Теорема максимума

редактировать

Теорема максимума создает условия для непрерывности в качестве оптимизированной функции и множеств его максимайзеров относительно его параметров. Утверждение было впервые доказано Клодом Берже в 1959 году. Теорема в основном используется в математической экономике и оптимальном управлении.

Содержание

1 Утверждение теоремы
2 Интерпретация
3 Доказательство
4 Варианты и обобщения
5 примеров
6 См. Также
7 Примечания
8 ссылки

Формулировка теоремы

Теорема максимума. Пусть и - топологические пространства, - непрерывная функция на произведении и компактнозначное соответствие такое, что для всех. Определите предельную функцию (или функцию значения) следующим образом: ${\ displaystyle X}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ ${\ displaystyle f: X \ times \ Theta \ to \ mathbb {R}}$ $е: X \ times \ Theta \ to {\ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X \ times \ Theta}$ ${\ displaystyle X \ times \ Theta}$ ${\ displaystyle C: \ Theta \ rightrightarrows X}$ ${\ displaystyle C: \ Theta \ rightrightarrows X}$ ${\ Displaystyle С (\ тета) \ neq \ emptyset}$ ${\ Displaystyle С (\ тета) \ neq \ emptyset}$ ${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta}$ $\ тета \ в \ тета$ ${\ displaystyle f ^ {*}: \ Theta \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f ^ {*}: \ Theta \ to \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle е ^ {*} (\ theta) = \ sup \ {f (x, \ theta): x \ in C (\ theta) \}}

{\ Displaystyle е ^ {*} (\ theta) = \ sup \ {f (x, \ theta): x \ in C (\ theta) \}}

а набор максимайзеров - ${\ displaystyle C ^ {*}: \ Theta \ rightrightarrows X}$ ${\ displaystyle C ^ {*}: \ Theta \ rightrightarrows X}$

{\ Displaystyle C ^ {*} (\ theta) = \ mathrm {arg} \ sup \ {f (x, \ theta): x \ in C (\ theta) \} = \ {x \ in C (\ theta)): f (x, \ theta) = f ^ {*} (\ theta) \}}

{\ Displaystyle C ^ {*} (\ theta) = \ mathrm {arg} \ sup \ {f (x, \ theta): x \ in C (\ theta) \} = \ {x \ in C (\ theta)): f (x, \ theta) = f ^ {*} (\ theta) \}}

Если непрерывна (т. Е. Полунепрерывна как верхняя, так и нижняя) при, то непрерывна и полунепрерывна сверху с непустыми и компактными значениями. Как следствие, могут быть заменены и прочим. ${\ displaystyle C}$ $C$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ${\ displaystyle f ^ {*}}$ $е ^ {*}$ ${\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$ ${\ displaystyle \ sup}$ $\ sup$ ${\ displaystyle \ max}$ $\Максимум$ ${\ displaystyle \ mathrm {arg} \, \ sup}$ ${\ displaystyle \ mathrm {arg} \, \ sup}$ ${\ textstyle \ mathrm {arg} \, \ max}$ ${\ textstyle \ mathrm {arg} \, \ max}$

Интерпретация

Теорема обычно интерпретируется как предоставление условий для того, чтобы задача параметрической оптимизации имела непрерывные решения в отношении параметра. В этом случае - это пространство параметров, - это функция, которая должна быть максимизирована, и задает набор ограничений, который максимизируется. Тогда это максимальное значение функции и набор точек, которые максимизируют. ${\ displaystyle \ Theta}$ $\ Theta$ ${\ Displaystyle е (х, \ тета)}$ $е (х, \ тета)$ ${\ Displaystyle С (\ тета)}$ $С (\ тета)$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ Displaystyle е ^ {*} (\ тета)}$ $е ^ {*} (\ тета)$ ${\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$ ${\ displaystyle f}$ $ж$

В результате, если элементы задачи оптимизации достаточно непрерывны, то некоторая, но не вся эта непрерывность сохраняется в решениях.

