Войти
Мальмквиста смещение является эффектом в наблюдательной астрономии, что приводит к преимущественному обнаружению внутренне ярких объектов. Впервые он был описан в 1922 году шведским астрономом Гуннаром Мальмквистом (1893–1982), который затем подробно разработал эту работу в 1925 году. В статистике это предубеждение упоминается как систематическая ошибка отбора или цензура данных. Это влияет на результаты в яркости -ограниченная обследования, где не могут быть включены звезды ниже определенного кажущейся яркости. Поскольку наблюдаемые звезды и галактики По мере удаления они кажутся более тусклыми, измеряемая яркость будет падать с увеличением расстояния до тех пор, пока их яркость не упадет ниже порога наблюдения. Объекты, которые более световые, или внутренне ярче, можно наблюдать на большее расстояние, создавая ложную тенденцию к увеличению внутренней яркости, и другой связанной с ней величину, с расстоянием. Этот эффект привел к множеству ложных заявлений в области астрономии. Правильная коррекция этих эффектов стала предметом особого внимания.
Поскольку световые лучи равномерно покидают звезду во всех направлениях, они заполняют сферу, радиус которой со временем увеличивается. По мере роста сферы площадь поверхности увеличивается; однако количество световых лучей остается прежним. Следуя за пятном на поверхности сферы с областью А, меньше световых лучей проходит через это пятно по мере того, как свет распространяется дальше от звезды. В повседневной жизни легко увидеть, что свет темнеет по мере удаления. Это можно увидеть с помощью автомобильных фар, свечей, фонарей и многих других освещенных объектов. Это затемнение следует закону обратных квадратов, который гласит, что яркость объекта уменьшается как 1 ⁄ r 2, где r - расстояние между наблюдателем и объектом.
Звездный свет также подчиняется закону обратных квадратов. Световые лучи покидают звезду в равных количествах во всех направлениях. Световые лучи создают сферу света, окружающую звезду. С течением времени сфера растет по мере того, как световые лучи проходят через пространство от звезды. Пока сфера света растет, количество световых лучей остается неизменным. Таким образом, количество света на единицу площади поверхности сферы (называемое потоком в астрономии) уменьшается с расстоянием и, следовательно, со временем. При наблюдении за звездой могут быть обнаружены только световые лучи, которые находятся в данной просматриваемой области. Вот почему звезда кажется тем тусклее, чем дальше она находится.
Если есть две звезды с одинаковой внутренней яркостью (называемой светимостью в астрономии), каждая на разном расстоянии, более близкая звезда будет казаться ярче, а дальняя - более тусклой. В астрономии видимая яркость звезды или любого другого светящегося объекта называется видимой величиной. Видимая величина зависит от внутренней яркости (также называемой абсолютной величиной ) объекта и расстояния до него.
Если бы все звезды имели одинаковую светимость, расстояние от Земли до конкретной звезды можно было бы легко определить. Однако звезды имеют широкий диапазон светимости. Поэтому бывает трудно отличить очень яркую звезду, которая находится очень далеко, от менее яркой звезды, которая находится ближе. Вот почему так сложно рассчитать расстояние до астрономических объектов.
В пространстве, заполненном звездами, звезды имеют диапазон яркости и некоторую среднюю яркость, показанную пунктирной синей линией. Однако более далекие и менее яркие звезды не будут видны. Эта самая низкая светимость, которую можно увидеть на заданном расстоянии, изображена красной кривой. Звезды ниже этой кривой не будут видны. Средняя светимость только тех звезд, которые будут видны, будет выше, что показано красной пунктирной линией. Обычно, глядя на область неба, заполненную звездами, можно увидеть только звезды ярче предельной видимой величины. Как обсуждалось выше, будут видны очень яркие звезды, которые находятся дальше, а также светящиеся и тусклые звезды, которые расположены ближе. Будет казаться, что на определенном расстоянии от Земли будет больше светящихся объектов, чем тусклых объектов. Однако тусклых звезд гораздо больше: их просто невозможно увидеть, потому что они такие тусклые. Смещение в сторону светящихся звезд при наблюдении за участком неба влияет на расчеты средней абсолютной звездной величины и среднего расстояния до группы звезд. Из-за того, что светящиеся звезды находятся на большем расстоянии, будет казаться, что наша выборка звезд находится дальше, чем есть на самом деле, и что каждая звезда по своей природе ярче, чем есть на самом деле. Этот эффект известен как предвзятость Мальмквиста.
