Разложение Лоуи

При изучении дифференциальных уравнений разложение Лоуи разбивается на каждые линейные обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) на так называемые наибольшие полностью приводимые компоненты. Он был введен Альфредом Лоуи.

Решение дифференциальных уравнений - одно из самых важных подполей в математике. Особый интерес представляют решения в закрытой форме. Разбиение ОДУ на самые большие неприводимые компоненты сводит процесс решения исходного уравнения к решению неприводимых уравнений самого низкого возможного порядка. Эта процедура является алгоритмической, поэтому гарантируется наилучший ответ для решения приводимого уравнения. Подробное обсуждение можно найти в.

Результаты Лоуи были расширены до линейных дифференциальных уравнений в частных (PDE) с двумя независимыми переменными. Таким образом, стали доступны алгоритмические методы решения больших классов линейных pde.

• 1 Разложение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
• 2 Основные факты из дифференциальной алгебры
• 3 Разложение линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка на плоскости
• 4 Разложение линейных pde порядка выше 2
• 5 Ссылки

Пусть $D\; \equiv \; ddx\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\}$обозначает производная по переменная $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Дифференциальный оператор порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- это многочлен вида

$L\; \equiv \; D\; n\; +\; a\; 1\; D\; n\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; an\; -\; 1\; D\; +\; an\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; L\; \backslash \; Equiv\; D\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{1\}\; D\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n-1\}\; D\; +\; a\_\; \{n\}\}$

где коэффициенты $ai\; \{\; \backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$, $i\; =\; 1,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n\}$взяты из некоторого функционального поля, базового поля $L\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; L\}$. Обычно это поле рациональных функций в переменной $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, т.е. $ai\; \in \; Q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{\; Q\}\}\; (x)\}$. Если $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$является неопределенным с $dydx\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; neq\; 0\}$, $L\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; Ly\}$становится дифференциальным многочленом, а $L\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Ly\; =\; 0\}$является дифференциальным уравнением, соответствующим $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$.

Оператор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$называется сокращаемым, если он может быть представлен как произведение двух операторы $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\}$и $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\}$, оба порядка ниже $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. Затем пишут $L\; =\; L\; 1\; L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; L\_\; \{1\}\; L\_\; \{2\}\}$, т.е. сопоставление означает произведение оператора, оно определяется правилом $D\; ai\; =\; ai\; D\; +\; ai\; \prime \; \{\backslash \; displaystyle\; Da\_\; \{i\}\; =\; a\_\; \{i\}\; D\; +\; a\_\; \{i\}\; \text{'}\}$; $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\}$называется левым множитель $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\}$правый множитель. По умолчанию предполагается, что область коэффициентов факторов является базовым полем $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, возможно, расширенным некоторыми алгебраическими числами, например $Q\; ¯\; (x)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\}\; (x)\}$разрешено. Если оператор не допускает правого множителя, он называется неприводимым.

Для любых двух операторов $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\}$и $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\}$наименьшее общее левое кратное $L\; clm\; (L\; 1,\; L\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; Lclm\; (L\_\; \{1\},\; L\_\; \{2\})\}$- оператор самого низкого порядка, такой, что оба $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\}$и $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\}$делят его справа. Наибольший общий правый делитель $G\; crd\; (L\; 1,\; L\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; Gcrd\; (L\_\; \{1\},\; L\_\; \{2\})\}$- оператор высшего порядка, который делит оба $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\}$и $L\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{2\}\}$справа. Если оператор может быть представлен как $L\; c\; l\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; Lclm\}$неприводимых операторов, он называется полностью приводимым. По определению неприводимый оператор называется вполне приводимым.

Если оператор не является полностью сводимым, $L\; c\; l\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; Lclm\}$его неприводимых правых множителей разделяется, и та же процедура повторяется с частным. Из-за понижения порядка на каждом шаге эта процедура прекращается после конечного числа итераций и достигается желаемое разложение. На основании этих соображений Леви получил следующий фундаментальный результат.

Теорема 1 (Loewy 1906). Пусть $D\; =\; ddx\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\}$является производной и $ai\; \in \; Q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; (x)\}\}$. Дифференциальный оператор

$L\; \equiv \; D\; n\; +\; a\; 1\; D\; n\; -\; 1\; +\; \cdots \; +\; an\; -\; 1\; D\; +\; an\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; Equiv\; D\; ^\; \{n\}\; +\; a\_\; \{1\}\; D\; ^\; \{n-1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n-1\}\; D\; +\; a\_\; \{n\}\}$

порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$можно записать однозначно как произведение полностью сокращаемых множителей $L\; k\; (dk)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{k\}\; ^\; \{(d\_\; \{k\})\}\}$максимального порядка $dk\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{k\}\}$сверх $Q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x)\}$в форме

$L\; =\; L\; m\; (dm)\; L\; m\; -\; 1\; (dm\; -\; 1)\dots \; L\; 1\; (d\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; L\_\; \{m\}\; ^\; \{(d\_\; \{m\})\}\; L\_\; \{m-1\}\; ^\; \{(d\_\; \{m-1\})\}\; \backslash \; ldots\; L\_\; \{1\}\; ^\; \{(\; d\_\; \{1\})\}\}$

с $d\; 1\; +\dots \; +\; dm\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; d\_\; \{m\}\; =\; n\}$. Факторы $L\; k\; (d\; k)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{k\}\; ^\; \{(d\_\; \{k\})\}\}$уникальны. Любой множитель $L\; k\; (dk)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{k\}\; ^\; \{(d\_\; \{k\})\}\}$, $k\; =\; 1,\dots ,\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; m\}$можно записать как

$L\; k\; (dk)\; =\; L\; clm\; (lj\; 1\; (e\; 1),\; lj\; 2\; (e\; 2),\dots ,\; ljk\; (ek))\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{k\}\; ^\; \{(d\_\; \{k\})\}\; =\; Lclm\; (l\_\; \{j\_\; \{1\}\}\; ^\; \{(e\_\; \{1\})\},\; l\_\; \{j\_\; \{2\}\}\; ^\; \{(e\_\; \{2\})\},\; \backslash \; ldots,\; l\_\; \{\; j\_\; \{k\}\}\; ^\; \{(e\_\; \{k\})\})\}$

с $e\; 1\; +\; e\; 2\; +\dots \; +\; ek\; =\; dk\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{1\}\; +\; e\_\; \{2\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; e\_\; \{k\}\; =\; d\_\; \{k\}\}$; $lji\; (ei)\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{j\_\; \{i\}\}\; ^\; \{(e\_\; \{i\})\}\}$для $i\; =\; 1,\dots ,\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; k\}$, обозначает неприводимый оператор порядка $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\}$over $Q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x)\}$.

Разложение, определенное в этой теореме, называется разложением Лоуи $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$. Он предоставляет подробное описание функционального пространства, содержащего решение приводимого линейного дифференциального уравнения $L\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Ly\; =\; 0\}$.

Для операторов фиксированного порядка возможные разложения Лоуи, различающиеся числом и порядок факторов может быть указан явно; некоторые факторы могут содержать параметры. Каждая альтернатива называется разновидностью разложения Лоуи. Полный ответ для $n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\}$подробно описан в следующем следствии приведенной выше теоремы.