Доказательство

В этом доказательстве мы будем использовать термин « окрестность» для обозначения открытого множества, содержащего определенную точку. Мы предваряем предварительную лемму, которая является общим фактом в исчислении соответствий. Напомним, что корреспонденция замкнута, если ее граф замкнут.

Лемма. Если являются соответствиями, полунепрерывно сверху и компактнозначно и замкнуто, то определяется полунепрерывно сверху. ${\ displaystyle A, B: \ Theta \ rightrightarrows X}$ ${\ displaystyle A, B: \ Theta \ rightrightarrows X}$ ${\ displaystyle A}$ $А$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle A \ cap B: \ Theta \ rightrightarrows X}$ ${\ displaystyle A \ cap B: \ Theta \ rightrightarrows X}$ ${\ displaystyle (A \ cap B) (\ theta) = A (\ theta) \ cap B (\ theta)}$ ${\ displaystyle (A \ cap B) (\ theta) = A (\ theta) \ cap B (\ theta)}$

Доказательство
Позвольте, и предположим, является открытым набором, содержащим. Если, то результат следует немедленно. В противном случае, заметим, что для каждого у нас есть, и с тех пор закрыта существует окрестность о, в которой каждый раз, когда. Набор множеств образует открытое покрытие компакта, что позволяет выделить конечное подпокрытие. Потом всякий раз у нас и так. Это завершает доказательство. ${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta}$ $\ тета \ в \ тета$ ${\ displaystyle G}$ $грамм$ ${\ Displaystyle (А \ крышка В) (\ тета)}$ ${\ Displaystyle (А \ крышка В) (\ тета)}$ ${\ Displaystyle А (\ тета) \ substeq G}$ ${\ Displaystyle А (\ тета) \ substeq G}$ ${\ Displaystyle х \ в А (\ тета) \ setminus G}$ ${\ Displaystyle х \ в А (\ тета) \ setminus G}$ ${\ Displaystyle х \ notin В (\ тета)}$ ${\ Displaystyle х \ notin В (\ тета)}$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ displaystyle U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ Displaystyle х '\ notin B (\ theta')}$ ${\ Displaystyle х '\ notin B (\ theta')}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ Displaystyle \ {G \} \ чашка \ {V_ {x}: x \ in A (\ theta) \ setminus G \}}$ ${\ Displaystyle \ {G \} \ чашка \ {V_ {x}: x \ in A (\ theta) \ setminus G \}}$ ${\ Displaystyle А (\ тета)}$ $А (\ тета)$ ${\ displaystyle G, V_ {x_ {1}}, \ dots, V_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle G, V_ {x_ {1}}, \ dots, V_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ theta \ in U_ {x_ {1}} \ cap \ dots \ cap U_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ theta \ in U_ {x_ {1}} \ cap \ dots \ cap U_ {x_ {n}}}$ ${\ Displaystyle A (\ theta) \ substeq G \ чашка V_ {x_ {1}} \ чашка \ точки \ чашка V_ {x_ {n}}}$ ${\ Displaystyle A (\ theta) \ substeq G \ чашка V_ {x_ {1}} \ чашка \ точки \ чашка V_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle (A \ cap B) (\ theta) \ substeq G}$ ${\ displaystyle (A \ cap B) (\ theta) \ substeq G}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$ $\квадрат$