При изучении выборки светящихся объектов, будь то звезды или галактики, важно скорректировать смещение в сторону более светящихся объектов. Существует множество различных методов, которые можно использовать для исправления смещения Мальмквиста, как описано ниже.
Смещение Мальмквиста не ограничивается светимостью. Это влияет на любую наблюдаемую величину, обнаруживаемость которой уменьшается с расстоянием.
Идеальная ситуация - избежать такой предвзятости при вводе опроса данных. Тем не менее, обследования с ограничением по величине являются самыми простыми для выполнения, а другие методы сложно объединить, поскольку они связаны с их собственными неопределенностями, и могут оказаться невозможными для первых наблюдений за объектами. Таким образом, существует множество различных методов, позволяющих исправить данные, устранить систематическую ошибку и сделать опрос пригодным для использования. Методы представлены в порядке возрастания сложности, а также повышения точности и эффективности.
Самый простой метод исправления - использовать только непредвзятые части набора данных, если они есть, и выбросить остальные данные. В зависимости от выбранной предельной звездной величины в наборе данных может быть диапазон расстояний, на котором можно увидеть все объекты любой возможной абсолютной величины. Таким образом, этот небольшой набор данных должен быть свободен от предвзятости Мальмквиста. Этого легко добиться, отсекая данные на краю того места, где объекты с наименьшей абсолютной звездной величиной будут достигать предельной звездной величины. К сожалению, этот метод приведет к потере большого количества хороших данных и ограничит анализ только близлежащими объектами, что сделает его менее желательным. (Глядя на рисунок справа, только первая пятая часть данных о расстоянии может быть сохранена до того, как точка данных будет потеряна из-за смещения.) Конечно, этот метод предполагает, что расстояния известны с относительно хорошей точностью, что, как уже упоминалось, раньше это сложный процесс в астрономии.
Первое решение, предложенное Мальмквистом в его работе 1922 года, состояло в том, чтобы исправить вычисленную среднюю абсолютную звездную величину () образца до истинной средней абсолютной звездной величины ( M 0). Исправление было бы
Чтобы вычислить поправку на смещение, Мальмквист и другие, следующие этому методу, следуют шести основным предположениям:
Очевидно, что это очень идеальная ситуация, при этом окончательное предположение вызывает особую озабоченность, но допускает приблизительное исправление простой формы. Путем интегрирования функции светимости по всем расстояниям и всем величинам ярче, чем m lim,
где A (m lim) - общее количество звезд ярче m lim. Если пространственное распределение звезд можно считать однородным, это соотношение упрощается еще больше, до общепринятой формы
Традиционный метод предполагает, что измерения видимой звездной величины и измерения, на которых определяется расстояние, относятся к одному и тому же диапазону или заранее заданному диапазону длин волн (например, диапазон H, диапазон длин волн инфракрасного излучения примерно от 1300 до 2000 нанометров ), и это приводит к форме коррекции cσ 2, где c - некоторая константа. К сожалению, это случается редко, поскольку многие образцы объектов выбираются из одного диапазона длин волн, а расстояние вычисляется из другого. Например, астрономы часто выбирают галактики из каталогов B-диапазона, которые являются наиболее полными, и используют эти величины в B-полосе, но расстояния для галактик рассчитываются с использованием соотношения Талли – Фишера и H-полосы. Когда это происходит, квадрат дисперсии заменяется ковариацией между разбросом в измерениях расстояния и свойством выбора галактики (например, величиной).