Следствие 1 Пусть $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$быть оператором второго порядка. Его возможные разложения Леви обозначаются $L\; 0\; 2,\dots \; L\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\},\; \backslash \; ldots\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}$, их можно описать следующим образом; $l\; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; ^\; \{(i)\}\}$и $lj\; (i)\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{j\}\; ^\; \{(i)\}\}$- неприводимые операторы порядка $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$; $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$- константа.

$L\; 1\; 2:\; L\; =\; l\; 2\; (1)\; l\; 1\; (1);\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}:\; L\; =\; l\_\; \{2\}\; ^\; \{(1)\}\; l\_\; \{1\}\; ^\; \{(1)\};\}$

$L\; 2\; 2:\; L\; =\; L\; clm\; (l\; 2\; (1),\; l\; 1\; (1));\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}:\; L\; =\; Lclm\; (l\_\; \{2\}\; ^\; \{(1)\},\; l\_\; \{1\}\; ^\; \{(1)\});\}$

$L\; 3\; 2:\; L\; =\; L\; clm\; (l\; (1)\; (C)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}:\; L\; =\; Lclm\; (l\; ^\; \{(1)\}\; (C)).\}$

Тип разложения оператора - разложение $L\; я\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}$с наивысшим значением $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$. Неприводимый оператор второго порядка определяется как имеющий тип разложения $L\; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}$.

Разложения $L\; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}$, $L\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}$и $L\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}$полностью сводимы.

Если разложение типа $L\; i\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\}$, $i\; =\; 1,\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,\; 2\}$или $3\; \{\backslash \; displaystyle\; 3\}$было получено для уравнения второго порядка $L\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Ly\; =\; 0\}$, фундаментальная система может быть указана явно.

Следствие 2 Пусть $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$будет дифференциальным оператором второго порядка, $D\; \equiv \; ddx\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\}$, $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$неопределенный дифференциал и $ai\; \in \; Q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x)\}$. Определим $\epsilon \; я\; (Икс)\; \equiv \; ехр\; \; (-\; \int \; aidx)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\}\; (x)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; exp\; \{(-\; \backslash \; int\; a\_\; \{i\}\; dx)\}\}$для $я\; =\; 1,\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,2\}$и $\epsilon \; (x,\; C)\; \equiv \; exp\; \; (-\; \int \; a\; (C)\; dx)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (x,\; C)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; exp\; \{(-\; \backslash \; int\; a\; (C)\; dx)\}\}$, $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$- параметр; запрещенные количества $C\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{C\}\}\}$и $C\; ¯\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; bar\; \{C\}\}\}\}$- произвольные числа, $C\; ¯\; \ne \; C\; ¯\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{C\}\}\; \backslash \; neq\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; bar\; \{C\}\}\}\}$. Для трех нетривиальных разложений следствия 1 следующие элементы $y\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{1\}\}$и $y\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{2\}\}$фундаментальной системы.

$L\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\}$: $L\; y\; =\; (D\; +\; a\; 2)\; (D\; +\; a\; 1)\; y\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Ly\; Знак\; равно\; (D\; +\; a\_\; \{2\})\; (D\; +\; a\_\; \{1\})\; y\; =\; 0\}$;

$y\; 1\; =\; \epsilon \; 1\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{1\}\; (x),\}$

$y\; 2\; =\; \epsilon \; 1\; (x)\; \int \; \epsilon \; 2\; (x)\; \epsilon \; 1\; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{1\}\; (x)\; \backslash \; int\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{2\}\; (x)\}\; \{\backslash \; varepsilon\; \_\; \{1\}\; (x)\}\}\; \backslash ,\; dx.\}$

$L\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}$: $L\; y\; =\; L\; clm\; (D\; +\; a\; 2,\; D\; +\; a\; 1)\; y\; =\; 0;\; \{\backslash \; Displaystyle\; Ly\; =\; Lclm\; (D\; +\; a\_\; \{2\},\; D\; +\; a\_\; \{1\})\; y\; =\; 0;\}$

$y\; i\; =\; \epsilon \; i\; (x);\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{i\}\; (x);\}$

$a\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\}$не эквивалентно $a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\}\}$.

$L\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}$: $L\; y\; =\; L\; clm\; (D\; +\; a\; (C))\; y\; =\; 0;\; \{\backslash \; displaystyle\; Ly\; =\; Lclm\; (D\; +\; a\; (C))\; y\; =\; 0;\}$

$y\; 1\; =\; \epsilon \; (x,\; C\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; (x,\; \{\backslash \; bar\; \{C)\; \}\})\}$

$y\; 2\; =\; \epsilon \; (x,\; C\; ¯\; ¯).\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; (x,\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; bar\; \{C\}\}\}).\}$

Здесь две рациональные функции $p,\; q\; \in \; Q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; p,\; q\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x)\}$называются эквивалентными, если существует другая рациональная функция $r\; \in \; Q\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\; \}\; (x)\}$такой, что

$p\; -\; q\; =\; r\; \prime \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; pq\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\; \text{'}\}\; \{r\}\}\}$.

Остается вопрос, как получить факторизация для данного уравнения или оператора. Оказывается, для нахождения линейной оды факторы сводятся к нахождению рациональных решений уравнений Риккати или линейных од; оба могут быть определены алгоритмически. Два приведенных ниже примера показывают, как применяется приведенное выше следствие.

Пример 1 Уравнение 2.201 из коллекции Камке. имеет $L\; 2\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}$разложение

$y\; ″\; +\; (2\; +\; 1\; x)\; y\; \prime \; -\; 4\; Икс\; 2\; Y\; знак\; равно\; L\; clm\; (D\; +\; 2\; x\; -\; 2\; x\; -\; 2\; x\; 2\; -\; 2\; x\; +\; 3\; 2,\; D\; +\; 2\; +\; 2\; x\; -\; 1\; x\; +\; 3\; 2)\; y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; (\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\})\; y\; \text{'}-\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; y\; =\; Lclm\; \{\backslash \; Big\; (\}\; D\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2x-2\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; -2x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}\},\; D\; +\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; y\; =\; 0.\}$

Коэффициенты $a\; 1\; =\; 2\; +\; 2\; x\; -\; 1\; x\; +\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{\; 1\}\; =\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}\}\}$и $a\; 2\; =\; 2\; x\; -\; 2\; x\; -\; 2\; x\; 2\; -\; 2\; x\; +\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2x-2\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; -2x\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\}\}\}\}$- рациональные решения уравнения Риккати $a\; \prime \; -\; a\; 2\; +\; (2\; +\; 1\; x)\; +\; 4\; x\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\text{'}-a\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; big\; (\}\; 2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0\}$, они дают фундаментальную систему

$y\; 1\; =\; 2\; 3\; -\; 4\; 3\; x\; +\; 1\; x\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{3\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\},\}$

$y\; 2\; =\; 2\; x\; +\; 3\; x\; 2\; e\; -\; 2\; х.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; 2x\}.\}$

