Маршаллианская функция спроса

редактировать

В микроэкономике маршаллианская функция спроса потребителя (названная в честь Альфреда Маршалла ) - это количество, которое он требует от определенного товара в зависимости от его цены, его дохода и цен на другие товары, более техническое описание стандартной функции спроса. Это решение проблемы максимизации полезности : как потребитель может максимизировать свою полезность при заданных доходах и ценах. Синонимичный термин - нескомпенсированная функция спроса, потому что, когда цена повышается, потребитель не получает компенсации более высоким номинальным доходом за падение его реального дохода, в отличие от функции спроса Хикса. Таким образом, изменение количества требуемого является сочетание эффекта замещения и эффекта богатства. Хотя маршаллианский спрос находится в контексте теории частичного равновесия, его иногда называют вальрасовским спросом, который используется в теории общего равновесия (названной в честь Леона Вальраса ).

Согласно задаче максимизации полезности существует L товаров с вектором цены p и вектором выбираемого количества x. У потребителя доход I, а значит, и бюджетный набор доступных пакетов.

{\ Displaystyle B (p, I) = \ {x: \ langle p, x \ rangle \ leq I \},}

B (p, I) = \ {x: \ langle p, x \ rangle \ leq I \},

где - внутреннее произведение векторов цены и количества. У потребителя есть функция полезности ${\ displaystyle \ langle p, x \ rangle}$ $\ langle p, x \ rangle$

{\ displaystyle u: {\ textbf {R}} _ {+} ^ {L} \ rightarrow {\ textbf {R}}.}

u: \ textbf R ^ L_ + \ rightarrow \ textbf R.

Маршалловское соответствие спроса потребителя определяется как

{\ displaystyle x ^ {*} (p, I) = \ operatorname {argmax} _ {x \ in B (p, I)} u (x).}

{\ displaystyle x ^ {*} (p, I) = \ operatorname {argmax} _ {x \ in B (p, I)} u (x).}

СОДЕРЖАНИЕ

1 Выявленное предпочтение
2 Уникальность
3 Непрерывность
4 Однородность
5 Кривая спроса
6 Примеры
7 См. Также
8 ссылки

Выявленное предпочтение

Теория Маршалла предполагает, что стремление к полезности является мотивационным фактором для потребителя, которого можно достичь через потребление товаров или услуг. Величина потребительской полезности зависит от уровня потребления определенного товара, который подчиняется фундаментальной тенденции человеческой природы и описывается как закон убывающей предельной полезности.

Поскольку максимум полезности существует всегда, маршаллианское соответствие спроса должно быть непустым при каждом значении, которое соответствует стандартному набору бюджета.

Уникальность

${\ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$ $х ^ * (р, я)$ называется соответствием, потому что, как правило, оно может быть многозначным - может быть несколько разных связок, которые достигают одной и той же максимальной полезности. В некоторых случаях существует уникальный набор максимальных полезностей для каждой ситуации с ценой и доходом; тогда - функция, называемая маршаллианской функцией спроса. ${\ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$ $х ^ * (р, я)$

Если у потребителя строго выпуклые предпочтения, а цены на все товары строго положительны, тогда существует уникальный набор, максимизирующий полезность. Чтобы доказать это, предположим от противного, что есть два разных набора, и, которые максимизируют полезность. Тогда и предпочтительнее. По определению строгой выпуклости смешанное расслоение строго лучше, чем. Но это противоречит оптимальности. ${\ displaystyle x_ {1}}$ $х_ {1}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_ {2}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $х_ {1}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_ {2}$ ${\ displaystyle 0,5x_ {1} + 0,5x_ {2}}$ $0,5 х_1 + 0,5 х_2$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ $x_1, x_2$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ $x_1, x_2$

Непрерывность

Из теоремы о максимуме следует, что если:

Функция полезности непрерывна по, ${\ Displaystyle и (х)}$ $и (х)$ ${\ displaystyle x}$ $Икс$
Соответствие непустое, компактнозначное и непрерывное относительно, ${\ displaystyle B (p, I)}$ $B (p, I)$ ${\ displaystyle p, I}$ $Пи$

то есть полунепрерывное сверху соответствие. Более того, если единственно, то это непрерывная функция от и. ${\ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$ $х ^ * (р, я)$ ${\ Displaystyle х ^ {*} (п, я)}$ $х ^ * (р, я)$ ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle I}$ $я$

В сочетании с предыдущим подразделом, если у потребителя есть строго выпуклые предпочтения, то маршаллианский спрос уникален и непрерывен. Напротив, если предпочтения не являются выпуклыми, то маршаллианский спрос может быть неуникальным и непостоянным.

Однородность

Оптимальное маршаллиевское соответствие спроса непрерывной функции полезности является однородной функцией нулевой степени. Это означает, что для каждой константы ${\ displaystyle agt; 0,}$ $аgt; 0,$

{\ displaystyle x ^ {*} (a \ cdot p, a \ cdot I) = x ^ {*} (p, I).}

{\ displaystyle x ^ {*} (a \ cdot p, a \ cdot I) = x ^ {*} (p, I).}

Это интуитивно понятно. Допустим, и измеряются в долларах. Когда, и - это точно такие же величины, измеренные в центах. Когда цены и богатство повышаются в раз, структура покупок экономического агента остается неизменной. Очевидно, что выражение цен и дохода в разных единицах измерения не должно влиять на спрос. ${\ displaystyle p}$ $п$ ${\ displaystyle I}$ $я$ ${\ displaystyle a = 100}$ $а = 100$ ${\ displaystyle ap}$ $ap$ ${\ displaystyle aI}$ $aI$

Кривая спроса

В теории Маршалла используется кривая спроса, отражающая убывающую предельную ценность блага индивида. Теория настаивает на том, что решение потребителя о покупке зависит от полезности товара или услуги по сравнению с ценой, поскольку дополнительная полезность, которую получает потребитель, должна быть не меньше цены. В следующем предложении предлагается, чтобы требуемая цена была равна максимальной цене, которую потребитель заплатил бы за дополнительную единицу товара или услуги. Следовательно, полезность остается постоянной вдоль кривой спроса. Когда предельная полезность дохода постоянна или его значение одинаково для всех людей в пределах кривой рыночного спроса, получение чистой выгоды от приобретенных единиц или потребительского излишка возможно за счет сложения цен спроса.