Другой довольно простой метод коррекции - использование взвешенного среднего для правильного учета относительных вкладов каждой величины. Поскольку объекты с разной абсолютной звездной величиной могут быть видны на разных расстояниях, вклад каждой точки в среднюю абсолютную звездную величину или в функцию светимости может быть взвешен как 1 / V max, где V max - максимальный объем, в котором объекты могут иметь был замечен. Более яркие объекты (то есть объекты с меньшими абсолютными величинами ) будут иметь больший объем, в котором они могли бы быть обнаружены, прежде чем они упадут ниже порогового значения, и, таким образом, им будет придан меньший вес с помощью этого метода, поскольку эти яркие объекты будут более полно дискретизированы.. Максимальный объем может быть аппроксимирован сферой с радиусом, определяемым по модулю расстояния, используя абсолютную величину объекта и предельную видимую величину.
Однако есть два основных затруднения при вычислении V max. Во-первых, это полнота области, покрытой небом, то есть процент неба, из которого были взяты объекты. Полный обзор неба собирал бы объекты со всей сферы, 4π стерадиан неба, но это обычно непрактично, как из-за временных, так и географических ограничений (наземные телескопы могут видеть только ограниченное количество неба из-за того, что Земля находится в способ). Вместо этого астрономы обычно смотрят на небольшой участок или участок неба, а затем делают выводы об универсальном распределении, предполагая, что пространство либо изотропно, что оно, как правило, одинаково во всех направлениях, либо следует известному распределению, например тому, что можно увидеть. больше звезд, если смотреть в сторону центра галактики, чем прямо в сторону. Как правило, громкость можно просто уменьшить на фактически просматриваемый процент, чтобы получить правильное соотношение количества объектов к объему. Этот эффект потенциально может быть проигнорирован в одной выборке, все из одного обзора, поскольку объекты в основном будут изменены одним и тем же числовым коэффициентом, но его невероятно важно учитывать, чтобы иметь возможность сравнивать разные исследования с различное покрытие неба.
Вторая сложность - это космологические проблемы красного смещения и расширяющейся Вселенной, которые необходимо учитывать при взгляде на далекие объекты. В этих случаях интерес представляет собой сопутствующее расстояние, которое представляет собой постоянное расстояние между двумя объектами, предполагая, что они удаляются друг от друга исключительно с расширением Вселенной, известным как поток Хаббла. Фактически, это сопутствующее расстояние является разделением объекта, если бы расширением Вселенной пренебречь, и его можно легко связать с фактическим расстоянием, учитывая, как оно расширилось бы. Сопутствующее расстояние может быть использовано для вычисления соответствующего объема сопровождающего как обычно, или соотношение между фактическими и сопровождающими объемами также может быть легко установлено. Если z - красное смещение объекта, относящееся к тому, насколько далеко излучаемый свет смещается в сторону более длинных волн в результате того, что объект удаляется от нас с универсальным расширением, D A и V A - это фактическое расстояние и объем (или то, что можно было бы измерить. сегодня), а D C и V C - сопутствующие расстояния и интересующие объемы, тогда
Большим недостатком метода объемного взвешивания является его чувствительность к крупномасштабным структурам или частям Вселенной с большим или меньшим количеством объектов, чем в среднем, например, звездным скоплением или пустотой. Наличие очень плотных или пониженных областей объектов вызовет предполагаемое изменение нашей средней абсолютной величины и функции светимости в соответствии со структурой. Это особая проблема слабых объектов при вычислении функции светимости, поскольку их меньший максимальный объем означает, что крупномасштабная структура в них будет иметь большое влияние. Более яркие объекты с большими максимальными объемами будут иметь тенденцию к усреднению и приближаться к правильному значению, несмотря на некоторые крупномасштабные структуры.
Существует много других методов, которые становятся все более сложными и эффективными в применении. Здесь кратко излагаются некоторые из наиболее распространенных, а более конкретная информация содержится в справочных материалах.
Этот метод основан на функциях распределения объектов (например, звезд или галактик), которые являются соотношением ожидаемого количества объектов с определенной внутренней яркостью, расстояниями или другими фундаментальными значениями. Каждое из этих значений имеет свою собственную функцию распределения, которую можно комбинировать с генератором случайных чисел для создания теоретической выборки звезд. Этот метод принимает функцию распределения расстояний, как известно, определенное количество, а затем позволяет функцию распределения из абсолютных величин изменить. Таким образом, он может проверить различные функции распределения из абсолютных величин от фактического распределения обнаруженных объектов, и найти связь, которая обеспечивает максимальную вероятность воссоздавать тот же набор объектов. Начиная с обнаруженного, смещенного распределения объектов и соответствующих пределов обнаружения, этот метод воссоздает истинную функцию распределения. Однако этот метод требует сложных вычислений и обычно полагается на компьютерные программы.