Пример 2 An уравнение с типом $L\; 3\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{3\}\; ^\; \{2\}\}$разложение:

$y\; ″\; -\; 6\; x\; 2\; y\; =\; L\; clm\; (D\; +\; 2\; x\; -\; 5\; x\; 4\; x\; 5\; +\; C)\; y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \text{'}\text{'}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{6\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; y\; =\; Lclm\; \{\backslash \; big\; (\}\; D\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{5x\; ^\; \{4\}\}\; \{x\; ^\; \{5\}\; +\; C\}\}\; \{\backslash \; big)\}\; y\; =\; 0.\}$

Коэффициент множителя первого порядка является рациональным решением $a\; \prime \; -\; a\; 2\; +\; 6\; x\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\text{'}-a\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{6\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; 0\}$. После интеграции фундаментальная система $y\; 1\; =\; x\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{1\}\; =\; x\; ^\; \{3\}\}$и $y\; 2\; =\; 1\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{2\}\}\}\}$для $C\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; =\; 0\}$и $C\; \to \; \infty \; \{\; \backslash \; displaystyle\; C\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}$соответственно получается.

Эти результаты показывают, что факторизация обеспечивает алгоритмическую схему для решения приводимых линейных од. Всякий раз, когда уравнение порядка 2 факторизуется в соответствии с одним из типов, определенных выше, элементы фундаментальной системы явно известны, то есть факторизация эквивалентна ее решению.

Подобная схема может быть создана для линейных од любого порядка, хотя количество альтернатив значительно увеличивается с порядком; для порядка $n\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 3\}$подробный ответ дается в.

Если уравнение неприводимо, может оказаться, что его группа Галуа нетривиальна, то могут существовать алгебраические решения. Если группа Галуа тривиальна, можно выразить решения в терминах специальной функции, например, Функции Бесселя или Лежандра см. Или.

Чтобы обобщить результат Лоуи на линейные pde, необходимо применить более общую установку дифференциальной алгебры. Поэтому ниже приведены несколько основных понятий, которые необходимы для этой цели.

Поле $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$называется дифференциальным полем, если оно оснащено оператором вывода. Оператор $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$в поле $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$называется оператором вывода, если $\delta \; (a\; +\; b)\; знак\; равно\; \delta \; (a)\; +\; \delta \; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (a\; +\; b)\; =\; \backslash \; delta\; (a)\; +\; \backslash \; delta\; (b)\}$и $\delta \; (ab)\; знак\; равно\; \delta \; (a)\; b\; +\; a\; \delta \; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (ab)\; =\; \backslash \; delta\; (a)\; b\; +\; a\; \backslash \; delta\; (b)\}$для всех элементов $a,\; b\; \in \; F\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\}$. Поле с одним оператором вывода называется обыкновенным дифференциальным полем; если существует конечное множество, содержащее несколько коммутирующих операторов вывода, поле называется полем в частных производных.

Здесь дифференциальные операторы с производными $\partial \; x\; =\; \partial \; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\}$и $\partial \; y\; =\; \partial \; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\}$с коэффициентами из некоторого дифференциального поля. Его элементы имеют вид $\sum \; i,\; jri,\; j\; (x,\; y)\; \partial \; xi\; \partial \; yj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i,\; j\}\; r\_\; \{i,\; j\}\; (x,\; y)\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\; \}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; ^\; \{j\}\}$; почти все коэффициенты $r\; i,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{i,\; j\}\}$равны нулю. Поле коэффициентов называется базовым полем. Если конструктивные и алгоритмические методы являются основной проблемой, то это $Q\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x,\; y)\}$. Соответствующее кольцо дифференциальных операторов обозначается $D\; =\; Q\; (x,\; y)\; [\partial \; x,\; \partial \; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; =\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x,\; y)\; [\backslash \; partial\; \_\; \{x\},\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}]\}$или $D\; =\; F\; [\partial \; x,\; \partial \; y]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; [\backslash \; partial\; \_\; \{x\},\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}]\}$. Кольцо $D\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\}$некоммутативно, $\partial \; xa\; =\; a\; \partial \; x\; +\; \partial \; a\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\; \}\; a\; =\; a\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; a\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\}$и аналогично для других переменных; $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$взято из базового поля.

Для оператора $L\; =\; \sum \; я\; +\; j\; \le \; nri,\; j\; (x,\; y)\; \partial \; xi\; \partial \; yj\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; +\; j\; \backslash \; leq\; n\}\; r\_\; \{i,\; j\}\; (x,\; y)\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; ^\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; ^\; \{j\}\}$порядка $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$символ L - однородный алгебраический многочлен $symb\; (L)\; \equiv \; \sum \; i\; +\; j\; =\; nri,\; j\; (x,\; y)\; X\; i\; Y\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; symb\; (L)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; +\; j\; =\; n\}\; r\_\; \{i,\; j\}\; (x,\; y)\; X\; ^\; \{i\}\; Y\; ^\; \{j\}\}$где $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\}$алгебраические неопределенности.

Пусть $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$будет левым идеалом, который порождается $li\; \in \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\; \}\}\}$, $i\; =\; 1,\dots ,\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; p\}$. Затем пишут $I\; =\; ⟨l\; 1,\dots ,\; l\; p⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; langle\; l\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; l\_\; \{p\}\; \backslash \; rangle\}$. Поскольку правильные идеалы здесь не рассматриваются, иногда $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$просто называют идеалом.

Связь между левыми идеалами в $D\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\}$и системами линейных pde устанавливается следующим образом. Элементы $li\; \in \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\}$применяются к одному дифференциальному неопределенному $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$. Таким образом, идеал $I\; =\; ⟨l\; 1,\; l\; 2,\dots ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \backslash \; langle\; l\_\; \{1\},\; l\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots\; \backslash \; rangle\}$соответствует система pde $l\; 1\; z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{1\}\; z\; =\; 0\}$, $l\; 2\; z\; =\; 0,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{2\}\; z\; =\; 0,\; \backslash \; ldots\}$для единственной функции $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$.

Генераторы идеала в высшей степени неуникальны; его члены могут быть преобразованы бесконечно многими способами, взяв их линейные комбинации или их производные без изменения идеала. Поэтому М. Джанет ввел нормальную форму для систем линейных pde (см. базис Жане ). Они являются дифференциальным аналогом базисов Грёбнера в коммутативной алгебре (которые первоначально были введены Бруно Бухбергером ); поэтому их также иногда называют дифференциальным базисом Грёбнера.

Для создания основы Джанет необходимо определить ранжирование производных финансовых инструментов. Это полный порядок, такой, что для любых производных $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$, $\delta \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\}$и $\delta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\}\}$, и любой оператор вывода $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$отношения $\delta \; ⪯\; \theta \; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \backslash \; prevq\; \backslash \; theta\; \backslash \; delta\}$и $\delta \; 1\; ⪯\; \delta \; 2\; \to \; \delta \; \delta \; 1\; ⪯\; \delta \; \delta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; prevq\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; delta\; \backslash \; delta\; \_\; \{1\}\; \backslash \; prevq\; \backslash \; delta\; \backslash \; delta\; \_\; \{2\}\}$действительны. Здесь применяется градуированный лексикографический порядок терминов $g\; r\; l\; e\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; grlex\}$. Для частных производных одной функции их определение аналогично мономиальным порядкам в коммутативной алгебре. S-пары в коммутативной алгебре соответствуют условиям интегрируемости.

