Теория игр среднего поля

редактировать

Теория игр среднего поля - это исследование принятия стратегических решений небольшими взаимодействующими агентами в очень больших популяциях. Использование термина «среднее поле» вдохновлено теорией среднего поля в физике, которая рассматривает поведение систем из большого числа частиц, в которых отдельные частицы оказывают незначительное влияние на систему.

Этот класс проблем рассматривался в экономической литературе Бояном Йовановичем и Робертом В. Розенталем, в технической литературе Миньи Хуангом, Роландом Малхамом и Питером Э. Кейнсом и независимо и примерно в то же время математиками Жан-Мишелем Ласри [ фр. ] и Пьер-Луи Лионс.

В непрерывном времени игра среднего поля обычно состоит из уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана, которое описывает задачу оптимального управления индивидуумом, и уравнения Фоккера – Планка, которое описывает динамику совокупного распределения агентов. При достаточно общих предположениях можно доказать, что класс игр среднего поля является пределом для N- игроков равновесия по Нэшу. ${\ displaystyle N \ to \ infty}$ $N \ to \ infty$

Понятие, связанное с игрой среднего поля, - это «управление по типу среднего поля». В этом случае социальный планировщик контролирует распределение состояний и выбирает стратегию контроля. Решение задачи управления типа среднего поля обычно может быть выражено в виде сопряженного сопряженного уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана, соединенного с уравнением Колмогорова. Теория игр типа среднего поля - это многоагентное обобщение одноагентного управления типа среднего поля.

СОДЕРЖАНИЕ

1 Линейно-квадратичная игровая задача Гаусса
2 См. Также
3 ссылки
4 Внешние ссылки

Линейно-квадратичная игровая задача Гаусса

От Caines (2009) относительно простой моделью крупномасштабных игр является линейно-квадратичная гауссовская модель. Динамика отдельного агента моделируется как стохастическое дифференциальное уравнение

{\ displaystyle dx_ {i} = (a_ {i} x_ {i} + b_ {i} u_ {i}) \, dt + \ sigma _ {i} \, dw_ {i}, \ quad i = 1, \ точки, N,}

{\ displaystyle dx_ {i} = (a_ {i} x_ {i} + b_ {i} u_ {i}) \, dt + \ sigma _ {i} \, dw_ {i}, \ quad i = 1, \ точки, N,}

где - состояние -го агента, а - контроль. Стоимость индивидуального агента составляет ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_ {i}$ ${\ displaystyle i}$ $я$ ${\ displaystyle u_ {i}}$ $u_ {i}$

{\ displaystyle J_ {i} (u_ {i}, \ nu) = \ mathbb {E} \ left \ {\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ rho t} \ left [(x_ {i} - \ nu) ^ {2} + ru_ {i} ^ {2} \ right] \, dt \ right \}, \ quad \ nu = \ Phi \ left ({\ frac {1} {N} } \ sum _ {k \ neq i} ^ {N} x_ {k} + \ eta \ right).}

{\ displaystyle J_ {i} (u_ {i}, \ nu) = \ mathbb {E} \ left \ {\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ rho t} \ left [(x_ {i} - \ nu) ^ {2} + ru_ {i} ^ {2} \ right] \, dt \ right \}, \ quad \ nu = \ Phi \ left ({\ frac {1} {N} } \ sum _ {k \ neq i} ^ {N} x_ {k} + \ eta \ right).}

Связь между агентами происходит в функции стоимости.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Стохастическое управление в среднем поле ( слайды ), Лекция Питера Э. Кейнса по присуждению премии Общества систем управления IEEE 2009 г.
Кейнс, Питер Э. (2013). «Злые полевые игры». Энциклопедия систем и управления. С. 1–6. DOI : 10.1007 / 978-1-4471-5102-9_30-1. ISBN 978-1-4471-5102-9.
Заметки о средних полевых играх из лекций Пьера-Луи Лайона в Коллеж де Франс
(на французском языке) Видеолекции Пьера-Луи Лайонса
Средние полевые игры и приложения Оливье Геана, Жана-Мишеля Ласри и Пьера-Луи Лионса