Затемнение к краю

A отфильтрованное изображение Солнца в видимом свете, демонстрирующее эффект затемнения к краю в виде более тусклой яркости по направлению к краю или краю солнечного диска. Изображение было получено во время прохождения Венеры в 2012 году (здесь показано темным пятном в правом верхнем углу).

Затемнение к краю - это оптический эффект, наблюдаемый у звезд (включая Солнце ), где центральная часть диска кажется ярче края, или край. Его понимание предоставило ранним солнечным астрономам возможность создавать модели с такими градиентами. Это стимулировало развитие теории переноса излучения.

Основная теория

Идеализированный случай потемнения конечностей. Внешняя граница - это радиус, на котором фотоны, испускаемые звездой, больше не поглощаются. L - расстояние, на котором оптическая толщина равна единице. Высокотемпературные фотоны, излучаемые в точке A, едва ускользнут от звезды, как и низкотемпературные фотоны, излучаемые в точке B. Этот рисунок не в масштабе. Например, для Солнца L будет всего несколько сотен км.

Оптическая глубина, мера непрозрачности объекта или части объекта, сочетается с эффективный градиент температуры внутри звезды вызывает потемнение к краю. Видимый свет является приблизительно интегралом всего излучения вдоль луча зрения, модулированного оптической глубиной до наблюдателя (т. Е. В 1 / e раз больше излучения на 1 оптической глубине, в 1 / e раз больше излучения на 2 оптических глубинах и т. Д.). Вблизи центра звезды оптическая глубина практически бесконечна, что обеспечивает примерно постоянную яркость. Однако эффективная оптическая глубина уменьшается с увеличением радиуса из-за более низкой плотности газа и более короткого расстояния прямой видимости через звезду, вызывая постепенное затемнение, пока оно не станет равным нулю на видимом крае звезды.

эффективная температура фотосферы также уменьшается с увеличением расстояния от центра звезды. Излучение, испускаемое газом, приблизительно равно излучению черного тела, интенсивность которого пропорциональна четвертой степени температуры. Следовательно, даже в направлениях прямой видимости, где оптическая глубина не конечна, излучаемая энергия исходит из более холодных частей фотосферы, в результате чего меньшая общая энергия достигает зрителя.

Температура в атмосфере звезды не всегда уменьшается с увеличением высоты. Для некоторых спектральных линий оптическая толщина наибольшая в областях с повышением температуры. В этом сценарии вместо этого наблюдается феномен «осветления конечностей». На Солнце наличие области минимума температуры означает, что осветление конечностей должно начинать преобладать в дальних инфракрасных или радиодиапазонах длинах волн. Выше нижних слоев атмосферы и значительно выше области минимума температуры Солнце окружено солнечной короной, которая составляет миллион- кельвин . Для большинства длин волн эта область оптически тонкая, то есть имеет небольшую оптическую толщину, и, следовательно, ее необходимо осветлить, если она сферически симметрична.

Расчет потемнения по краю

Геометрия затемнения по краю. Центр звезды находится в точке O и имеет радиус R. Наблюдатель находится в точке P на расстоянии r от центра звезды и смотрит на точку S на поверхности звезды. С точки зрения наблюдателя, S находится под углом θ от линии, проходящей через центр звезды, а край или край звезды находится под углом Ω.

На рисунке, показанном здесь, пока если наблюдатель в точке P находится за пределами атмосферы звезды, интенсивность, наблюдаемая в направлении θ, будет функцией только угла падения ψ. Это наиболее удобно аппроксимировать как полином от cos ψ:

$I\; (\psi )\; I\; (0)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; N\; ak\; cos\; k\; \; \psi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{I\; (\backslash \; psi)\}\; \{I\; (0)\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; a\_\; \{k\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{k\}\; \backslash \; psi,\}$

где I (ψ) - интенсивность, наблюдаемая в точке P вдоль линии угол формирования зрения ψ по отношению к радиусу звезды, а I (0) - центральная интенсивность. Для того, чтобы соотношение было единицей для ψ = 0, мы должны иметь

$\sum \; k\; =\; 0\; N\; ak\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; a\_\; \{k\}\; =\; 1.\}$

Например, для излучателя Ламберта (без затемнения к краю) у нас будет все k = 0, кроме 1 = 1. В качестве другого примера, для Солнца на расстоянии 550 нанометров (5,5 × 10 м) потемнение к краю хорошо выражается выражением N = 2 и

$a\; 0\; =\; 1\; -\; a\; 1\; -\; a\; 2\; =\; 0,3,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{0\}\; =\; 1-a\_\; \{1\}\; -a\_\; \{2\}\; =\; 0,3,\}$

$a\; 1\; =\; 0,93,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\; =\; 0,93,\}$

$a\; 2\; =\; -\; 0,23\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\}\; =\; -\; 0,23\}$

(см. Cox, 2000). Уравнение потемнения конечностей иногда удобнее записывать как

$I\; (\psi )\; I\; (0)\; =\; 1\; +\; \sum \; k\; =\; 1\; NA\; k\; (1\; -\; cos\; \; \psi )\; k,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{I\; (\backslash \; \backslash \; psi)\}\; \{I\; (0)\}\}\; =\; 1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; A\_\; \{k\}\; (1-\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi)\; ^\; \{k\},\}$

который теперь имеет N независимые коэффициенты, а не N + 1 коэффициенты, сумма которых должна быть равна единице.