Если есть уверенность, что образующие $l\; 1,\dots ,\; lp\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; l\_\; \{p\}\}$идеального $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$образуют основу Джанет: $I\; =\; ⟨⟨l\; 1,\dots ,\; lp⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \{\{\backslash \; big\; \backslash \; langle\}\; \{\backslash \; big\; \backslash \; langle\}\; \}\}\; l\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; l\_\; \{p\}\; \{\{\backslash \; big\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; big\; \backslash \; rangle\}\}\}$применяется.

Пример 3 Рассмотрим идеал

$I\; =\; ⟨l\; 1\; \equiv \; \partial \; xx\; -\; 1\; x\; \partial \; x\; -\; yx\; (x\; +\; y)\; \partial \; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \{\backslash \; Big\; \backslash \; langle\}\; l\_\; \{\; 1\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{xx\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\; (x\; +\; y)\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\},\; \}$

$l\; 2\; \equiv \; \partial \; xy\; +\; 1\; x\; +\; y\; \partial \; y,\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{xy\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; +\; y\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\; \},\}$$l\; 3\; \equiv \; \partial \; yy\; +\; 1\; x\; +\; y\; \partial \; y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{3\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{yy\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; +\; y\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; \{\backslash \; Big\; \backslash \; rangle\}\}$

в $grlex\; \{\backslash \; displaystyle\; grlex\}$временной порядок с $x\; \succ \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; succ\; y\}$. Его генераторы автовосстановлены. Если условие интегрируемости

$l\; 1,\; y\; =\; l\; 2,\; x\; -\; l\; 2,\; y\; =\; y\; +\; 2\; xx\; (x\; +\; y)\; \partial \; xy\; +\; yx\; (x\; +\; y)\; \partial \; yy\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{1,\; y\; \}\; =\; l\_\; \{2,\; x\}\; -l\_\; \{2,\; y\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\; +\; 2x\}\; \{x\; (x\; +\; y)\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{xy\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\; (x\; +\; y)\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{yy\}\}$

сокращается относительно на $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$получается новый генератор $\partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\}$. Добавляя его к генераторам и выполняя все возможные редукции, данный идеал представляется как $I\; =\; ⟨⟨\partial \; xx\; -\; 1\; x\; \partial \; x,\; \partial \; y⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; \{\{\backslash \; Big\; \backslash \; langle\}\; \{\backslash \; Большой\; \backslash \; langle\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{xx\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\},\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; \{\{\backslash \; Big\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; Big\; \backslash \; rangle\}\}\}$. Его генераторы авторедуцируются и выполняется единственное условие интегрируемости, т. Е. Они образуют базис Жане.

Для любого идеала $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$может оказаться, что он должным образом содержится в некотором более широком идеале $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$с коэффициентами в базовом поле $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$; тогда $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$называется делителем $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$. Вообще говоря, дивизор в кольце дифференциальных операторов в частных производных может не быть главным.

Наибольший общий правый делитель (Gcrd) или сумма двух идеалов $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$и $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$- это наименьший идеал, обладающий тем свойством, что в нем содержатся как $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, так и $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$. Если у них есть представление $I\; \equiv \; ⟨f\; 1,\dots ,\; fp⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; langle\; f\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{p\}\; \backslash \; rangle\}$и $J\; \equiv \; ⟨g\; 1,\dots ,\; gq⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; langle\; g\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; g\_\; \{q\}\; \backslash \; rangle,\}$$fi\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\}$, $gj\; \in \; D\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{j\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathcal\; \{D\}\}\}$для всех $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$и $j\; \{\; \backslash \; displaystyle\; j\}$, сумма генерируется объединением генераторов $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$и $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$. Пространство решений уравнений, соответствующих $G\; c\; r\; d\; (I,\; J)\; \{\backslash \; displaystyle\; Gcrd\; (I,\; J)\}$, является пересечением пространств решений его аргументов.

Наименьшее общее левое кратное (Lclm) или левое пересечение двух идеалов $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$и $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$- наибольший идеал со свойством, что он содержится как в $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, так и в $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$. Пространство решений $L\; c\; l\; m\; (I,\; J)\; z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Lclm\; (I,\; J)\; z\; =\; 0\}$- это наименьшее пространство, содержащее пространства решений его аргументов.

Особым видом делителя является так называемый делитель Лапласа заданного оператора $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, стр. 34. Он определяется следующим образом.

Определение Пусть $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$будет оператором в частных производных на плоскости; определить

$лм\; \equiv \; \partial \; xm\; +\; am\; -\; 1\; \partial \; xm\; -\; 1\; +\dots \; +\; a\; 1\; \partial \; x\; +\; a\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{l\}\}\; \_\; \{m\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\; ^\; \{m\; \}\}\; +\; a\_\; \{m-1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\; ^\; \{m-1\}\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; a\_\; \{1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; a\_\; \{0\}\}$и

$kn\; \equiv \; \partial \; yn\; +\; bn\; -\; 1\; \partial \; yn\; -\; 1\; +\dots \; +\; b\; 1\; \partial \; y\; +\; b\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{k\}\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\; ^\; \{n\}\}\; +\; b\_\; \{n-1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\; ^\; \{n-1\}\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; b\_\; \{1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; b\_\; \{0\}\}$

быть обыкновенными дифференциальными операторами относительно $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$или $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$; $ai,\; bi\; \in \; Q\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\},\; b\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x,\; y)\}$для всех i; $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- натуральные числа не менее 2. Предположим, что коэффициенты $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$, $i\; =\; 0,\dots ,\; m\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 0,\; \backslash \; ldots,\; m-1\}$таковы, что $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$и $lm\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{l\}\}\; \_\; \{m\}\}$образуют основу Джанет. Если $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$- наименьшее целое число с этим свойством, то $L\; xm\; (L)\; \equiv \; ⟨⟨L,\; lm⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{L\}\}\; \_\; \{x\; ^\; \{m\}\}\; (L)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; langle\; \backslash \; langle\}\; L,\; \{\backslash \; mathfrak\; \{l\}\}\; \_\; \{m\}\; \{\backslash \; rangle\; \backslash \; rangle\}\}$называется делителем Лапласа из $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$. Аналогично, если $bj\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{j\}\}$, $j\; =\; 0,\dots ,\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; =\; 0,\; \backslash \; ldots,\; n-1\}$таковы, что $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$и $kn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{k\}\}\; \_\; \{n\}\}$образуют базис Джанет и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$минимально, тогда $L\; yn\; (L)\; \equiv \; ⟨⟨L,\; kn⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{L\}\}\; \_\; \{y\; ^\; \{n\}\}\; (\; L)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; langle\; \backslash \; langle\}\; L,\; \{\backslash \; mathfrak\; \{k\}\}\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; rangle\; \backslash \; rangle\}\}$также называется делителем Лапласа $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$.