Доказательство

Позвольте, и предположим, является открытым набором, содержащим. Если, то результат следует немедленно. В противном случае, заметим, что для каждого у нас есть, и с тех пор закрыта существует окрестность о, в которой каждый раз, когда. Набор множеств образует открытое покрытие компакта, что позволяет выделить конечное подпокрытие. Потом всякий раз у нас и так. Это завершает доказательство. ${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta}$ $\ тета \ в \ тета$ ${\ displaystyle G}$ $грамм$ ${\ Displaystyle (А \ крышка В) (\ тета)}$ ${\ Displaystyle (А \ крышка В) (\ тета)}$ ${\ Displaystyle А (\ тета) \ substeq G}$ ${\ Displaystyle А (\ тета) \ substeq G}$ ${\ Displaystyle х \ в А (\ тета) \ setminus G}$ ${\ Displaystyle х \ в А (\ тета) \ setminus G}$ ${\ Displaystyle х \ notin В (\ тета)}$ ${\ Displaystyle х \ notin В (\ тета)}$ ${\ displaystyle B}$ $B$ ${\ displaystyle U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ displaystyle U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ Displaystyle х '\ notin B (\ theta')}$ ${\ Displaystyle х '\ notin B (\ theta')}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ Displaystyle \ {G \} \ чашка \ {V_ {x}: x \ in A (\ theta) \ setminus G \}}$ ${\ Displaystyle \ {G \} \ чашка \ {V_ {x}: x \ in A (\ theta) \ setminus G \}}$ ${\ Displaystyle А (\ тета)}$ $А (\ тета)$ ${\ displaystyle G, V_ {x_ {1}}, \ dots, V_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle G, V_ {x_ {1}}, \ dots, V_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ theta \ in U_ {x_ {1}} \ cap \ dots \ cap U_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ theta \ in U_ {x_ {1}} \ cap \ dots \ cap U_ {x_ {n}}}$ ${\ Displaystyle A (\ theta) \ substeq G \ чашка V_ {x_ {1}} \ чашка \ точки \ чашка V_ {x_ {n}}}$ ${\ Displaystyle A (\ theta) \ substeq G \ чашка V_ {x_ {1}} \ чашка \ точки \ чашка V_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle (A \ cap B) (\ theta) \ substeq G}$ ${\ displaystyle (A \ cap B) (\ theta) \ substeq G}$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$ $\квадрат$

Непрерывность в теореме максимума является результатом объединения двух независимых теорем вместе. ${\ displaystyle f ^ {*}}$ $е ^ {*}$

Теорема 1. Если полунепрерывно сверху и полунепрерывно сверху, непусто и компактнозначно, то полунепрерывно сверху. ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle C}$ $C$ ${\ displaystyle f ^ {*}}$ $е ^ {*}$

Доказательство теоремы 1.
Зафиксируем, и пусть будет произвольно. Для каждого существует окрестность из таких, что всякий раз, когда у нас есть. Множество покрытий окрестностей компактно, поэтому достаточно. Кроме того, поскольку сверху хеминепрерывный, существует окрестность из таких, что всякий раз, когда это следует, что. Пусть. Тогда для всех у нас есть для каждого, как для некоторых. Это следует из того ${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta}$ $\ тета \ в \ тета$ ${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$ $\ varepsilongt; 0$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета)}$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета)}$ ${\ displaystyle U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ displaystyle U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ Displaystyle е (х ', \ тета') lt;е (х, \ тета) + \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle е (х ', \ тета') lt;е (х, \ тета) + \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle \ {V_ {x}: х \ в C (\ theta) \}}$ ${\ Displaystyle \ {V_ {x}: х \ в C (\ theta) \}}$ ${\ Displaystyle С (\ тета)}$ $С (\ тета)$ ${\ displaystyle V_ {x_ {1}}, \ dots, V_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle V_ {x_ {1}}, \ dots, V_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle C}$ $C$ ${\ displaystyle U '}$ $U '$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U'}$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U'}$ ${\ Displaystyle С (\ тета ') \ substeq \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} V_ {x_ {k}}}$ ${\ Displaystyle С (\ тета ') \ substeq \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} V_ {x_ {k}}}$ ${\ Displaystyle U = U '\ cap U_ {x_ {1}} \ cap \ dots \ cap U_ {x_ {n}}}$ ${\ Displaystyle U = U '\ cap U_ {x_ {1}} \ cap \ dots \ cap U_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U}$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U}$ ${\ Displaystyle е (х ', \ тета') lt;е (х_ {к}, \ тета) + \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle е (х ', \ тета') lt;е (х_ {к}, \ тета) + \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle х '\ в С (\ тета')}$ ${\ Displaystyle х '\ в С (\ тета')}$ ${\ displaystyle x '\ in V_ {x_ {k}}}$ ${\ displaystyle x '\ in V_ {x_ {k}}}$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ${\ displaystyle f ^ {} (\ theta ') = \ sup _ {x' \ in C (\ theta ')} f (x', \ theta ') lt;\ max _ {k = 1, \ dots, n} f (x_ {k}, \ theta) + \ varepsilon \ leq f ^ {} (\ theta) + \ varepsilon,}$ ${\ displaystyle f ^ {} (\ theta ') = \ sup _ {x' \ in C (\ theta ')} f (x', \ theta ') lt;\ max _ {k = 1, \ dots, n} f (x_ {k}, \ theta) + \ varepsilon \ leq f ^ {} (\ theta) + \ varepsilon,}$ что и было желательно. ${\ Displaystyle \ квадрат}$ $\квадрат$

