Функция Маккарти 91

Функция Маккарти 91 - это рекурсивная функция, определенная компьютерным ученым Джоном Маккарти как тестовый пример для формальной проверки в компьютерных науках.

Функция Маккарти 91 определяется как

${\ Displaystyle M (n) = {\ begin {case} n-10, amp; {\ t_dv {if}} ngt; 100 {\ t_dv {}} \\ M (M (n + 11)), amp; {\ t_dv {if}} n \ leq 100 {\ t_dv {}} \ end {case}}}$

Результаты вычисления функции равны M ( n) = 91 для всех целочисленных аргументов n  ≤ 100 и M ( n) =  n  - 10 для n gt; 100. Действительно, результат M (101) также равен 91 ( 101-10 = 91). Все результаты M (n) после n = 101 постоянно увеличиваются на 1, например M (102) = 92, M (103) = 93.

• 1 История
• 2 Примеры
• 3 Код
• 4 Доказательство
• 5 обобщение Кнута
• 6 Ссылки

Функция 91 была представлена ​​в статьях, опубликованных Зохаром Манной, Амиром Пнуели и Джоном Маккарти в 1970 году. Эти статьи представляли собой ранние разработки в направлении применения формальных методов для проверки программ. Функция 91 была выбрана как вложенно-рекурсивная (в отличие от одиночной рекурсии, такой как определение с помощью). Этот пример был популяризирован книгой Манна « Математическая теория вычислений» (1974). По мере развития области формальных методов этот пример неоднократно появлялся в исследовательской литературе. В частности, это рассматривается как «проблема вызова» для автоматизированной проверки программ. ${\ Displaystyle f (п)}$${\ displaystyle f (n-1)}$

Проще рассуждать о хвостово-рекурсивном потоке управления, это эквивалентное (с точки зрения расширения ) определение:

${\ Displaystyle М_ {т} (п) = М_ {т} '(п, 1)}$

${\ displaystyle M_ {t} '(n, c) = {\ begin {cases} n, amp; {\ t_dv {if}} c = 0 \\ M_ {t}' (n-10, c-1), amp; {\ t_dv {if}} ngt; 100 {\ t_dv {and}} c \ neq 0 \\ M_ {t} '(n + 11, c + 1), amp; {\ t_dv {if}} n \ leq 100 {\ t_dv {и}} c \ neq 0 \ end {case}}}$

В качестве одного из примеров, используемых для демонстрации таких рассуждений, книга Манна включает хвостовой рекурсивный алгоритм, эквивалентный вложенной рекурсивной функции 91. Многие статьи, в которых сообщается об «автоматической проверке» (или доказательстве завершения ) функции 91, обрабатывают только хвостовую рекурсивную версию.

Это эквивалентное взаимно рекурсивное определение:

${\ Displaystyle M_ {mt} (n) = M_ {mt} '(n, 0)}$

${\ displaystyle M_ {mt} '(n, c) = {\ begin {cases} M_ {mt}' '(n-10, c), amp; {\ t_dv {if}} ngt; 100 {\ t_dv {} } \\ M_ {mt} '(n + 11, c + 1), amp; {\ t_dv {if}} n \ leq 100 {\ t_dv {}} \ end {case}}}$

${\ displaystyle M_ {mt} '' (n, c) = {\ begin {cases} n, amp; {\ t_dv {if}} c = 0 {\ t_dv {}} \\ M_ {mt} '(n, c-1), amp; {\ t_dv {if}} c \ neq 0 {\ t_dv {}} \ end {cases}}}$

Формальный вывод взаимно хвостовой рекурсивной версии от вложенной рекурсивной версии был дан в статье Митчелла Ванда 1980 года, основанной на использовании продолжений.