Для существования делителя Лапласа коэффициенты оператора $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$должны подчиняться определенным ограничениям. Алгоритм определения верхней границы для делителя Лапласа в настоящее время неизвестен, поэтому в общем случае существование делителя Лапласа может быть неразрешимым

Применяя вышеупомянутые концепции, теорию Лоуи можно обобщить на линейные pde. Здесь он применяется к отдельным линейным pde второго порядка на плоскости с координатами $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$, а главные идеалы, порожденные соответствующими операторами.

Уравнения второго порядка широко рассматривались в литературе XIX века. Обычно выделяют уравнения со старшими производными $\partial \; xx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{xx\}\}$или $\partial \; xy\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{xy\}\}$. Их общие решения содержат не только константы, но и неопределенные функции переменного числа аргументов; их определение является частью процедуры решения. Для уравнений с ведущей производной $\partial \; x\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{xx\}\}$результаты Лоуи можно обобщить следующим образом.

Теорема 2 Пусть дифференциальный оператор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$определяется как

$L\; \equiv \; \partial \; xx\; +\; A\; 1\; \partial \; xy\; +\; A\; 2\; \partial \; yy\; +\; A\; 3\; \partial \; Икс\; +\; A\; 4\; \partial \; Y\; +\; A\; 5\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{xx\}\; +\; A\_\; \{1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{xy\}\; +\; A\_\; \{2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{yy\}\; +\; A\_\; \{3\}\; \backslash \; частичный\; \_\; \{x\}\; +\; A\_\; \{4\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; A\_\; \{5\}\}$где $A\; i\; \in \; Q\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x,\; y)\}$для всех $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$.

Пусть $li\; \equiv \; \partial \; x\; +\; ai\; \partial \; y\; +\; bi\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{i\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; b\_\; \{i\}\}$для $i\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1\}$и $я\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 2\}$и $l\; (\Phi )\; \equiv \; \partial \; x\; +\; a\; \partial \; y\; +\; b\; (\Phi )\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; (\backslash \; Phi)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; a\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; b\; (\backslash \; Phi)\}$- операторы первого порядка с $ai,\; bi,\; a\; \in \; Q\; (\; x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\},\; b\_\; \{i\},\; a\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x,\; y)\}$; $\Phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\}$равно неопределенная функция одного аргумента. Тогда $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$имеет разложение Леви согласно одному из следующих типов.

$L\; x\; x\; 1:\; L\; =\; l\; 2\; l\; 1;\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xx\}\; ^\; \{1\}:\; L\; =\; l\_\; \{2\}\; l\_\; \{1\};\}$$L\; x\; x\; 2:\; L\; =\; L\; c\; l\; m\; (l\; 2,\; l\; 1);\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xx\}\; ^\; \{2\}:\; L\; =\; Lclm\; (l\_\; \{2\},\; l\_\; \{1\});\}$$L\; xx\; 3:\; L\; =\; L\; clm\; (l\; (\Phi )).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xx\}\; ^\; \{3\}:\; L\; =\; Lclm\; (l\; (\backslash \; Phi)).\}$

Тип разложения оператора $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$- это разложение $L\; xxi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xx\}\; ^\; \{i\}\}$с наивысшим значением $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$. Если $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$не имеет множителей первого порядка в базовом поле, его тип разложения определяется как $L\; xx\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\; \}\}\; \_\; \{xx\}\; ^\; \{0\}\}$. Разложения $L\; xx\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xx\}\; ^\; \{0\}\}$, $L\; xx\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xx\}\; ^\; \{2\}\; \}$и $L\; xx\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xx\}\; ^\; \{3\}\}$полностью сокращаются.

Чтобы применить этот результат для решения любого данного дифференциального уравнения, включающего оператор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, возникает вопрос, можно ли алгоритмически определить его факторы первого порядка. Последующее следствие дает ответ для факторов с коэффициентами либо в базовом поле, либо в универсальном расширении поля.

Следствие 3 В общем случае правые множители первого порядка линейного pde в базовом поле не могут быть определены алгоритмически. Если символьный полином является отделимым, может быть определен любой коэффициент. Если он имеет двойной корень, в общем случае невозможно определить правильные коэффициенты в базовом поле. Всегда можно решить вопрос о существовании факторов в универсальном поле, т.е. об абсолютной несводимости.

Вышеупомянутая теорема может быть применена для решения приводимых уравнений в замкнутой форме. Поскольку используются только главные делители, ответ аналогичен ответу для обычных уравнений второго порядка.

Утверждение 1 Пусть приводимое уравнение второго порядка

$L\; z\; \equiv \; zxx\; +\; A\; 1\; zxy\; +\; A\; 2\; zyy\; +\; A\; 3\; zx\; +\; A\; 4\; zy\; +\; A\; 5\; z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Lz\; \backslash \; Equiv\; z\_\; \{xx\}\; +\; A\_\; \{1\}\; z\_\; \{xy\}\; +\; A\_\; \{2\}\; z\_\; \{yy\}\; +\; A\_\; \{3\}\; z\_\; \{x\}\; +\; A\_\; \{4\}\; z\_\; \{y\}\; +\; A\_\; \{5\}\; z\; =\; 0\}$где $A\; 1,\dots ,\; A\; 5\; \in \; Q\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; A\_\; \{5\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x,\; y)\}$.

Определить $li\; \equiv \; \partial \; x\; +\; ai\; \partial \; y\; +\; bi\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{i\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; a\_\; \{i\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; b\_\; \{i\; \}\}$, $ai,\; bi\; \in \; Q\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\},\; b\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x,\; y)\}$для $я\; знак\; равно\; 1,\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; я\; =\; 1,2\}$; $\phi \; я\; (х,\; y)\; =\; const\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{я\}\; (х,\; y)\; =\; const\}$- рациональный первый интеграл от $dydx\; =\; ai\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; a\_\; \{i\}\; (x,\; y)\}$; $y\; ¯\; \equiv \; \phi \; i\; (Икс,\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (x,\; y)\}$и обратное $y\; =\; \psi \; i\; (x,\; y\; ¯)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\; (x,\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\})\}$; Предполагается, что существуют оба $\phi \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\}$и $\psi \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\}$. Кроме того, определим

$E\; i\; (x,\; y)\; \equiv \; exp\; \; (-\; \int \; b\; i\; (x,\; y)\; |\; y\; =\; \psi \; i\; (x,\; y\; ¯)\; d\; x)\; |\; Y\; ¯\; знак\; равно\; \phi \; я\; (Икс,\; Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{я\}\; (х,\; у)\; \backslash \; эквив\; \backslash \; ехр\; \{\backslash \; Big\; (\}\; -\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\}\; b\_\; \{я\}\; (\; x,\; y)\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{y\; =\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\; (x,\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\})\}\; dx\; \{\backslash \; Big)\}\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \_\; \{\{\backslash \; bar\; \{y\}\; \}\; =\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (x,\; y)\}\}$для $i\; =\; 1,\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,2\}$.

