Среднее значение функции

В исчислении, и особенно в исчислении с несколькими переменными, среднее значение функции в общих чертах определяется как среднее значение функции по ее области определения. В одной переменной среднее значение функции f ( x) на интервале ( a, b) определяется как

${\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}$

Напомним, что определяющим свойством среднего значения конечного числа чисел является то. Другими словами, это постоянное значение, которое при добавлении к себе в разы равно результату сложения членов. По аналогии, определяющим свойством среднего значения функции на интервале является то, что ${\ displaystyle {\ bar {y}}}$${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {n}}$${\ displaystyle n {\ bar {y}} = y_ {1} + y_ {2} + \ cdots + y_ {n}}$${\ displaystyle {\ bar {y}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y_ {1}, \ dots, y_ {n}}$${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ Displaystyle [а, б]}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ bar {f}} \, dx = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$

Другими словами, это постоянное значение, которое, когда интегрированный над равен результату интегрирования над. Но интеграл от константы просто ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ bar {f}} \, dx = {\ bar {f}} x {\ bigr |} _ {a} ^ {b} = {\ bar { f}} b - {\ bar {f}} a = (ba) {\ bar {f}}}$

См. Также первую теорему о среднем значении для интегрирования, которая гарантирует, что если она непрерывна, то существует такая точка, что ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle с \ в (а, б)}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = f (c) (ba)}$

Точка называется средним значением вкл. Итак, мы напишем и изменим предыдущее уравнение, чтобы получить приведенное выше определение. ${\ displaystyle f (c)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle {\ bar {f}} = f (c)}$

В некоторых переменных среднее значение по относительно компактной области U в евклидовом пространстве определяется выражением

${\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {{\ hbox {Vol}} (U)}} \ int _ {U} f.}$

Это обобщает среднее арифметическое. С другой стороны, также возможно обобщить среднее геометрическое на функции, определив среднее геометрическое f как

${\ displaystyle \ exp \ left ({\ frac {1} {{\ hbox {Vol}} (U)}} \ int _ {U} \ log f \ right).}$

В целом, в теории меры и теории вероятностей, либо рода средних играет важную роль. В этом контексте неравенство Дженсена дает точные оценки взаимосвязи между этими двумя различными понятиями среднего значения функции.

Существует также гармоническое среднее значений функций и квадратичное среднее (или среднеквадратичное значение) функций.

• Иметь в виду