Доказательство теоремы 1.

Зафиксируем, и пусть будет произвольно. Для каждого существует окрестность из таких, что всякий раз, когда у нас есть. Множество покрытий окрестностей компактно, поэтому достаточно. Кроме того, поскольку сверху хеминепрерывный, существует окрестность из таких, что всякий раз, когда это следует, что. Пусть. Тогда для всех у нас есть для каждого, как для некоторых. Это следует из того ${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta}$ $\ тета \ в \ тета$ ${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$ $\ varepsilongt; 0$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета)}$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета)}$ ${\ displaystyle U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ displaystyle U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {x} \ times V_ {x}}$ ${\ Displaystyle е (х ', \ тета') lt;е (х, \ тета) + \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle е (х ', \ тета') lt;е (х, \ тета) + \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle \ {V_ {x}: х \ в C (\ theta) \}}$ ${\ Displaystyle \ {V_ {x}: х \ в C (\ theta) \}}$ ${\ Displaystyle С (\ тета)}$ $С (\ тета)$ ${\ displaystyle V_ {x_ {1}}, \ dots, V_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle V_ {x_ {1}}, \ dots, V_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle C}$ $C$ ${\ displaystyle U '}$ $U '$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U'}$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U'}$ ${\ Displaystyle С (\ тета ') \ substeq \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} V_ {x_ {k}}}$ ${\ Displaystyle С (\ тета ') \ substeq \ bigcup _ {k = 1} ^ {n} V_ {x_ {k}}}$ ${\ Displaystyle U = U '\ cap U_ {x_ {1}} \ cap \ dots \ cap U_ {x_ {n}}}$ ${\ Displaystyle U = U '\ cap U_ {x_ {1}} \ cap \ dots \ cap U_ {x_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U}$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U}$ ${\ Displaystyle е (х ', \ тета') lt;е (х_ {к}, \ тета) + \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle е (х ', \ тета') lt;е (х_ {к}, \ тета) + \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle х '\ в С (\ тета')}$ ${\ Displaystyle х '\ в С (\ тета')}$ ${\ displaystyle x '\ in V_ {x_ {k}}}$ ${\ displaystyle x '\ in V_ {x_ {k}}}$ ${\ displaystyle k}$ $k$

{\ displaystyle f ^ {*} (\ theta ') = \ sup _ {x' \ in C (\ theta ')} f (x', \ theta ') lt;\ max _ {k = 1, \ dots, n} f (x_ {k}, \ theta) + \ varepsilon \ leq f ^ {*} (\ theta) + \ varepsilon,}

{\ displaystyle f ^ {*} (\ theta ') = \ sup _ {x' \ in C (\ theta ')} f (x', \ theta ') lt;\ max _ {k = 1, \ dots, n} f (x_ {k}, \ theta) + \ varepsilon \ leq f ^ {*} (\ theta) + \ varepsilon,}