Пол Шехтер обнаружил очень интересную связь между логарифмом ширины спектральной линии и ее видимой величиной при работе с галактиками. В идеальном стационарном случае спектральные линии должны быть невероятно узкими выступами, похожими на линии, но движения объекта, такие как вращение или движение на нашем луче зрения, вызовут сдвиги и уширение этих линий. Это соотношение находится, исходя из соотношения Талли – Фишера, в котором расстояние до галактики связано с ее видимой величиной и шириной ее скорости, или «максимальной» скоростью ее кривой вращения. Исходя из макроскопического доплеровского уширения, логарифм ширины линии наблюдаемой спектральной линии может быть связан с шириной распределения скорости. Если предполагается, что расстояния хорошо известны, то абсолютная величина и ширина линии тесно связаны. Например, при работе с обычно используемой линией 21 см, важной линией, относящейся к нейтральному водороду, соотношение обычно калибруется с помощью линейной регрессии и задается формой
где P - log (ширина линии), а α и β - константы.
Причина, по которой эта оценка полезна, заключается в том, что на линию обратной регрессии фактически не влияет смещение Мальмквиста, если эффекты отбора основаны только на величине. Таким образом, ожидаемое значение P при заданном M будет несмещенным и даст несмещенную оценку расстояния бревна. У этого оценщика есть много свойств и разветвлений, которые могут сделать его очень полезным инструментом.
Расширенные версии традиционного исправления, упомянутого выше, можно найти в литературе, ограничивая или изменяя исходные предположения, чтобы удовлетворить соответствующие потребности автора. Часто эти другие методы предоставляют очень сложные математические выражения с очень мощными, но специфическими приложениями. Например, работа Luri et al. нашел соотношение для смещения звезд в галактике, которое связывает поправку с дисперсией выборки и видимой величиной, абсолютной величиной и высотой над галактическим диском. Это дало гораздо более точный и точный результат, но также требовало предположения о пространственном распределении звезд в искомой галактике. Хотя они полезны по отдельности и опубликовано множество примеров, они имеют очень ограниченную область применения и, как правило, не так широко применимы, как другие методы, упомянутые выше.
Пунктирная красная линия представляет собой пример функции яркости, когда смещение Мальмквиста не исправлено. Более многочисленные объекты с низкой светимостью представлены недостаточно из-за предела видимой звездной величины обзора. Сплошная синяя линия - это функция яркости, правильно скорректированная с использованием метода объемно-взвешенной коррекции. Каждый раз, когда используется ограниченная по величине выборка, следует использовать один из описанных выше методов для корректировки смещения Мальмквиста. Например, при попытке получить функцию светимости, откалибровать соотношение Талли – Фишера или получить значение постоянной Хаббла смещение Мальмквиста может сильно изменить результаты.
Функция светимости дает количество звезд или галактик на яркость или абсолютную величину. При использовании выборки с ограничением по величине количество слабых объектов недостаточно, как обсуждалось выше. Это сдвигает пик функции яркости от слабого к более яркому и изменяет форму функции яркости. Как правило, метод объемного взвешивания используется для корректировки смещения Мальмквиста, чтобы съемка была эквивалентна съемке с ограниченным расстоянием, а не съемке с ограничением по величине. На рисунке справа показаны две функции светимости для примера популяции звезд с ограниченной величиной. Пунктирная функция яркости показывает эффект смещения Мальмквиста, а сплошная линия показывает скорректированную функцию яркости. Смещение Мальмквиста резко меняет форму функции светимости.
Еще одно приложение, на которое влияет смещение Мальмквиста, - это соотношение Талли – Фишера, которое связывает светимость спиральных галактик с их соответствующей шириной скорости. Если соседнее скопление галактик используется для калибровки соотношения Талли – Фишера, а затем это соотношение применяется к далекому скоплению, расстояние до более далекого скопления будет систематически занижаться. Если недооценить расстояние до кластеров, все, что будет найдено с использованием этих кластеров, будет неверным; например, при нахождении значения постоянной Хаббла.