Основная дифференциальная система имеет следующую структуру для различных разложений на компоненты первого порядка.

$L\; xx\; 1:\; z\; 1\; (x,\; y)\; =\; E\; 1\; (x,\; y)\; F\; 1\; (\phi \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xx\}\; ^\; \{1\}:\; z\_\; \{1\; \}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{1\}\; (x,\; y)\; F\_\; \{1\}\; (\backslash \; varphi\; \_\; \{1\})\}$, $z\; 2\; (x,\; y)\; =\; E\; 1\; (\; x,\; y)\; \int \; E\; 2\; (x,\; y)\; E\; 1\; (x,\; y)\; F\; 2\; (\phi \; 2\; (x,\; y))\; |\; y\; =\; \psi \; 1\; (x,\; y\; ¯)\; d\; x\; |\; y\; ¯\; =\; \phi \; 1\; (x,\; y);\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{2\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{1\}\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\}\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{2\}\; (x,\; y)\}\; \{\{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{1\}\; (x,\; y)\}\}\; F\_\; \{2\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\}\; (x,\; y)\; \{\backslash \; big)\}\; \{\backslash \; big\; |\}\; \_\; \{y\; =\; \backslash \; psi\; \_\; \{1\}\; (x,\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\})\}\; dx\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \_\; \{\{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; =\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; (\; x,\; y)\};\}$

$L\; xx\; 2:\; zi\; (x,\; y)\; =\; E\; i\; (x,\; y)\; F\; i\; (\phi \; i\; (x,\; y)),\; i\; =\; 1,\; 2;\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xx\}\; ^\; \{2\}:\; z\_\; \{i\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{i\}\; (x,\; y)\; F\_\; \{i\}\; \{\; \backslash \; big\; (\}\; \backslash \; varphi\; \_\; \{i\}\; (x,\; y)\; \{\backslash \; big)\},\; i\; =\; 1,2;\}$

$L\; xx\; 3:\; zi\; (x,\; y)\; =\; E\; i\; (x,\; y)\; F\; я\; (\phi \; (х,\; y)),\; я\; знак\; равно\; 1,\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xx\}\; ^\; \{3\}:\; z\_\; \{i\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\; \}\}\; \_\; \{i\}\; (x,\; y)\; F\_\; \{i\}\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; varphi\; (x,\; y)\; \{\backslash \; big)\},\; i\; =\; 1,2.\}$

$F\; i\; \{\; \backslash \; displaystyle\; F\_\; \{i\}\}$- неопределенные функции одного аргумента; $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$, $\phi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\}$и $\phi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\}\}$рациональны по всем аргументам; $\psi \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{1\}\}$предполагается. Обычно $\phi \; 1\; \ne \; \phi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\}\}$, они определяются коэффициентами $A\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\}\}$, $A\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{2\}\}$и $A\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{3\}\}$данного уравнения.

Типичным примером линейного pde, в котором применяется факторизация, является уравнение, которое обсуждалось Forsyth, vol. VI, page 16,

Пример 5 (Forsyth 1906)} Рассмотрим дифференциальное уравнение $zxx\; -\; zyy\; +\; 4\; x\; +\; yzx\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{xx\}\; -z\_\; \{yy\}\; +\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{4\}\; \{x\; +\; y\}\}\; z\_\; \{x\}\; =\; 0\}$. После факторизации представление

$L\; z\; \equiv \; l\; 2\; l\; 1\; z\; =\; (\partial \; x\; +\; \partial \; y\; +\; 2\; x\; +\; y)\; (\partial \; x\; -\; \partial \; y\; +\; 2\; x\; +\; y)\; z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Lz\; \backslash \; Equiv\; l\_\; \{2\}\; l\_\; \{1\}\; z\; =\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\; +\; y\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; -\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\; +\; y\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; z\; =\; 0\}$получается. Отсюда следует

$\phi \; 1\; (x,\; y)\; =\; x\; +\; y,\; \psi \; 1\; (x,\; y)\; =\; y\; ¯\; -\; x,\; E\; 1\; (x,\; y)\; =\; exp\; \; (2\; yx\; +\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{1\}\; (x,\; y)\; =\; x\; +\; y,\; \backslash \; psi\; \_\; \{1\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; -\; x,\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{1\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; exp\; \{\{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{2y\}\; \{x\; +\; y\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\}\}$,

$\phi \; 2\; (x,\; y)\; =\; x\; -\; y,\; \psi \; 2\; (x,\; y)\; =\; x\; -\; y\; ¯,\; E\; 2\; (x,\; y)\; =\; -\; 1\; x\; +\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{2\}\; (x,\; y)\; =\; xy,\; \backslash \; psi\; \_\; \{2\}\; (x,\; y)\; =\; x\; -\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\},\; \{\backslash \; mathcal\; \{E\}\}\; \_\; \{2\}\; (x,\; y)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; +\; y\}\}.\}$

Следовательно, дифференциальная фундаментальная система имеет вид

$z\; 1\; (x,\; y)\; =\; exp\; \; (2\; yx\; +\; y)\; F\; (x\; +\; y),\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{1\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; exp\; \{\{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{2y\}\; \{x\; +\; y\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\}\; F\; (x\; +\; y),\}$$z\; 2\; (x,\; y)\; =\; 1\; x\; +\; y\; exp\; \; (2\; yx\; +\; y)\; \int \; exp\; \; (2\; x\; -\; y\; ¯\; y\; ¯)\; G\; (2\; x\; -\; y\; ¯)\; dx\; |\; y\; ¯\; =\; x\; +\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{2\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; +\; y\}\}\; \backslash \; exp\; \{\{\backslash \; Big\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{2y\}\; \{x\; +\; y\}\}\; \{\backslash \; Big)\}\; \}\{\backslash displaystyle\; \backslash int\; \}\backslash exp\; \{\{\backslash Big\; (\}\{\backslash frac\; \{2x-\{\backslash bar\; \{y\}\}\}\{\backslash bar\; \{y\}\}\}\{\backslash Big)\}\}G(2x-\{\backslash bar\; \{y\}\})dx\{\backslash Big\; |\}\_\{\{\backslash bar\; \{y\}\}=x+y\}.\}$

$F\; \{\backslash displaystyle\; F\}$and $G\; \{\backslash displaystyle\; G\}$are undetermined functions.

If the only second-order derivative of an operator is $\partial \; x\; y\; \{\backslash displaystyle\; \backslash partial\; \_\{xy\}\}$, its possible decompositions involving only principal divisors may be described as follows.

Theorem 3Let the differential operator $L\; \{\backslash displaystyle\; L\}$be defined by

$L\; \equiv \; \partial \; x\; y\; +\; A\; 1\; \partial \; x\; +\; A\; 2\; \partial \; y\; +\; A\; 3\; \{\backslash displaystyle\; L\backslash equiv\; \backslash partial\; \_\{xy\}+A\_\{1\}\backslash partial\; \_\{x\}+A\_\{2\}\backslash partial\; \_\{y\}+A\_\{3\}\}$where $A\; i\; \in \; Q\; (\; x,\; y)\; \{\backslash displaystyle\; A\_\{i\}\backslash in\; \{\backslash mathbb\; \{Q\}\; \}(x,y)\}$for all $i\; \{\backslash displaystyle\; i\}$.