что и было желательно. ${\ Displaystyle \ квадрат}$ $\квадрат$

Теорема 2. Если полунепрерывно снизу и полунепрерывно снизу, то полунепрерывно снизу. ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle C}$ $C$ ${\ displaystyle f ^ {*}}$ $е ^ {*}$

Доказательство теоремы 2.
Зафиксируем, и пусть будет произвольно. По определению существует такое, что. Теперь, так как полунепрерывно, существует окрестность из таких, что всякий раз, когда у нас есть. Обратите внимание на это (в частности,). Следовательно, поскольку он полунепрерывен снизу, существует такая окрестность, которая всегда существует. Пусть. Тогда всякий раз, когда существует, что означает ${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta}$ $\ тета \ в \ тета$ ${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$ $\ varepsilongt; 0$ ${\ displaystyle f ^ {}}$ $е ^ {}$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета)}$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета)}$ ${\ Displaystyle е ^ {} (\ тета) lt;е (х, \ тета) + {\ гидроразрыва {\ varepsilon} {2}}}$ ${\ Displaystyle е ^ {} (\ тета) lt;е (х, \ тета) + {\ гидроразрыва {\ varepsilon} {2}}}$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle U_ {1} \ times V}$ ${\ displaystyle U_ {1} \ times V}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {1} \ times V}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {1} \ times V}$ ${\ Displaystyle е (х, \ тета) lt;е (х ', \ тета') + {\ гидроразрыва {\ varepsilon} {2}}}$ ${\ Displaystyle е (х, \ тета) lt;е (х ', \ тета') + {\ гидроразрыва {\ varepsilon} {2}}}$ ${\ Displaystyle С (\ тета) \ кепка V \ neq \ emptyset}$ ${\ Displaystyle С (\ тета) \ кепка V \ neq \ emptyset}$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета) \ крышка V}$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета) \ крышка V}$ ${\ displaystyle C}$ $C$ ${\ displaystyle U_ {2}}$ $U_ {2}$ ${\ displaystyle \ theta '\ в U_ {2}}$ ${\ displaystyle \ theta '\ в U_ {2}}$ ${\ displaystyle x '\ in C (\ theta') \ cap V}$ ${\ displaystyle x '\ in C (\ theta') \ cap V}$ ${\ Displaystyle U = U_ {1} \ cap U_ {2}}$ ${\ Displaystyle U = U_ {1} \ cap U_ {2}}$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U}$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U}$ ${\ displaystyle x '\ in C (\ theta') \ cap V}$ ${\ displaystyle x '\ in C (\ theta') \ cap V}$ ${\ Displaystyle е ^ {} (\ theta) lt;е (х, \ theta) + {\ frac {\ varepsilon} {2}} lt;f (x ', \ theta') + \ varepsilon \ leq f ^ { } (\ theta ') + \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle е ^ {} (\ theta) lt;е (х, \ theta) + {\ frac {\ varepsilon} {2}} lt;f (x ', \ theta') + \ varepsilon \ leq f ^ { } (\ theta ') + \ varepsilon}$ что и было желательно. ${\ Displaystyle \ квадрат}$ $\квадрат$

Доказательство теоремы 2.