Константы a k могут быть связаны с константами A k. Для N = 2

$A\; 1\; =\; -\; (a\; 1\; +\; 2\; \ast \; a\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\}\; =\; -\; (a\_\; \{1\}\; +\; 2\; *\; a\_\; \{2\}),\}$

$A\; 2\; =\; а\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{2\}\; =\; a\_\; \{2\}.\}$

Для Солнца на длине волны 550 нм, мы имеем

$A\; 1\; =\; -\; 0,47,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{1\}\; =\; -0,47,\}$

$A\; 2\; =\; -\; 0,23.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\_\; \{2\}\; =\; -\; 0,23.\}$

Эта модель дает интенсивность на краю диска Солнца, составляющую всего 30% от интенсивности в центре диска.

Эти формулы можно преобразовать в функции от θ, используя замену

$cos\; \; \psi \; =\; cos\; 2\; \; \theta \; -\; cos\; 2\; \; \Omega \; sin\; \; \Omega \; =\; 1\; -\; (sin\; \; \theta \; sin\; \; \Omega )\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; -\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Omega\}\}\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; Omega\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; Omega\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\},\}$

где Ω - угол от наблюдателя до лимба звезды. Для малых θ имеем

$cos\; \; \psi \; \approx \; 1\; -\; (\theta \; sin\; \; \Omega )\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; theta\}\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; Omega\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Мы видим, что производная cos ψ бесконечна на краю.

Вышеупомянутое приближение можно использовать для получения аналитического выражения для отношения средней интенсивности к центральной интенсивности. Средняя интенсивность I m представляет собой интеграл интенсивности по диску звезды, деленный на телесный угол, образованный диском:

$I\; m\; =\; \int \; I\; (\psi )\; d\; \omega \; \int \; d\; \omega ,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; I\; (\backslash \; psi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; omega\}\; \{\backslash \; int\; d\; \backslash \; omega\}\},\}$

где dω = sin θ dθ dφ - элемент телесного угла, а интегралы идут по кругу: 0 ≤ φ ≤ 2π и 0 ≤ θ ≤ Ω. Мы можем переписать это как

$I\; m\; =\; \int \; cos\; \; \Omega \; 1\; I\; (\psi )\; d\; cos\; \; \theta \; \int \; cos\; \; \Omega \; 1\; d\; cos\; \; \theta \; =\; \int \; cos\; \; \Omega \; 1\; I\; (\psi )\; d\; cos\; \; \theta \; 1\; -\; cos\; \; \Omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; Omega\}\; ^\; \{1\}\; I\; (\backslash \; psi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \{\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; Omega\}\; ^\; \{\; 1\}\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; Omega\}\; ^\; \{1\}\; I\; (\backslash \; psi)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}\; \{1-\; \backslash \; cos\; \backslash \; Omega\}\}.\; \}$

Хотя это уравнение можно решить аналитически, оно довольно громоздко. Однако для наблюдателя, находящегося на бесконечном расстоянии от звезды, $d\; cos\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\}$можно заменить на $sin\; 2\; \; \Omega \; cos\; \; \psi \; d\; cos\; \; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Omega\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\}$, поэтому мы имеем

$I\; m\; =\; \int \; 0\; 1\; I\; (\psi )\; cos\; \; \psi \; d\; соз\; \; \psi \; \int \; 0\; 1\; соз\; \; \psi \; d\; соз\; \; \psi \; =\; 2\; \int \; 0\; 1\; I\; (\psi )\; соз\; \; \psi \; d\; соз\; \; \psi ,\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; I\; (\backslash \; psi)\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\}\; \{\backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\}\}\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; I\; (\backslash \; psi)\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi\; \backslash ,\; d\; \backslash \; cos\; \backslash \; psi,\}$

, что дает

$I\; m\; I\; (0)\; =\; 2\; \sum \; k\; =\; 0\; N\; akk\; +\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{I\_\; \{m\}\}\; \{I\; (0)\}\}\; =\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{N\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{k\}\}\; \{k\; +\; 2\}\}.\}$

Для Солнца на длине волны 550 нм это означает, что средняя интенсивность составляет 80,5% от интенсивности в центре.

Ссылки