Let $l\; \equiv \; \partial \; x\; +\; A\; 2\; \{\backslash displaystyle\; l\backslash equiv\; \backslash partial\; \_\{x\}+A\_\{2\}\}$and $k\; \equiv \; \partial \; y\; +\; A\; 1\; \{\backslash displaystyle\; k\backslash equiv\; \backslash partial\; \_\{y\}+A\_\{1\}\}$are first-order operators. $L\; \{\backslash displaystyle\; L\}$has Loewy decompositions involving first-order principal divisors of the following form.

$L\; x\; y\; 1\; :\; L\; =\; k\; l\; ;\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathcal\; \{L\}\}\_\{xy\}^\{1\}:L=kl;\}$$L\; x\; y\; 2\; :\; L\; =\; l\; k\; ;\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathcal\; \{L\}\}\_\{xy\}^\{2\}:L=lk;\}$$L\; x\; y\; 3\; :\; L\; =\; L\; c\; l\; m\; (\; k,\; l).\; \{\backslash displaystyle\; \{\backslash mathcal\; \{L\}\}\_\{xy\}^\{3\}:L=Lclm(k,l).\}$

The тип разложения оператора $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$- это разложение $L\; xyi\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{i\}\}$с наибольшим значением $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$. Разложение типа $L\; xy\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{3\}\}$полностью сводимо

Кроме того, есть еще пять возможные типы разложения с участием неглавных делителей Лапласа, как показано ниже.

Теорема 4 Пусть дифференциальный оператор $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$определяется как

$L\; \equiv \; \partial \; xy\; +\; A\; 1\; \partial \; x\; +\; A\; 2\; \partial \; y\; +\; A\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{xy\}\; +\; A\_\; \{1\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; A\_\; \{2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; A\_\; \{3\}\}$где $A\; i\; \in \; Q\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{i\}\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x,\; y)\}$для всех $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$.

$L\; xm\; (L)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{L\}\; \_\; \{x\; ^\; \{m\}\}\; (L)\}$и $L\; yn\; (L)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{L\}\; \_\; \{y\; ^\; \{n\}\}\; (L)\}$, а также $lm\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{l\}\}\; \_\; \{m\}\}$и $kn\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{k\}\}\; \_\; \{n\}\}$определены выше; кроме того $l\; \equiv \; \partial \; Икс\; +\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; a\}$, $к\; \equiv \; \partial \; y\; +\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; b\}$, $a,\; b\; \in \; Q\; (x,\; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; a,\; b\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{Q\}\}\; (x,\; y)\}$. $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$имеет Loewy разложения с делителями Лапласа по одному из следующих типов; $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$подчиняться $m,\; n\; \ge \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m,\; n\; \backslash \; geq\; 2\}$.

$L\; xy\; 4:\; L\; =\; L\; clm\; (L\; xm\; (L),\; L\; yn\; (L));\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{4\}:\; L\; =\; Lclm\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; mathbb\; \{L\}\; \_\; \{x\; ^\; \{m\}\}\; (L),\; \backslash \; mathbb\; \{L\}\; \_\; \{y\; ^\; \{n\}\}\; (L)\; \{\backslash \; big)\};\}$

$L\; xy\; 5:\; L\; =\; E\; xquo\; (L,\; L\; xm\; (L))\; L\; xm\; (L)\; =\; (1\; 0\; 0\; \partial \; y\; +\; A\; 1)\; (L\; lm);\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{5\}:\; L\; =\; Exquo\; \{\backslash \; big\; (\}\; L,\; \backslash \; mathbb\; \{L\}\; \_\; \{x\; ^\; \{m\}\}\; (L)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; mathbb\; \{L\}\; \_\; \{x\; ^\; \{m\}\}\; (L)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; A\_\; \{1\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; L\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; mathfrak\; \{l\}\}\; \_\; \{m\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right);\}$

$L\; xy\; 6:\; L\; =\; E\; xquo\; (L,\; L\; yn\; (L))\; L\; yn\; (L)\; =\; (1\; 0\; 0\; \partial \; x\; +\; A\; 2)\; (L\; kn);\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{6\}:\; L\; =\; Exquo\; \{\backslash \; big\; (\}\; L,\; \backslash \; mathbb\; \{L\}\; \_\; \{y\; ^\; \{n\}\}\; (L)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; mathbb\; \{L\}\; \_\; \{y\; ^\; \{n\}\}\; (L)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; A\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; L\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; mathfrak\; \{k\}\}\; \_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right);\}$

$L\; xy\; 7:\; L\; =\; L\; clm\; (k,\; L\; xm\; (L));\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{7\}:\; L\; =\; Lclm\; \{\backslash \; big\; (\}\; k,\; \backslash \; mathbb\; \{L\}\; \_\; \{x\; ^\; \{m\}\}\; (L)\; \{\backslash \; big)\}\; ;\}$$L\; xy\; 8:\; L\; =\; L\; clm\; (l,\; L\; yn\; (L)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{8\}:\; L\; =\; Lclm\; \{\backslash \; big\; (\}\; l,\; \backslash \; mathbb\; \{L\}\; \_\; \{y\; ^\; \{n\}\}\; (L)\; \{\backslash \; big)\}.\}$

Если $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$не имеет правого множителя первого порядка и может быть показано, что делитель Лапласа не существует, его тип разложения определяется как $L\; ху\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{0\}\}$. Разложения $L\; xy\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{0\}\}$, $L\; xy\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{4\; \}\}$, $L\; xy\; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{7\}\}$и $L\; xy\; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{8\}\}$полностью сокращаются.

Уравнение, которое не допускает разложения с участием главных делителей, но полностью сводимо относительно. неглавные делители Лапласа типа $L\; x\; y\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{4\}\}$были рассмотрены Форсайтом.

Пример 6 (Форсайт 1906) Определить

$L\; \equiv \; \partial \; xy\; +\; 2\; x\; -\; y\; \partial \; x\; -\; 2\; x\; -\; y\; \partial \; y\; -\; 4\; (x\; -\; y)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{xy\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{xy\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{xy\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{4\}\; \{(xy)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

создание главного идеала $⟨L⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; L\; \backslash \; rangle\}$. Фактора первого порядка не существует. Однако есть делители Лапласа

$L\; x\; 2\; (L)\; \equiv \; ⟨⟨\partial \; xx\; -\; 2\; x\; -\; y\; \partial \; x\; +\; 2\; (x\; -\; y)\; 2,\; L⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{L\}\}\; \_\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; (L)\; \backslash \; Equiv\; \{\{\backslash \; Big\; \backslash \; langle\}\; \{\backslash \; Big\; \backslash \; langle\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{xx\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{xy\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{(xy)\; ^\; \{2\}\}\},\; L\; \{\{\backslash \; Big\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; Big\; \backslash \; rangle\}\}\}$и $L\; y\; 2\; (L)\; \equiv \; ⟨⟨L,\; \partial \; yy\; +\; 2\; x\; -\; y\; \partial \; y\; +\; 2\; (x\; -\; y)\; 2⟩⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{L\}\}\; \_\; \{y\; ^\; \{2\}\}\; (L)\; \backslash \; Equiv\; \{\{\backslash \; Big\; \backslash \; langle\}\; \{\backslash \; Big\; \backslash \; langle\}\}\; L,\; \backslash \; partial\; \_\; \{yy\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 2\}\; \{xy\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{(xy)\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\{\backslash \; Big\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; Big\; \backslash \; rangle\}\}.\}$