Зафиксируем, и пусть будет произвольно. По определению существует такое, что. Теперь, так как полунепрерывно, существует окрестность из таких, что всякий раз, когда у нас есть. Обратите внимание на это (в частности,). Следовательно, поскольку он полунепрерывен снизу, существует такая окрестность, которая всегда существует. Пусть. Тогда всякий раз, когда существует, что означает ${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta}$ $\ тета \ в \ тета$ ${\ displaystyle \ varepsilongt; 0}$ $\ varepsilongt; 0$ ${\ displaystyle f ^ {*}}$ $е ^ {*}$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета)}$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета)}$ ${\ Displaystyle е ^ {*} (\ тета) lt;е (х, \ тета) + {\ гидроразрыва {\ varepsilon} {2}}}$ ${\ Displaystyle е ^ {*} (\ тета) lt;е (х, \ тета) + {\ гидроразрыва {\ varepsilon} {2}}}$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle U_ {1} \ times V}$ ${\ displaystyle U_ {1} \ times V}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ Displaystyle (\ тета, х)}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {1} \ times V}$ ${\ displaystyle (\ theta ', x') \ в U_ {1} \ times V}$ ${\ Displaystyle е (х, \ тета) lt;е (х ', \ тета') + {\ гидроразрыва {\ varepsilon} {2}}}$ ${\ Displaystyle е (х, \ тета) lt;е (х ', \ тета') + {\ гидроразрыва {\ varepsilon} {2}}}$ ${\ Displaystyle С (\ тета) \ кепка V \ neq \ emptyset}$ ${\ Displaystyle С (\ тета) \ кепка V \ neq \ emptyset}$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета) \ крышка V}$ ${\ Displaystyle х \ в С (\ тета) \ крышка V}$ ${\ displaystyle C}$ $C$ ${\ displaystyle U_ {2}}$ $U_ {2}$ ${\ displaystyle \ theta '\ в U_ {2}}$ ${\ displaystyle \ theta '\ в U_ {2}}$ ${\ displaystyle x '\ in C (\ theta') \ cap V}$ ${\ displaystyle x '\ in C (\ theta') \ cap V}$ ${\ Displaystyle U = U_ {1} \ cap U_ {2}}$ ${\ Displaystyle U = U_ {1} \ cap U_ {2}}$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U}$ ${\ displaystyle \ theta '\ in U}$ ${\ displaystyle x '\ in C (\ theta') \ cap V}$ ${\ displaystyle x '\ in C (\ theta') \ cap V}$

{\ Displaystyle е ^ {*} (\ theta) lt;е (х, \ theta) + {\ frac {\ varepsilon} {2}} lt;f (x ', \ theta') + \ varepsilon \ leq f ^ { *} (\ theta ') + \ varepsilon}

{\ Displaystyle е ^ {*} (\ theta) lt;е (х, \ theta) + {\ frac {\ varepsilon} {2}} lt;f (x ', \ theta') + \ varepsilon \ leq f ^ { *} (\ theta ') + \ varepsilon}

что и было желательно. ${\ Displaystyle \ квадрат}$ $\квадрат$

В условиях теоремы о максимуме непрерывно. Осталось проверить, что это полунепрерывное сверху соответствие с компактными значениями. Пусть. Чтобы убедиться, что это непусто, заметим, что функция by непрерывна на компакте. Теорема об экстремальном значении подразумевает, что оно непусто. Кроме того, поскольку он непрерывен, следует, что замкнутое подмножество компакта, из которого следует, компактно. Наконец, пусть будет определено. Поскольку - непрерывная функция, это замкнутое соответствие. Более того, поскольку из предварительной леммы следует, что она полунепрерывна сверху. ${\ displaystyle f ^ {*}}$ $е ^ {*}$ ${\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$ ${\ displaystyle \ theta \ in \ Theta}$ $\ тета \ в \ тета$ ${\ Displaystyle С ^ {*} (\ тета)}$ $С ^ {*} (\ тета)$ ${\ displaystyle f _ {\ theta}: C (\ theta) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f _ {\ theta}: C (\ theta) \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle е _ {\ тета} (х) = е (х, \ тета)}$ ${\ Displaystyle е _ {\ тета} (х) = е (х, \ тета)}$ ${\ Displaystyle С (\ тета)}$ $С (\ тета)$ ${\ Displaystyle С ^ {*} (\ тета)}$ $С ^ {*} (\ тета)$ ${\ displaystyle f _ {\ theta}}$ $е _ {\ theta}$ ${\ Displaystyle С ^ {*} (\ тета)}$ $С ^ {*} (\ тета)$ ${\ Displaystyle С (\ тета)}$ $С (\ тета)$ ${\ Displaystyle С ^ {*} (\ тета)}$ $С ^ {*} (\ тета)$ ${\ displaystyle D: \ Theta \ rightrightarrows X}$ ${\ displaystyle D: \ Theta \ rightrightarrows X}$ ${\ textstyle D (\ theta) = \ {x \ in C (\ theta): f (x, \ theta) = f ^ {*} (\ theta) \}}$ ${\ textstyle D (\ theta) = \ {x \ in C (\ theta): f (x, \ theta) = f ^ {*} (\ theta) \}}$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle D}$ $D$ ${\ Displaystyle C ^ {*} (\ theta) = C (\ theta) \ cap D (\ theta)}$ ${\ Displaystyle C ^ {*} (\ theta) = C (\ theta) \ cap D (\ theta)}$ ${\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$ ${\ Displaystyle \ квадрат}$ $\квадрат$

