$${\ displaystyle \ xi}$

${\ displaystyle 0 = g ^ {(n)} (\ xi) = f ^ {(n)} (\ xi) -f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] n!}$,

${\ displaystyle f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] = {\ frac {f ^ {(n)} (\ xi)} {n!}}.}.}$

Теорема может быть использована для обобщения среднего Столярского на более чем две переменные.