Войти
Концепция массы в общей теории относительности (ОТО) более сложна, чем концепция массы в специальной теории относительности. Фактически, общая теория относительности не предлагает единого определения термина масса, но предлагает несколько различных определений, применимых в разных обстоятельствах. При некоторых обстоятельствах масса системы в общей теории относительности может даже не быть определена.
В специальной теории относительности, в инвариантной массы или массы покоя ( далее просто «масса») в качестве изолированной системы может быть определено в терминах энергии и импульса системы по релятивистским уравнением энергии-импульса :
где E - полная энергия системы, p - полный импульс системы, c - скорость света. Вкратце, в фундаментальных единицах, где масса системы в специальной теории относительности является нормой ее четырехвектора энергии-импульса.
Однако обобщение этого определения на общую теорию относительности проблематично; на самом деле, оказывается, невозможно найти общее определение полной массы (или энергии) системы. Основная причина этого в том, что «энергия гравитационного поля» не является частью тензора энергии-импульса; вместо этого то, что можно было бы идентифицировать как вклад гравитационного поля в общую энергию, является частью тензора Эйнштейна на другой стороне уравнения Эйнштейна (и, как таковое, следствием нелинейности этих уравнений). Хотя в определенных ситуациях можно переписать уравнения так, чтобы часть «гравитационной энергии» теперь стояла рядом с другими источниками в форме псевдотензора напряжения-энергии-импульса, это разделение верно не для всех наблюдателей, и там нет общего определения для его получения.
Как же тогда определить понятие как общую массу системы, которую легко определить в классической механике? Как выясняется, по крайней мере для пространств-времени, которые являются асимптотически плоскими (грубо говоря, которые представляют некоторую изолированную гравитирующую систему в пустом и лишенном гравитации бесконечном пространстве), расщепление ADM 3 + 1 приводит к решению: как и в обычном гамильтониане формализм, направление времени, используемое в этом разделении, имеет связанную энергию, которая может быть интегрирована, чтобы получить глобальную величину, известную как масса ADM (или, что эквивалентно, энергия ADM). В качестве альтернативы, есть возможность определить массу для пространства-времени, которое является стационарным, другими словами, такое, которое имеет подобное времени векторное поле Киллинга (которое, как генерирующее поле для времени, канонически сопряжено с энергией); результатом является так называемая масса Комара. Хотя она определяется совершенно по-другому, можно показать, что она эквивалентна массе ADM для стационарного пространства-времени. Определение интеграла Комара также может быть обобщено на нестационарные поля, для которых существует по крайней мере асимптотическая симметрия сдвига во времени ; накладывая определенное калибровочное условие, можно определить энергию Бонди на нулевой бесконечности. В некотором смысле энергия ADM измеряет всю энергию, содержащуюся в пространстве-времени, в то время как энергия Бонди исключает те части, которые уносятся гравитационными волнами в бесконечность. Большие усилия были затрачены на доказательство теорем о положительности для только что определенных масс, не в последнюю очередь потому, что положительность или, по крайней мере, существование нижнего предела имеет отношение к более фундаментальному вопросу ограниченности снизу: если бы не было нижнего предела для энергии, то никакая изолированная система не будет абсолютно стабильной; всегда будет возможность распада до состояния с еще меньшей полной энергией. Существует несколько видов доказательств того, что и масса ADM, и масса Бонди действительно положительны; в частности, это означает, что пространство Минковского (для которого оба равны нулю) действительно устойчиво. Хотя основное внимание здесь уделяется энергии, существуют аналогичные определения глобального импульса; учитывая поле угловых векторов Киллинга и следуя технике Комара, можно также определить глобальный угловой момент.
Недостатком всех упомянутых до сих пор определений является то, что они определены только на (нулевой или пространственной) бесконечности; с 1970-х годов физики и математики работали над более амбициозными усилиями по определению подходящих квазилокальных величин, таких как масса изолированной системы, определяемая с использованием только величин, определенных в пределах конечной области пространства, содержащей эту систему. Однако, в то время как существует множество предлагаемых определений, такие как энергия Хокинга, в энергии Героха или Пенроуз квазилокальной энергии-импульс на основе твисторных методов, поле все еще находится в движении. В конце концов, есть надежда использовать подходящую определенную квазилокальную массу, чтобы дать более точную формулировку гипотезы обруча, доказать так называемое неравенство Пенроуза для черных дыр (связывающее массу черной дыры с областью горизонта) и найти квази -локальная версия законов механики черных дыр.
Нетехническое определение стационарного пространства-времени - это пространство-время, в котором ни один из метрических коэффициентов не является функцией времени. Метрика Шварцшильда из черной дыры и метрика Керра из вращающейся черной дыры являются общими примерами стационарных пространства - времени.
По определению, стационарное пространство- время демонстрирует симметрию трансляции времени. Технически это называется временным вектором Киллинга. Поскольку система обладает симметрией сдвига во времени, теорема Нётер гарантирует сохранение энергии. Поскольку стационарная система также имеет четко определенную систему покоя, в которой ее импульс можно считать равным нулю, определение энергии системы также определяет ее массу. В общей теории относительности эта масса называется массой Комара системы. Масса Комара может быть определена только для стационарных систем.
Масса Комара также может быть определена интегралом потока. Это похоже на то, как закон Гаусса определяет заряд, заключенный на поверхности, как нормальную электрическую силу, умноженную на площадь. Однако интеграл потока, используемый для определения массы Комара, немного отличается от того, который используется для определения электрического поля - нормальная сила - это не действительная сила, а «сила на бесконечности». См. Основную статью для более подробной информации.
