Карты многообразий

Morin поверхность, погружение используется в сфере выворачивания.

В математике, а точнее в дифференциальной геометрии и топологии, изучаются различные типы функций между многообразиями, как как самостоятельные объекты, так и для света, который они излучают.

Содержание

• 1 Типы карт
• 2 Скалярные функции
• 3 Кривые и пути
• 4 метрических пространства
• 5 См. Также

Типы карт

Подобно тому, как существуют различные типы многообразий, существуют различные типы отображений многообразий.

PDIFF служит для связи DIFF и PL, и он эквивалентен PL.

В геометрической топологии основные типы отображений соответствуют различным категориям многообразий: DIFF для гладких функций между дифференцируемыми многообразиями, PL для кусочно-линейных функций между кусочно линейными многообразиями и TOP для непрерывных функций между топологическими многообразиями. Это прогрессивно более слабые структуры, правильно ли подключены через Pdiff, категории кусочно -гладкого отображений между кусочно-гладких многообразий.

В дополнение к этим общим категориям карт существуют карты со специальными свойствами; они могут образовывать категории, а могут и не образовывать, и могут обсуждаться или не обсуждаться категорично.

Правосторонний узел - трилистник.

В геометрической топологии основным типом являются вложения, центральным примером которых является теория узлов, и такие обобщения, как погружения, субмерсии, накрывающие пространства и разветвленные накрывающие пространства. Основные результаты включают теорему вложения Уитни и теорему Уитни об погружении.

Риманова поверхность для функции f ( z) =  √ z, показанная как разветвленное накрывающее пространство комплексной плоскости.

В сложной геометрии разветвленные накрывающие пространства используются для моделирования римановых поверхностей и для анализа отображений между поверхностями, например, по формуле Римана – Гурвица.

В римановой геометрии можно попросить отображения для сохранения римановой метрики, что приводит к понятиям изометрических вложений, изометрических погружений и римановых субмерсий ; основным результатом является теорема вложения Нэша.

Скалярные функции

Трехмерный цветной график сферических гармоник степени${\ displaystyle n = 5}$

Базовым примером отображений между многообразиями являются скалярнозначные функции на многообразии, или иногда называемые регулярными функциями или функционалами, по аналогии с алгебраической геометрией или линейной алгеброй. Они представляют интерес как сами по себе, так и для изучения лежащего в основе многообразия. ${\ Displaystyle \ scriptstyle е \ двоеточие M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ scriptstyle f \ двоеточие M \ to \ mathbb {C},}$

В геометрической топологии наиболее часто изучаются функции Морса, которые приводят к разложениям на ручки, которые обобщаются на функции Морса – Ботта и могут использоваться, например, для понимания классических групп, таких как периодичность Ботта.

В математическом анализе часто изучается решение уравнений с частными производными, важным примером которого является гармонический анализ, в котором изучаются гармонические функции : ядро оператора Лапласа. Это приводит к таким функциям, как сферические гармоники, и к методам теплового ядра для изучения многообразий, таким как определение формы барабана и некоторые доказательства теоремы Атьи – Зингера об индексе.

Монодромии вокруг сингулярности или точек ветвления является важной частью анализа таких функций.

Кривые и пути

Геодезические на американском футбол, иллюстрирующего доказательство Громово заполнение области гипотезы в систолической геометрии, в гиперэллиптическом случае (см пояснения ).

Двойственные к скалярным функциям - карты - это карты, которые соответствуют кривым или путям в многообразии. Можно также определить их, где область представляет собой интервал, особенно единичный интервал, или где область представляет собой круг (эквивалентно, периодический путь) S ¹, что дает петлю. Они используются для определения фундаментальной группы, цепей в теории гомологии, геодезических кривых и систолической геометрии. ${\ Displaystyle \ scriptstyle M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {R} \ to M,}$${\ Displaystyle [а, б],}$ ${\ displaystyle [0,1],}$

Встроенные пути и петли приводят к теории узлов и связанным с ними структурам, таким как связи, косы и путаницы.

Метрические пространства

Римановы многообразия являются частными случаями метрических пространств, и, таким образом, у человека есть понятие липшицевой непрерывности, условия Гёльдера, вместе с грубой структурой, которая приводит к таким понятиям, как грубые отображения и связи с геометрической теорией групп.

Смотрите также

• Категория: Карты многообразий