Теория Литтлвуда – Пэли

В гармоническом анализе, области математики, теории Литтлвуда – Пэли теоретическая основа, используемая для распространения некоторых результатов о L-функциях на L-функции для 1 < p < ∞. It is typically used as a substitute for orthogonality arguments which only apply to L functions when p = 2. One implementation involves studying a function by decomposing it in terms of functions with localized frequencies, and using the Littlewood–Paley g-function to compare it with its Poisson integral. The 1-variable case was originated by J. Э. Литтлвуд и Р. Палей (1931, 1937, 1938) и развитый польскими математиками А. Зигмунд и Дж. Марцинкевич в 1930-е годы, используя теорию сложных функций (Зигмунд 2002, главы XIV, XV). Э. М. Стейн позже распространил теорию на более высокие измерения, используя технику реальных переменных.

Содержание

• 1 Диадическое разложение функции
• 2 Функция Литтлвуда – Пэли g
• 3 Приложения
• 4 Ссылки

Диадическое разложение функции

Littlewood –Теория Пейли использует разложение функции f на сумму функций f ρ с локализованными частотами. Есть несколько способов построить такое разложение; типичный метод выглядит следующим образом.

Если f (x) - функция на R, а ρ - измеримое множество (в частотном пространстве) с характеристической функцией $\chi \; \rho \; (\; \xi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; chi\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; (\backslash \; xi)\}$, тогда f ρ определяется через его преобразование Фурье

$f\; ^\; \rho :\; =\; \chi \; \rho \; f\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \_\; \{\backslash \; rho\}:\; =\; \backslash \; chi\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\}$.

Неформально f ρ кусок f, частоты которого лежат в ρ.

Если Δ - это набор измеримых множеств, которые (с точностью до меры 0) не пересекаются и имеют объединение на вещественной прямой, то функция f с хорошим поведением может быть записана как сумма функций f ρ для ρ ∈ Δ.

Когда Δ состоит из множеств вида

$\rho \; =\; [-\; 2\; k\; +\; 1,\; -\; 2\; k]\; \cup \; [2\; k,\; 2\; k\; +\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; [-\; 2\; ^\; \{k\; +\; 1\},\; -\; 2\; ^\; \{k\}]\; \backslash \; cup\; [2\; ^\; \{k\},\; 2\; ^\; \{k\; +\; 1\}].\}$

для целого числа k, это дает так называемое «диадическое разложение» f: Σ ρfρ.

Есть много вариантов этой конструкции; например, характеристическая функция набора, используемого в определении f ρ, может быть заменена более гладкой функцией.

Ключевой оценкой теории Литтлвуда – Пэли является теорема Литтлвуда – Пэли, которая ограничивает размер функций f ρ в терминах размера f. Существует множество версий этой теоремы, соответствующих различным способам разложения f. Типичная оценка состоит в том, чтобы ограничить L-норму (Σ ρ|fρ|) кратным L-норме f.

В более высоких измерениях эту конструкцию можно обобщить, заменив интервалы прямоугольниками со сторонами, параллельными осям координат. К сожалению, это довольно специальные наборы, которые ограничивают приложения более высокими размерами.

g-функция Литтлвуда – Пэли

g-функция - это нелинейный оператор на L (R ), который можно использовать для управления L-нормой функции. f через его интеграл Пуассона. Интеграл Пуассона u (x, y) функции f определяется для y>0 следующим образом:

$u\; (x,\; y)\; =\; \int \; R\; n\; P\; y\; (t)\; f\; (x\; -\; t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; P\_\; \{y\}\; (t)\; f\; (xt)\; \backslash ,\; dt\}$

где ядро ​​Пуассона P задается как

$P\; y\; (x)\; =\; \int \; R\; ne\; -\; 2\; \pi \; itx\; -\; 2\; \pi \; |\; т\; |\; y\; d\; t\; знак\; равно\; \Gamma \; ((n\; +\; 1)\; /\; 2)\; \pi \; (n\; +\; 1)\; /\; 2\; y\; (|\; x\; |\; 2\; +\; y\; 2)\; (n\; +\; 1)\; /\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{y\}\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}\; e\; ^\; \{-\; 2\; \backslash \; pi\; itx-2\; \backslash \; pi\; |\; t\; |\; y\}\; \backslash ,\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; Gamma\; ((n\; +\; 1)\; /\; 2)\}\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{(n\; +\; 1)\; /\; 2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{(|\; x\; |\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\})\; ^\; \{(n\; +\; 1)\; /\; 2\}\}\}.\}$

g-функция Литтлвуда – Пэли g (f) определяется как

$g\; (f)\; (x)\; =\; (\int \; 0\; \infty \; |\; \nabla \; u\; (x,\; y)\; |\; 2\; ydy)\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (f)\; (x)\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; |\; \backslash \; nabla\; u\; (x,\; y)\; |\; ^\; \{2\}\; y\; \backslash ,\; dy\; \backslash \; right)\; ^\; \{1/2\}\}$

Основным свойством g является то, что он приблизительно сохраняет нормы. Точнее, для 1 < p < ∞, the ratio of the L norms of f and g(f) is bounded above and below by fixed positive constants depending on n and p but not on f.

Приложения

Одним из первых приложений теории Литтлвуда – Пэли было доказательство того, что если S n являются частичными суммами ряда Фурье периодической L-функции ( p>1) и n j представляет собой последовательность, удовлетворяющую n j + 1 /nj>q для некоторого фиксированного q>1, то последовательность S njсходится почти всюду. Позже это было заменено теоремой Карлесона – Ханта, показывающей, что сама S n сходится почти всюду.

Теория Литтлвуда – Пэли также может использоваться для доказательства теоремы о множителях Марцинкевича.

Ссылки

• Coifman, R.R.; Вайс, Гвидо (1978), «Рецензия на книгу: Литтлвуд-Пэли и теория множителей», Бюллетень Американского математического общества, 84(2): 242–250, doi : 10.1090 / S0002-9904-1978-14464-4, ISSN 0002-9904, MR 1567040
• Эдвардс, RE; Gaudry, GI (1977), Литтлвуд-Пэли и теория множителей, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-07726-8, MR 0618663
• Фрейзер, Майкл; Яверт, Бьёрн; Weiss, Guido (1991), Теория Литтлвуда-Пэли и исследование функциональных пространств, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 79, опубликовано для Совета конференций по математическим наукам, Вашингтон, Округ Колумбия, doi : 10.1090 / cbms / 079, ISBN 978-0-8218-0731-6, MR 1107300
• Литтлвуд, JE; Пэли, Р. Е. А. С. (1931), "Теоремы о рядах Фурье и степенных рядах", J. London Math. Soc., 6 (3): 230–233, doi : 10,1112 / мл / с1-6.3.230
• Littlewood, J. E.; Пэли, Р. Э. А. С. (1937), "Теоремы о рядах Фурье и степенных рядах (II)", Proc. Лондонская математика. Soc., 42 (1): 52–89, doi : 10,1112 / plms / s2-42.1.52
• Littlewood, J. E.; Пэли, Р. Е. А. С. (1938), "Теоремы о рядах Фурье и степенных рядах (III)", Proc. Лондонская математика. Soc., 43 (2): 105–126, doi : 10.1112 / plms / s2-43.2.105
• Stein, Elias M. ( 1970), Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли., Annals of Mathematics Studies, № 63, Princeton University Press, MR 0252961
• Zygmund, A. (2002)) [1935], Тригонометрический ряд. Vol. I, II, Кембриджская математическая библиотека (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3, MR 1963498