Из двух определений описание массы Комара в терминах симметрии сдвига во времени дает самое глубокое понимание.
Если система, содержащая гравитационные источники, окружена бесконечной областью вакуума, геометрия пространства-времени будет стремиться приблизиться к плоской геометрии Минковского специальной теории относительности на бесконечности. Такое пространство-время известно как «асимптотически плоское» пространство-время.
Для систем, в которых пространство-время асимптотически плоское, можно определить ADM и энергию Бонди, импульс и массу. В терминах теоремы Нётер энергия, импульс и масса ADM определяются асимптотическими симметриями на пространственной бесконечности, а энергия, импульс и масса Бонди определяются асимптотическими симметриями на нулевой бесконечности. Обратите внимание, что масса вычисляется как длина четырехвектора энергии-импульса, который можно рассматривать как энергию и импульс системы «на бесконечности».
В ньютоновском пределе для квазистатических систем в почти плоском пространстве-времени можно аппроксимировать полную энергию системы, складывая негравитационные компоненты энергии системы и затем вычитая ньютоновскую гравитационную энергию связи.
Переводя вышеприведенное утверждение на язык общей теории относительности, мы говорим, что система в почти плоском пространстве-времени имеет полную негравитационную энергию E и импульс P, определяемые как:
Когда компоненты вектора импульса системы равны нулю, то есть P i = 0, приблизительная масса системы равна (E + E связывание) / c 2, E связывание является отрицательным числом, представляющим ньютоновское гравитационное самосвязывание. энергия.
Следовательно, когда кто-то предполагает, что система является квазистатической, он предполагает, что нет значительной энергии, присутствующей в форме "гравитационных волн". Когда кто-то предполагает, что система находится в «почти плоском» пространстве-времени, он предполагает, что метрические коэффициенты по существу являются минковскими в пределах приемлемой экспериментальной ошибки.
В 1918 году Дэвид Гильберт в переписке с Кляйном писал о трудности приписывания энергии «полю» и «несостоятельности теоремы об энергии». В этом письме Гильберт высказал предположение, что эта неудача является характерной чертой общей теории и что вместо «теорем о собственной энергии» были «теоремы о несобственной энергии».
Это предположение вскоре было подтверждено одним из ближайших соратников Гильберта, Эмми Нётер. Теорема Нётер применима к любой системе, которую можно описать принципом действия. Теорема Нётер связывает сохраняющиеся энергии с симметриями сдвига во времени. Когда симметрия сдвига времени представляет собой непрерывную группу с конечными параметрами, такую как группа Пуанкаре, теорема Нётер определяет скалярную сохраняемую энергию для рассматриваемой системы. Однако, когда симметрия представляет собой непрерывную группу с бесконечными параметрами, существование сохраняющейся энергии не гарантируется. Аналогичным образом теорема Нётер связывает сохраняющиеся импульсы с пространственными трансляциями, когда группа симметрии трансляций конечномерна. Поскольку общая теория относительности является инвариантной теорией диффеоморфизма, она имеет бесконечную непрерывную группу симметрий, а не группу симметрий с конечными параметрами, и, следовательно, имеет неправильную групповую структуру, чтобы гарантировать сохраняющуюся энергию. Теорема Нётер оказала огромное влияние на то, что вдохновила и объединила различные идеи массы, энергии системы и импульса системы в общей теории относительности.
В качестве примера применения теоремы Нётер можно привести пример стационарного пространства-времени и связанной с ними массы Комара (Komar 1959). В то время как обычному пространству-времени не хватает симметрии перевода времени с конечными параметрами, стационарное пространство-время обладает такой симметрией, известной как вектор Киллинга. Теорема Нётер доказывает, что такое стационарное пространство-время должно иметь связанную сохраненную энергию. Эта сохраненная энергия определяет сохраняемую массу, массу Комара.
Масса ADM была введена (Arnowitt et al., 1960) из исходной формулировки общей теории относительности. Позднее он был переформулирован различными авторами в терминах группы асимптотических симметрий на пространственной бесконечности, группы SPI. (Held, 1980). Эта переформулировка во многом прояснила теорию, в том числе объяснила, почему импульс ADM и энергия ADM преобразуются как 4-вектор (Held, 1980). Обратите внимание, что группа SPI на самом деле бесконечномерна. Существование сохраняющихся величин обусловлено тем, что группа «суперпереносов» SPI имеет предпочтительную 4-параметрическую подгруппу «чистых» трансляций, которая, согласно теореме Нётер, генерирует сохраняющуюся 4-параметрическую энергию-импульс. Нормой этой 4-параметрической энергии-импульса является масса ADM.
Масса Бонди была введена (Бонди, 1962) в статье, в которой изучалась потеря массы физических систем из-за гравитационного излучения. Масса Бонди также связана с группой асимптотических симметрий, группой BMS на нулевой бесконечности. Подобно группе SPI в пространственной бесконечности, группа BMS в нулевой бесконечности является бесконечномерной и также имеет предпочтительную 4-параметрическую подгруппу «чистых» переводов.
Другой подход к проблеме энергии в общей теории относительности - использование псевдотензоров, таких как псевдотензор Ландау – Лифшица (Ландау и Лифшиц, 1962). Псевдотензоры не являются калибровочно-инвариантными - из-за этого они дают согласованные не зависящие от калибровки ответы для полной энергии только при соблюдении дополнительных ограничений (таких как асимптотическая плоскостность). Калибровочная зависимость псевдотензоров также предотвращает любое калибровочно-независимое определение локальной плотности энергии, поскольку каждый другой выбор калибровки приводит к различной локальной плотности энергии.