Это всего лишь несколько примеров, когда предвзятость Мальмквиста может сильно повлиять на результаты. Как упоминалось выше, всякий раз, когда используется выборка, ограниченная по величине, смещение Мальмквиста необходимо корректировать. Исправление не ограничивается приведенными выше примерами.
Некоторые альтернативы существуют, чтобы попытаться избежать предвзятости Мальмквиста или подойти к нему по-другому, некоторые из наиболее распространенных из них кратко изложены ниже.
Один из идеальных способов избежать предвзятости Мальмквиста - выбирать объекты только на заданном расстоянии и не иметь предельной величины, а вместо этого наблюдать за всеми объектами в этом объеме. Ясно, что в этом случае смещение Мальмквиста не является проблемой, поскольку объем будет полностью заполнен, и любая функция распределения или светимости будет соответствующим образом дискретизирована. К сожалению, этот метод не всегда практичен. Определение расстояний до астрономических объектов очень сложно, и даже с помощью объектов с легко определяемыми расстояниями, называемых стандартными свечами и тому подобными вещами, есть большая неопределенность. Кроме того, расстояния для объектов обычно не известны до тех пор, пока они уже не были обнаружены и проанализированы, поэтому съемка с ограничением расстояния обычно является только вариантом для второго раунда наблюдений и изначально недоступна. Наконец, съемка с ограниченным расстоянием обычно возможна только на небольших объемах, где расстояния надежно известны, и, таким образом, это нецелесообразно для больших съемок.
Этот метод снова пытается исправить предвзятость, но совсем другими способами. Вместо того, чтобы пытаться фиксировать абсолютные величины, этот метод принимает расстояния до объектов как случайные величины и пытается их масштабировать. Фактически, вместо того, чтобы давать звездам в выборке правильное распределение абсолютных величин (и средней абсолютной звездной величины ), он пытается «переместить» звезды так, чтобы они имели правильное распределение расстояний. В идеале это должно иметь тот же конечный результат, что и методы коррекции величины, и должен приводить к правильно представленной выборке. В однородном или неоднородном случае смещение определяется в терминах априорного распределения расстояний, оценки расстояния и функции правдоподобия этих двух, являющихся одним и тем же распределением. Однородный случай намного проще и изменяет масштаб исходных оценок расстояния на постоянный коэффициент. К сожалению, это будет очень нечувствительно к крупномасштабным структурам, таким как кластеризация, а также к эффектам наблюдательной селекции, и не даст очень точного результата. Неоднородный случай пытается исправить это, создавая более сложное априорное распределение объектов с учетом структур, видимых в наблюдаемом распределении. Однако в обоих случаях предполагается, что функция плотности вероятности является гауссовой с постоянной дисперсией и средним значением истинного среднего логарифмического расстояния, что далеко не точно. Однако этот метод обсуждается и может быть неточным в любой реализации из-за неопределенностей в вычислении необработанных, наблюдаемых оценок расстояния, из-за чего допущения об использовании этого метода недействительны.
Термин «предвзятость Мальмквиста» не всегда использовался окончательно для обозначения предвзятости, описанной выше. Совсем недавно, в 2000 году, смещение Мальмквиста появилось в литературе, явно относясь к различным типам смещения и статистическому эффекту. Наиболее распространенное из этих других применений - это ссылка на эффект, который имеет место с выборкой с ограниченной величиной, но в этом случае объекты с низкой абсолютной величиной представлены чрезмерно. В образце с пределом величины будет предел погрешности около этой границы, где объекты, которые должны быть достаточно яркими, чтобы сделать разрез, исключаются, а вместо этого включаются объекты, которые немного ниже предела. Поскольку объекты с низкой абсолютной звездной величиной встречаются чаще, чем более яркие, и поскольку эти более тусклые галактики с большей вероятностью будут находиться ниже линии отсечки и рассеяны вверх, а более яркие, скорее всего, будут выше линии и рассеяны вниз, чрезмерное представление объектов с меньшей светимостью. Однако в современной литературе и консенсусе предвзятость Мальмквиста относится к эффекту, описанному выше.