Точка пересечения «Цена» и «Предельная полезность = спрос» показывает оптимальный уровень индивидуального потребления.

Примеры

В следующих примерах есть два товара: 1 и 2.

1. Функция полезности имеет форму Кобба – Дугласа :

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha} x_ {2} ^ {\ beta}.}

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha} x_ {2} ^ {\ beta}.}

Оптимизация с ограничениями приводит к маршаллианской функции спроса:

{\ displaystyle x ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, I) = \ left ({\ frac {\ alpha I} {(\ alpha + \ beta) p_ {1}}}, {\ frac {\ beta I} {(\ alpha + \ beta) p_ {2}}} \ right).}

x ^ * (p_1, p_2, I) = \ left (\ frac {\ alpha I} {(\ alpha + \ beta) p_1}, \ frac {\ beta I} {(\ alpha + \ beta) p_2} \ right).

2. Функция полезности - это функция полезности CES :

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = \ left [{\ frac {x_ {1} ^ {\ delta}} {\ delta}} + {\ frac {x_ {2} ^ {\ delta}} {\ delta}} \ right] ^ {\ frac {1} {\ delta}}.}

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = \ left [{\ frac {x_ {1} ^ {\ delta}} {\ delta}} + {\ frac {x_ {2} ^ {\ delta}} {\ delta}} \ right] ^ {\ frac {1} {\ delta}}.}

потом ${\ displaystyle x ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, I) = \ left ({\ frac {Ip_ {1} ^ {\ epsilon -1}} {p_ {1} ^ {\ epsilon) } + p_ {2} ^ {\ epsilon}}}, {\ frac {Ip_ {2} ^ {\ epsilon -1}} {p_ {1} ^ {\ epsilon} + p_ {2} ^ {\ epsilon} }} \ right), \ quad {\ text {with}} \ quad \ epsilon = {\ frac {\ delta} {\ delta -1}}.}$ ${\ displaystyle x ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, I) = \ left ({\ frac {Ip_ {1} ^ {\ epsilon -1}} {p_ {1} ^ {\ epsilon) } + p_ {2} ^ {\ epsilon}}}, {\ frac {Ip_ {2} ^ {\ epsilon -1}} {p_ {1} ^ {\ epsilon} + p_ {2} ^ {\ epsilon} }} \ right), \ quad {\ text {with}} \ quad \ epsilon = {\ frac {\ delta} {\ delta -1}}.}$

В обоих случаях предпочтения строго выпуклые, спрос уникален, а функция спроса непрерывна.

3. Функция полезности имеет линейный вид :

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + x_ {2}.}

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + x_ {2}.}

Функция полезности слабо выпуклая, и действительно, спрос не уникален: когда потребитель может разделить свой доход в произвольных соотношениях между типами продукта 1 и 2 и получить ту же полезность. ${\ displaystyle p_ {1} = p_ {2}}$ $р_ {1} = р_ {2}$

4. Функция полезности демонстрирует неуменьшающуюся предельную норму замещения:

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} ^ {\ alpha} + x_ {2} ^ {\ alpha}), \ quad {\ text {with}} \ quad \ альфаgt; 1.}

{\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} ^ {\ alpha} + x_ {2} ^ {\ alpha}), \ quad {\ text {with}} \ quad \ альфаgt; 1.}

Функция полезности не является выпуклой, и, действительно, спрос не является непрерывным: когда потребитель требует только продукт 1, а когда потребитель требует только продукт 2 (когда соответствие спроса содержит два различных набора: либо купить только продукт 1, либо купить только продукт 2). ${\ displaystyle p_ {1} lt;p_ {2}}$ $р_ {1} lt;р_ {2}$ ${\ displaystyle p_ {2} lt;p_ {1}}$ $p_2 lt;p_1$ ${\ displaystyle p_ {1} = p_ {2}}$ $р_ {1} = р_ {2}$

Смотрите также

использованная литература

Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл и Грин, Джерри (1995). Микроэкономическая теория. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-507340-1.
Николсон, Уолтер (1978). Микроэкономическая теория (второе изд.). Хинсдейл: Драйден Пресс. С. 90–93. ISBN 0-03-020831-9.

Зильберберг, Э. (2008). Хиксианские и маршаллианские требования. Лондон: Palgrave Macmillan, Лондон. ISBN 978-1-349-95121-5.

Левин, Джонатан; Милгром, Пол (октябрь 2004 г.). (PDF) https://web.stanford.edu/~jdlevin/Econ%20202/Consumer%20Theory.pdf. Проверено 22 апреля 2021 года. Цитировать журнал требует |journal=( помощь );Отсутствует или пусто |title=( справка )
Вонг, Стэнли (2006). Основы теории выявленных предпочтений Пола Самуэльсона (PDF) (пересмотренная ред.). Рутледж. ISBN 0-203-34983-0. Проверено 19 апреля 2021 года.