Идеальный генерируется $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$имеет представление $⟨L⟩\; =\; L\; clm\; (L\; x\; 2\; (L),\; L\; y\; 2\; (L))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; L\; \backslash \; rangle\; =\; Lclm\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; mathbb\; \{L\}\}\; \_\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; (L),\; \{\backslash \; mathbb\; \{L\}\}\; \_\; \{y\; ^\; \{2\}\}\; (L)\; \{\backslash \; big)\; \}\}$, т. Е. Полностью сводимо; его тип разложения - $L\; x\; y\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; \_\; \{xy\}\; ^\; \{4\}\}$. Следовательно, уравнение $L\; z\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Lz\; =\; 0\}$имеет дифференциальную фундаментальную систему

$z\; 1\; (x,\; y)\; =\; 2\; (x\; -\; y)\; F\; (y)\; +\; (Икс\; -\; Y)\; 2\; F\; \text{'}(Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\_\; \{1\}\; (x,\; y)\; =\; 2\; (ху)\; F\; (y)\; +\; (ху)\; ^\; \{2\}\; F\text{'}\; (y)\}$и $z\; 2\; (x,\; y)\; =\; 2\; (y\; -\; x)\; G\; (x)\; +\; (y\; -\; x)\; 2\; G\; \prime \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{2\}\; (x,\; y)\; =\; 2\; (yx)\; G\; (x)\; +\; (yx)\; ^\; \{2\}\; G\; \text{'}(x)\}$.

Оказывается, у операторов более высокого порядка сложнее разложений, и есть другие альтернативы, многие из которых в терминах неглавных делителей. Решения соответствующих уравнений усложняются. Для уравнений третьего порядка на плоскости достаточно полный ответ можно найти в. Типичный пример уравнения третьего порядка, который также представляет исторический интерес, принадлежит Блюмбергу.

Пример 7 (Blumberg 1912) В В своей диссертации Блумберг рассматривал оператор третьего порядка

$L\; \equiv \; \partial \; xxx\; +\; x\; \partial \; xxy\; +\; 2\; \partial \; xx\; +\; 2\; (x\; +\; 1)\; \partial \; xy\; +\; \partial \; x\; +\; (x\; +\; 2)\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; частичный\; \_\; \{xxx\}\; +\; x\; \backslash \; partial\; \_\; \{xxy\}\; +2\; \backslash \; partial\; \_\; \{xx\}\; +2\; (x\; +\; 1)\; \backslash \; partial\; \_\; \{xy\}\; +\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; (x\; +\; 2)\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\}$.

Он позволяет использовать два фактора первого порядка $l\; 1\; \equiv \; \partial \; x\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; l\_\; \{1\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +1\}$и $l\; 2\; \equiv \; \partial \; Икс\; +\; Икс\; \partial \; Y\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; x\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\}$. Их пересечение не принципиально; определение

$L\; 1\; \equiv \; \partial \; xxx\; -\; x\; 2\; \partial \; xyy\; +\; 3\; \partial \; xx\; +\; (2\; x\; +\; 3)\; \partial \; xy\; -\; x\; 2\; \partial \; yy\; +\; 2\; \partial \; x\; +\; (2\; x\; +\; 3)\; \partial \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{\; 1\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{xxx\}\; -x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{xyy\}\; +3\; \backslash \; partial\; \_\; \{xx\}\; +\; (2x\; +\; 3)\; \backslash \; partial\; \_\; \{xy\}\; -x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{yy\}\; +2\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +\; (2x\; +\; 3)\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\}$

$L\; 2\; \equiv \; \partial \; xxy\; +\; x\; \partial \; xyy\; -\; 1\; x\; \partial \; xx\; -\; 1\; x\; \partial \; xy\; +\; x\; \partial \; yy\; -\; 1\; x\; \partial \; x\; -\; (1\; +\; 1\; x)\; \partial \; y⟩⟩.\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; partial\; \_\; \{xxy\}\; +\; x\; \backslash \; partial\; \_\; \{xyy\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{xx\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\; \}\; \backslash \; partial\; \_\; \{xy\}\; +\; x\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; y\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; -\; \{\backslash \; big\; (\}\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\; \}\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{y\}\; \{\{\backslash \; big\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; big\; \backslash \; rangle\}\}.\}$

это может быть записано как $L\; clm\; (l\; 2,\; l\; 1)\; =\; ⟨\; ⟨L\; 1,\; L\; 2⟩⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; Lclm\; (l\_\; \{2\},\; l\_\; \{1\})\; =\; \{\backslash \; langle\; \backslash \; langle\}\; L\_\; \{1\},\; L\_\; \{2\}\; \{\backslash \; rangle\; \backslash \; rangle\}\}$. Следовательно, разложение Лоуи оператора Блюмбергса имеет вид

$L\; =\; (1\; x\; 0\; \partial \; x\; +\; 1\; +\; 1\; x)\; (L\; 1\; L\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{cc\}\; 1\; x\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; +1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\}\; L\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; L\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right).\}$

Это дает следующую дифференциальную фундаментальную систему для дифференциального уравнения $L\; z\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; Lz\; =\; 0\}$.

$z\; 1\; (x,\; y)\; =\; F\; (y\; -\; 1\; 2\; x\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{1\}\; (x,\; y)\; =\; F\; (y\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; x\; ^\; \{2\})\}$, $z\; 2\; (x,\; y)\; =\; G\; (y)\; e\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; z\_\; \{2\}\; (x,\; y)\; =\; G\; (y)\; e\; ^\; \{-\; x\}\}$, $z\; 3\; (x,\; y)\; =\; \int \; xe\; -\; x\; H\; (y\; ¯\; +\; 1\; 2\; x\; 2)\; dx\; |\; Y\; ¯\; =\; Y\; -\; 1\; 2\; Икс\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; Z\_\; \{3\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\}\; xe\; ^\; \{-\; x\}\; H\; \{\backslash \; big\; (\}\; \{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; x\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; big)\}\; dx\; \{\backslash \; Big\; |\}\; \_\; \{\{\backslash \; bar\; \{y\}\}\; =\; y\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; x\; ^\; \{2\; \}\}\}$

$F,\; G\; \{\backslash \; displaystyle\; F,\; G\}$и $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$- неопределенные функции.

Факторизации и разложения Лоуи оказались чрезвычайно полезным методом для определения решений линейных дифференциальных уравнений в замкнутой форме как для обыкновенных, так и для частных уравнений. Должна появиться возможность обобщить эти методы на уравнения более высокого порядка, уравнения с большим количеством переменных и системы дифференциальных уравнений.