Пример А:

M(99) = M(M(110)) since 99 ≤ 100 = M(100) since 110 gt; 100 = M(M(111)) since 100 ≤ 100 = M(101) since 111 gt; 100 = 91 since 101 gt; 100

Пример Б:

M(87) = M(M(98)) = M(M(M(109))) = M(M(99)) = M(M(M(110))) = M(M(100)) = M(M(M(111))) = M(M(101)) = M(91) = M(M(102)) = M(92) = M(M(103)) = M(93).... Pattern continues increasing till M(99), M(100) and M(101), exactly as we saw on the example A) = M(101) since 111 gt; 100 = 91 since 101 gt; 100

Вот реализация вложенного рекурсивного алгоритма в Лиспе :

(defun mc91 (n) (cond ((lt;= n 100) (mc91 (mc91 (+ n 11)))) (t (- n 10))))

Вот реализация вложенного рекурсивного алгоритма в Haskell :

mc91 n | n gt; 100 = n - 10 | otherwise = mc91 $ mc91 $ n + 11

Вот реализация вложенного рекурсивного алгоритма в OCaml :

let rec mc91 n = if n gt; 100 then n - 10 else mc91 (mc91 (n + 11))

Вот реализация алгоритма хвостовой рекурсии в OCaml :

let mc91 n = let rec aux n c = if c = 0 then n else if n gt; 100 then aux (n - 10) (c - 1) else aux (n + 11) (c + 1) in aux n 1

Вот реализация вложенно-рекурсивного алгоритма в Python :

def mc91(n: int) -gt; int: """McCarthy 91 function.""" if n gt; 100: return n - 10 else: return mc91(mc91(n + 11))

Вот реализация вложенно-рекурсивного алгоритма на C :

int mc91(int n) { if (n gt; 100) { return n - 10; } else { return mc91(mc91(n + 11)); } }

Вот реализация алгоритма хвостовой рекурсии на C :

int mc91(int n) { return mc91taux(n, 1); } int mc91taux(int n, int c) { if (c != 0) { if (n gt; 100) { return mc91taux(n - 10, c - 1); } else { return mc91taux(n + 11, c + 1); } } else { return n; } }

Вот доказательство того, что

${\ displaystyle M (n) = {\ begin {case} n-10, amp; {\ t_dv {if}} ngt; 100 {\ t_dv {}} \\ 91, amp; {\ t_dv {if}} n \ leq 100 {\ t_dv {}} \ end {case}}}$

который предоставляет эквивалентный нерекурсивный алгоритм для вычисления. ${\ displaystyle M}$

При n gt; 100 равенство следует из определения. Для n ≤ 100 можно использовать сильную индукцию вниз от 100. ${\ displaystyle M}$

Для 90 ≤ n ≤ 100,

M(n) = M(M(n + 11)), by definition = M(n + 11 - 10), since n + 11 gt; 100 = M(n + 1)

Итак, M ( n) = M (101) = 91 для 90 ≤ n ≤ 100. Это можно использовать как базовый случай.

Для шага индукции пусть n ≤ 89 и M ( i) = 91 для всех n lt; i ≤ 100, тогда

M(n) = M(M(n + 11)), by definition = M(91), by hypothesis, since n lt; n + 11 ≤ 100 = 91, by the base case.

Это доказывает, что M ( n) = 91 для всех n ≤ 100, включая отрицательные значения.

Дональд Кнут обобщил функцию 91, включив в нее дополнительные параметры. Джон Коулз разработал формальное доказательство тотальности обобщенной функции Кнута, используя средство доказательства теорем ACL2.

• Манна, Зоар; Пнуэли, Амир (июль 1970 г.). «Формализация свойств функциональных программ». Журнал ACM. 17 (3): 555–569. DOI : 10.1145 / 321592.321606.
• Манна, Зоар; Маккарти, Джон (1970). «Свойства программ и частичная функциональная логика». Машинный интеллект. 5. OCLC   35422131.
• Манна, Зохар (1974). Математическая теория вычислений (4-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN   9780070399105.
• Палочка, Митчелл (январь 1980 г.). «Стратегии преобразования программ, основанные на продолжении». Журнал ACM. 27 (1): 164–180. DOI : 10.1145 / 322169.322183.