Варианты и обобщения

Естественное обобщение приведенных выше результатов дает достаточные локальные условия непрерывности, непустоты, компактности и полунепрерывности сверху. ${\ displaystyle f ^ {*}}$ $е ^ {*}$ ${\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$

Если в дополнении к условиям выше, является квазивогнутым в течение каждого и выпукло-значный, то также выпуклозначный. Если строго квазивогнутый для каждого и выпуклозначный, то однозначный и, таким образом, является непрерывной функцией, а не соответствием. ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ${\ displaystyle C}$ $C$ ${\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ${\ displaystyle C}$ $C$ ${\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$

Если это вогнута и имеет выпуклый график, то вогнута и выпукла-значной. Как и выше, если строго вогнутая, то является непрерывной функцией. ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle C}$ $C$ ${\ displaystyle f ^ {*}}$ $е ^ {*}$ ${\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$ ${\ displaystyle f}$ $ж$ ${\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$

Также возможно обобщение теоремы Берже на некомпактные многозначные соответствия, если целевая функция K-inf-компактна.

Примеры

Рассмотрим задачу максимизации полезности, когда потребитель делает выбор из своего бюджета. Переведя обозначения, приведенные выше, в стандартные обозначения теории потребителей,

${\ Displaystyle X = \ mathbb {R} _ {+} ^ {l}}$ $X = {\ mathbb {R}} _ {+} ^ {l}$ это пространство всех наборов товаров, ${\ displaystyle l}$ $л$
${\ Displaystyle \ Theta = \ mathbb {R} _ {++} ^ {l} \ times \ mathbb {R} _ {++}}$ $\ Theta = {\ mathbb {R}} _ {{++}} ^ {l} \ times {\ mathbb {R}} _ {{++}}$ представляет собой вектор цен на товары и потребительское богатство, ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle w}$ $ш$
${\ Displaystyle е (х, \ тета) = и (х)}$ $е (х, \ тета) = и (х)$ - функция полезности потребителя, и
${\ Displaystyle С (\ тета) = В (п, ш) = \ {х \, | \, px \ Leq ш \}}$ $C (\ theta) = B (p, w) = \ {x \, | \, px \ leq w \}$ - набор бюджета потребителя.

Затем,

${\ Displaystyle е ^ {*} (\ тета) = v (р, ш)}$ $е ^ {*} (\ theta) = v (p, w)$ - косвенная функция полезности и
${\ Displaystyle С ^ {*} (\ тета) = х (р, ш)}$ $С ^ {*} (\ theta) = х (р, ш)$ - это маршаллианское требование.

Доказательства в общей теории равновесия часто применяют теоремы Брауэра или Какутани о неподвижной точке к потребительскому спросу, который требует компактности и непрерывности, а теорема максимума предоставляет достаточные условия для этого.

Смотрите также

Ноты

Ссылки

Клод Берже (1963). Топологические пространства. Оливер и Бойд. С. 115–117.
Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечный анализ измерений: Путеводитель автостопом. Springer. стр. 569 -571.
Шоучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, BV, стр. 82–89.